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第27课时 与圆有关的位置关系
1.(2024·上海)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P在△ABC内,分别以A,B,P为圆心画圆,圆A半
径为1,圆B半径为2,圆P半径为3,圆A与圆P内切,圆P与圆B的关系是 ( )
A.内含 B.相交 C.外切 D.相离
2.(2024·邯郸模拟)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,
能够与该圆弧相切的是 ( )
A.点(0,3) B.点(1,3) C.点(6,0) D.点(6,1)
3.(2024·福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为 ⏜ 的
AB
中点,则∠ACM等于( )
A.18° B.30° C.36° D.72°
4.(2024·石家庄桥西区二模)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,O为△ABC的内心,若△ABO的面积为
20,则△ACO的面积为( )
A.20 B.15 C.18 D.12
5.(2024·泸州)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则
∠E= ( )
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A.56° B.60° C.68° D.70°
6.(2024·张家口一模)如图,O是△ABC的角平分线BO,CO的交点,请用∠A表示∠O.
某同学的做法如下:
∵O是△ABC的角平分线BO,CO的交点,
1 1
∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB,
2 2
1 1 1
∴∠1+∠2= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB).
2 2 2
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
1 1
∴∠1+∠2= (180°-∠A)=90°- ∠A,
2 2
( 1 ) 1
∴在△BOC中,∠O=180°-(∠1+∠2)=180°- 90°- ∠A =90°+ ∠A.
2 2
下列说法正确的是 ( )
A.该同学的做法只用了一次“三角形内角和定理”
B.该结论只适用于锐角三角形
C.若把“O是△ABC的角平分线BO,CO的交点”替换为“O是△ABC的外心”,该结论不变
D.若把“O是△ABC的角平分线BO,CO的交点”替换为“O是△ABC的内心”,该结论不变
7.(2024·唐山一模)如图,AB是半圆O的直径,点C,D将弧AB分成相等的三段弧,点M在AB的延
长线上,连接MD.三个人给出以下说法:
甲:若MD为半圆O的切线,则能得出∠OMD=30°;
乙:若连接AC,CD,则∠ACD=130°;
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丙:若连接AC,BD,则AC=BD.
三位同学给出的结论正确的是 ( )
A.甲和乙 B.乙和丙
C.甲和丙 D.只有甲
8.如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连接BC.已知∠ACB=50°,则∠B的度数为
.
9.(2024·凉山州)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M
的切线,切点为Q,则PQ的最小值为 .
10.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点F,过A点作☉O的切线m,在m上取一点P,使PA=PD.
直线 DP与BA的延长线交于点Q,QD=3√3,QA=3.
(1)求证:直线QD是☉O的切线.
(2)求☉O的半径和DC的长.
1.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4√3,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面
内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是 ( )
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A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
2.数学文化刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,他在注释《九章算术》时十分重
视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达
形式.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AB,BC,CA 的长分别为 c,a,b.则可以用含 c,a,b 的式子表示出
△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是( )
A.d=a+b-c
2ab
B.d=
a+b+c
C.d=√2(c-a)(c-b)
D.d=|(a-b)(c-b)|
3.如图,在△ABC中,AC=2,BC=1,∠ACB=90°,点D为边AB上一动点(点D与点A,B不重合),过点
D作DE⊥AC,连接CD.
(1)△CDE外接圆的直径的最小值是 .
(2)△CDE内切圆的半径的最大值是 .
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【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:∵圆A的半径为1,圆P半径为3,圆A与圆P内切,
∴圆A在圆P内,即PA=3-1=2,
∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC相交形成的弧上运动,如图所示:
∴当P运动到P'位置时,圆P与圆B圆心距离PB最大,
为 ,
√12+42=√17
∵√17<3+2=5,圆P与圆B圆心距最小为3,∴圆P与圆B相交,故选B.
2.B 解析:如图,∵过格点A,B,C作一圆弧,
∴三点组成的圆的圆心为:O'(2,0),
∵只有∠O'BD+∠EBF=90°时,BF与圆相切,
∴△BO'D≌△FBE,
∴EF=BD=2,
∴点F的坐标为(5,1),直线BF过点(1,3),
∴点B与格点(1,3)的连线能够与该圆弧相切.故选B.
3.A 解析:∵C为 ⏜ 的中点,∠AOB=72°,
AB
∴∠AOC=∠BOC=36°,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠OAC=72°,
∵直线MN与☉O相切,切点为C,
∴∠OCM=90°,
∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°.故选A.
4.B 解析:∵O为△ABC的内心,
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∴点O到AB,AC的距离相等,
∴S ∶S =AB∶AC=8∶6=4∶3.
△AOB △AOC
∵△ABO的面积为20,
∴△ACO的面积为15.故选B.
5.C 解析:如图,连接AD,
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BAE+∠BCD=236°,
∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°,
∴∠EAD=56°,
∵EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,
∴EA=ED,
∴∠EDA=∠EAD=56°,
∴∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-56°-56°=68°.故选C.
6.D 解析:A.该同学的做法中,两次利用三角形内角和定理,因此选项A不符合题意;
B.该结论适用于所有三角形,因此选项B不符合题意;
C.若把“O是△ABC的角平分线BO,CO的交点”替换为“O是△ABC的外心”,其结论变为∠O=2∠A,因此选
项C不符合题意;
D.△ABC的内心就是三条内角平分线的交点,与原题相同,因此其结论不变,所以选项D符合题意.故选D.
7.C 解析:如图,甲:连接OD,OC,
∵点C,D将弧AB分成相等的三段弧,
∴ ⏜ ⏜ ⏜ ,
AC=CD=BD
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,
∵MD为半圆O的切线,OD是半径,
∴∠ODM=90°,
∴∠OMD=30°,故甲正确;
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乙:连接AC,CD,
∵OD,OC是半径,∠AOC=∠COD=60°,
∴△AOC,△DOC都是等边三角形,
∴∠ACO=∠DCO=60°,
∴∠ACD=120°,故乙错误;
丙:连接AC、BD,
∵ ⏜ ⏜ ,
AC=BD
∴AC=BD,故丙正确,
∴结论正确的是甲和丙.故选C.
8.40° 解析:∵AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,
∴BA⊥AC,
∴∠BAC=90°,
∵∠ACB=50°,
∴∠B=90°-50°=40°.
9.2√7 解析:如图,连接MP,MQ,
∵PQ是☉M的切线,
∴MQ⊥PQ,
∴PQ= ,
√PM2-MQ2=√PM2-4
∴当PM最小时,PQ最小,
当MP⊥AB时,MP最小,
易知直线y=x+4与x轴的交点A的坐标为(-4,0),与y轴的交点B的坐标为(0,4),
∴OA=OB=4,
∴∠BAO=45°,AM=8,
当MP⊥AB时,
√2
MP=AM·sin∠BAO=8× =4√2,
2
∴PQ的最小值为: =2 .
√(4√2)2-4=√28 √7
10.解:(1)证明:如图,连接OP,OD,
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∵直线m与☉O相切,
∴OA⊥AP,
∴∠OAP=90°,
{OA=OD
在△OAP和△ODP中, OP=OP,
PA=PD
∴△OAP≌△ODP(SSS),
∴∠ODP=∠OAP=90°,
∴OD⊥QD,
∵OD是☉O的半径,
∴直线QD是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为r,
∵∠ODQ=90°,
∴OQ2=DQ2+OD2,
∴(3+r)2=r2+(3√3)2,
∴r=3,
QD 3√3
∵tan∠DOQ= = =√3,
OD 3
∴∠DOQ=60°,
3√3
∴DF=OD·sin∠DOQ=3×sin 60°= ,
2
∵CD⊥AB,
3√3
∴DC=2DF=2× =3√3.
2
能力提升
1.C 解析:如图,设AB与OC交于点D,
∵弦AB的长为4√3,OC⊥AB,
∴AD=BD=
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1
AB=2√3,
2
∵∠ABC=30°,
∴∠AOD=2∠ABC=60°,
∴∠A=90°-60°=30°,
∴OA=2OD,
设OD=x,则OA=2x,
在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,即x2+(2√3)2=(2x)2,
解得x=±2(负值舍去),
∴OA=2x=4,
∵OP=5,
∴OP>OA,
∴点P在圆O外.故选C.
2.D 解析:如图,过点O作OE⊥AC于点E,OD⊥BC于点D,OF⊥AB于点F.
易证四边形OECD是正方形,设OE=OD=OF=r,
则EC=CD=r,
∴AE=AF=b-r,BD=BF=a-r,
∵AF+BF=AB,
∴b-r+a-r=c,
a+b-c
∴r= ,
2
∴d=a+b-c.故选项A正确.
∵S =S +S +S ,
△ABC △AOC △BOC △AOB
1 1 1 1
∴ ab= ar+ br+ cr,
2 2 2 2
∴ab=r(a+b+c),
ab 2ab
∴r= ,即d= .故选项B正确.
a+b+c a+b+c
∵由前面可知d=a+b-c,
∴d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2,
∵a2+b2=c2,
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∴上述式子=2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2[(c2-ac)+b(a-c)]=2(c-a)(c-b),
∴d=√2(c-a)(c-b),故选项C正确.
排除法可知选项D错误.故选D.
2√5 1
3.(1) (2)
5 5
解析:(1)∵DE⊥CE,
∴CD就是△CDE外接圆的直径,
∵D在AB上,
∴当CD⊥AB时,CD最小,
在Rt△ABC中,
AB= ,
√AC2+BC2=√5
AC·BC 2√5
∴CD= = .
AB 5
(2)取△CDE的内心O,过点O作OF⊥CD于点F,OM⊥DE于点M,ON⊥CE于点N,如图.
设OM=ON=OF=r,DE=x,
根据内心的性质可知,DF=DM,CF=CN,EM=EN,
∵∠DEC=90°,
∴四边形ENOM为正方形,
∴CD=DE+CE-2r,
∵DE∥BC,
DE AE
∴ = ,
BC AC
∴AE=2x,
∴CE=2-2x,
在Rt△CDE中,CD2=DE2+CE2=x2+4(1-x)2=5x2-8x+4,
∴5x2-8x+4=(DE+CE-2r)2=(x+2-2x-2r)2,
整理得x2-(r+1)x+2r-r2=0.
∵x存在,
∴Δ=(r+1)2-4(2r-r2)=5r2-6r+1≥0,
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1
∴r≥1或r≤ ,
5
1
∵r
