文档内容
00B-2B01 整数和整除及分解素因数
考情链接
1．本次任务由五个部分构成
（1）整数的意义和分类
（2）整除的意义
（3）因数和倍数的意义
（4）素数与合数
（5）分解素因数
2．考情分析
（1）分解素因数、整数和整除属于数与运算部分，属于记忆水平；
（2）主要考查素数、合数、分解素因数、整数的分类、整除的意义及因数和倍数，以选择
填空题为主，占中考总分值的5%；
3知识加油站1——整数的意义和分类
知识笔记1
1．正整数
在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4…，叫做________．
2．负整数
在正整数1、2、3、4…的前面添上“－”号，得到的数－1、－2、－3、－4…，叫做
________．
3．零
零可以表示没有物体，还可以表示计量过程中某种量的准基数，如0摄氏度．
4．自然数
________和________统称为自然数．
考点一：整数的概念
例题1:
（1）判断题（若是正确的，请说明理由）．
①最小的自然数是1； （ ）
②最小的整数是0； （ ）
③非负整数是自然数； （ ）
④有最大的正整数，但没有最小的负整数； （ ）
⑤有最小的正整数，但没有最大的负整数． （ ）
（*2）（2022•青浦区青浦一中期中）下列说法正确的是 .
A．最小的正整数是0 B．没有最小的正整数
C．整数一定比小数大 D．所有的自然数都是整数
练习1:
（1）_________，0，_________统称整数．
（2）在有理数中，下列说法正确的是（ ）
A．有最小的负整数，但没有最大的正整数 B．有最小的自然数，也有最大的负整
数
C．有最大的数，也有最小的数 D．有最小的数，但没有最大的数
4考点二：整数的分类
知识笔记2
整数的分类
正整数、零、负整数，统称为整数．
例题2:
把下列各数放入相应的圈内：
15， ， ，0， ，0.7，13， 0.2323…， ．
整数 自然数
正整数 负整数
5练习2:
先把下列各数放入正确的圈内
，2， ……，15， ，0，3.83，0.3，1，4.732732……， ，10．
整数 自然数
正整数 负整数
考点三：整数的表示
例题3:
五个连续的自然数，已知中间数是 ，那么其余四个数分别是______、______、______、
______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．
练习3:
三个连续自然数的和是21，这三个自然数分是______、______、______．
6知识加油站2——整除的意义
知识笔记3
1. 整除的概念
若整数 除以非零整数 ，商为整数，且余数为零， 我们就说 能被 _______（或说
b____________）.
2. 整除的条件
（1）除数、被除数和商都是_______；
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为________．
考点四：整除的概念
例题4:
（1）（2021•宝山区校级月考）在 中， 能被 整除．
（2）（判断以下句子是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“×”
①13能被0.3整除．（ ）
②因为 ，所以说15能被0.3整除．（ ）
③如果 ，那么 能被 整除．（ ）
（3）（2022•宝山区校级月考）能整除16的数有__________________________．
练习4:
（1）（2023•宝山区期末）下列各算式中，被除数与除数具有整除关系的是
A． B． C． D．
（2）判断以下句子是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“×”
①因为 ，所以3能被1.5整除．（ ）
②因为 ，所以 能被 整除．（ ）
③如果 ，那么 一定能被 整除．（ ）
（3）（2021•宝山区校级月考）能整除12的数有_________________________．
考点五：整除与除尽
知识笔记4
7除尽与整除
（1）除尽的概念：若数 除以非零数 ，商为整数或有限小数，我们就说 能被 除尽
（或 能除尽 ）.
（2）除尽和整除的区别：整除要求被除数、除数、商都是整数；除尽要求被除数、除数、
商可以是整数，也可以是有限小数，______________________________；
（3）总结：________________________________________________.
例题5:
已知下列除法算式：
57÷7=8……1； 21÷7=3； 22÷0.2=110；
22÷5=4.4； 0÷3=0； 2÷4=0.5．
（1）表示能除尽的算式有哪几个？
（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？
练习5:
把表示下列算式的序号填入适当的空格内．
（1）30÷10 （2）7÷25 （3）35÷0.1 （4）18÷3
（5）0.4÷2 （6）3.9÷0.3 （7）27÷9 （8）16÷4
除数能整除被除数的：________________________________________；
能够除尽的：________________________________________________．
8考点六：整除与余数的应用
例题6:
（1）框内有36个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个拿出，要求每次拿出的苹果的个
数同样多，而且正好拿完，那么拿法共有 种．
（2）王老师带领24名学生去社区为民服务，需平均分成若干个小组，每组的人数在5到
10人之间，应该怎样分组？
（*3）2017年教师节正好是星期日，师生们可以利用星期五下午的班会课提前庆祝节日．
有同学问，那明年的教师节是星期几呢？我们能否不翻阅日历，就知道 2018年的教师节是
星期几呢？
练习6:
（1）筐内有196个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的苹果个数
同样多，而且正好拿完，那么拿法共有( ).
A．4种 B．6种 C．7种 D．9种
（2）面积是96平方厘米，形状不同且长和宽都是整数厘米数的长方形有多少种？
（*3）学校一学期共安排86节数学课，单周一三五每天两节，双周二四每天两节．开学第
一天星期一没有上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？
9*例题7:
（长宁区校级自主招生）如果某正整数不论从左面或右面读起都相同（如 ，2002
等）那么称该数为“回文数”，能被101整除的最大五位回文数是 ．
*练习7:
一个正整数，由 个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整
除，前三位数可以被3整除， ，一直到前 位数可以被 整除，则这样的数叫做“精巧
数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以
被3整除，则123是一个“精巧数”．
（1）243 “精巧数”（填是或不是）；3246 “精巧数”（填是或不是）；
（2）若四位数 是一个“精巧数”，求 的值；
10知识加油站3——因数和倍数
知识笔记5
因数和倍数的概念
整数 能被整数 整除， 就叫做 的_______， 就叫做 的_______（也叫______）.
考点七：因数与倍数的概念
例题8:
（1）（2022•徐汇区期末） 能整除19，那么 是
A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数
（2）12和3，其中 是 的因数， 是 的倍数．
练习8:
有一个算式 ，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，
还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．
考点八：因数与倍数的应用
知识笔记6
1．因数和倍数的特点
（1）________________________________________________________________________；
（2）________________________________________________________________________；
（3）________________________________________________________________________．
2．因数和倍数的性质
（1）一个整数的因数有有限个.一个整数最小的因数是____，最大的因数是它本身；
（2）一个整数的倍数有_______．________________________________________________．
11例题9:
（1）（2023•普陀区期中）一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数
A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在
（2）105以内15的倍数共有
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
练习9:
（1）一个数既是18的约数，又是18的倍数，这个数是_______．
（2）（2021•青浦区期中）36的所有因数的个数有
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
*例题10:
（2022•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数 ，我们把小于
的正的因数叫做 的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．
把一个自然数 的所有真因数的和除以 ，所得的商叫做 的“完美指标”．所以，16的
“完美指标”是 ．
*练习10:
规定一个新运算：对于不小于3的正整数 ， 表示不是 的因数的最小正整数，如5的
因数是1和5，所以（5） ；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8） 等等，请你在
理解这种新运算的基础上，求（6） ．
12知识加油站4——素数与合数
知识笔记7
1．素数
素数：一个正整数，如果只有___和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做______．
2．合数
合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数．
3．1既不是素数，也不是合数
正整数可分为：______、______和______三类．
4．100以内的素数表
2、3、5、7
11、13、17、19
23、29
31、37
41、43、47
53、59
61、67
71、73、79
83、89
97
13考点九：素数与合数的概念与性质
例题11:
（1）下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？
6，13，18，31，51，67，87，120．
（2）（2022•松江区期中）在下列说法中，正确的是
A．奇数都是素数 B．奇数是合数
C．两个连续的正整数互素 D．在正整数中，除了素数都是合数
练习11:
（1）（2022•松江区期中）在11、21、31、51、61中，合数有 个．
（2）（2022•嘉定区期中）下列说法正确的是
A．奇数都是素数 B．素数都是奇数
C．合数不都是偶数 D．偶数都是合数
考点十：素数与合数的应用
例题12:
（*1）（2022•宝山区期中）如果两个素数的和是奇数，那么其中较小的素数是 ．
（2）已知字母 分别代表一个素数，并且 ，你能知道 这两个数相乘的
积是多少吗？
（3）（2021•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又
是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数
是 ．
练习12:
（1）两个素数的和是201，那么这两个素数的乘积是_____.
14（2）（2022•普陀区校级期中）有一个三位数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数
字是最小的自然数，个位上的数字是最小的素数，这个三位数是 ．
*例题13:
（1）（2021•宝山区校级月考）小杰刚为自己的电脑设置了一个新密码，你能破解吗？
密码的顺序如下 ，其中： 是最小的合数； 是唯一的偶素数； 是两个素数的乘
积，且这两个素数又是连续的正整数； 只有一个因数的数； 既不是正整数，也不是负
整数的数； 是所有因数是1，2，4，8的数．
小杰的电脑密码是： ．
（2）已知一个长方形的长和宽都是质数厘米，并且周长是36厘米．问这个长方形的面积
至多是多少个平方厘米？
*练习13:
有一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是40厘米，这个长方形的面积最大是多少平方
厘米？
15知识加油站5——分解素因数
知识笔记8
1．分解素因数
每个合数都可以写成几个_______相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这
个合数的素因数．
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做____________．
2．分解素因数的方法
（1）树枝分解法
例如：
（2）短除法
如下图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
②得出的商如果是______，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
③然后把各个除数和最后的商按______的顺序写成连乘的形式．
16考点十一：分解素因数
例题14:
（1）（2022•杨浦区期中）下列各式中表示分解素因数的式子是
A． B． C． D．
（*2）（2021•金山区期末）把24分解素因数，正确的形式是
A． B． C． D．
练习14:
（2022•长宁区校级期中）把36分解素因数正确的算式是
A． B． C． D．
例题15:
（1）（2023•普陀区期中）用短除法将下列各数分解素因数．
①40；②114．
（*2）（2022•静安区期中）将28和70分解素因数，并写出它们公有的素因数．
17练习15:
（*1）（2020•闵行区期末）把18分解素因数，那么18=_____________.
（2）（2021•宝山区校级月考）把下列各数分解素因数．
54；102．
例题16:
（2021•嘉定区期中）规定一种新运算，对于一个合数 ， 表示不是 的素因数的最小
素数，如（4） ， ，那么 ．
练习16:
如果 表示全部素因数的和，如 ，试求 的值．
*例题17:
把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920．
这篮苹果共有多少个？
*练习17:
有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗．共有多少种分法？
18全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列说法中正确的是
A．1是自然数，并且是最小的自然数
B．1是任何正整数的因数
C．一个正整数至少有2个因数
D．整数可以分为正整数和负整数两类
（2）下列说法中正确的是
A．任何正整数的正因数至少有两个
B．一个数的倍数总比它的因数大
C．1是所有正整数的因数
D．3的因数只有它本身
（3）（2020•浦东新区月考）下列说法中错误的是
A．0是最小的自然数
B．一个正整数不是奇数就是偶数
C．素数都是奇数
D．不相等的两个素数一定互素
（4）（2020•徐汇区校级期末）在正整数中，4是
A．最小的奇数 B．最小的偶数 C．最小的素数 D．最小的合数
练习2:
（1）（2023•崇明区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是
A．1和2 B．2和1 C．1和0.5 D．0.5和1
（2）（2022•嘉定区期中）18的因数有__________________________．
练习3:
（1）①（2021•宝山区校级月考）自然数中最小的奇素数是 ．
②（2022•青浦区期中）最小的合数是 ．
（2）（2021•徐汇区校级期中）既不是合数又不是素数的正整数是 ，既是素数又是偶
19数的正整数是 ．
（3）三个素数的和是100，这三个素数的积最大是多少？
（4）一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少？
练习4:
（1）（2020•浦东四署期末）分解素因数42=________________；
（2）学校搬家用车分3次运送315只箱子.已知每辆车装的箱子数相等且至少装7箱，问可
以有多少辆车？且每辆车装多少只箱子？（每辆车至多装50只箱子）
20练习5:
（1）一个数是15的倍数，又是15的因数，这个数是多少？
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数？这个数是多少？
练习6:
一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为
原数的6倍，此六位数为 ．
练习7:
一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是？
21关卡二
练习8:
将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数
之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 种．
练习9:
同学们可能都知道，对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被 3整除，那么这
个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是 ，百位上的数字是 ，
十位上的数字为 ，个为上的数字为 ，如果 可以被3整除，那么这个四位数
就可以被3整除．
（1）你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．
（2）通过本题的证明，你能总结出能被9整除的整数的特点吗？不必证明．
22练习10:
我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数 ，我们把小于 的正的因数叫做 的
真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．
把一个自然数 的所有真因数的和除以 ，所得的商叫做 的“完美指标”．如10的“完
美指标”是 ．
一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”
是 ，10的“完美指标”是 ，因为 比 更接近1，所以我们说8比10
更完美．
（1）试分别计算5、6、9的“完美指标”；
（2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数．
练习11:
先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的 4倍，然后再将和数的末位
数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是
13的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的
倍数？（写出具体过程）
（1）9062； （2）12805； （3）158506．
2324B02 公因数与公倍数
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）公因数和最大公因数；
（2）公倍数与最小公倍数；
（3）最大公因数与最小公倍数综合.
2. 考情分析
（1）主要考查公倍数，最小公倍数以及最大公因数和最小公倍数的应用，以解答题为主，
占中考总分值的5%；
（2）这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数
在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一
方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
25知识加油站1——公因数和最大公因数
知识笔记1
1. 公因数
几个数_________，叫做这几个数的公因数．
2. 最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
3. 求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数____________，所得的积就是它们
的最大公因数．
常见方法一：列举两个数所有的因数，找出最大公因数
方法二：分别对两个整数分解素因数；
方法三：短除法
考点一：公因数与最大公因数
例题1:
（1）36和60的公有的素因数是 ，所以它们的最大公因数是 ．
（2）（2021•宝山区校级月考）12和18的最大公因数是 ．
（3）（2021•宝山区校级月考）已知 ， ，那么 和 的公因数有
， 和 的最大公因数是 ．
练习1:
（1）45和60公有的素因数是 ．
（2）求18与30的最大公因数为： ．
（3）（2020•徐汇区校级月考）甲数 ，乙数 ，甲乙两数的最大公因
数是 ．
26例题2:
（2020•徐汇区校级月考）求下列各组数的最大公因数．
（1）18和24；
（2）90和135（短除法）．
练习2:
（2023•普陀区校级月考）用短除法求出12和32的最大公因数．
考点二：公因数与最大公因数的实际应用
例题3:
（1）（2023•普陀区校级月考）“十一”时学校搞联欢，用36朵红花和48朵黄花扎成花
束．如果每个花束里的红花朵数相同，黄花的朵数也相同，那么最多可以扎几个花束？每
个花束里最少有几朵红花、几朵黄花？
（2）（2023•普陀区校级月考）把一张长35厘米、宽28厘米的长方形纸，裁成若干个同
样大小的正方形，而且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？一共能裁成多少个正方
形？
练习3:
27（1）（2021•宝山区校级月考）国庆节，老师将带领18名女生和24名男生去敬老院慰问
孤老，老师把同学分成人数相等的若干组，每个小组中的男生人数都相等．问这42名同学
最多能分成几组？
（2）（2022•松江区校级月考）小明把一张长为72厘米，宽为42厘米的长方形纸片裁成
大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，请你帮助小明算一下，裁出的正方形纸片最少有
多少张？
28考点三：两个数互素
知识笔记2
1. 两个数互素
如果两个整数只有公因数____，那么称这两个数互素．
2. 最大公因数的规律
两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的__________；如
果在这两个数互素，那么它们的最大公因数就是______．
例题4:
（1）（2021•徐汇区校级期中）下面各数中，与6互素的合数是
A．10 B．1 C．3 D．35
（2）（2022•青浦区期中）下列说法正确的是
A．两个素数没有公因数
B．两个合数一定不互素
C．一个素数和一个合数一定互素
D．两个不相等的素数一定互素
（3）（2023•普陀区校级月考）根据规律求出23和92的最大公因数．
练习4:
（1）下列各组数中的两个数不是互素数的是
A．1和26 B．15和16 C．4和9 D．12和39
（2）（2023•普陀区校级月考）写出一个与16互素的合数 ．
29知识加油站2——公倍数与最小公倍数
知识笔记3
1．公倍数与最小公倍数
（1）公倍数：几个整数的__________叫做它们的公倍数.
（2）最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2．求最小公倍数
（1）取两个整数所有_________；
（2）取它们各自剩余的素因数，
（3）将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数.
常见方法一：按从小到大的顺序列举两个数的部分倍数，找出最小公倍数
方法二：分别对两个整数分解素因数；
方法三：_________
3．最小公倍数的规律
（1）如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的_________.
（2）如果两个数互素，那么它们的_________就是它们的最小公倍数．
考点四：最小公倍数
例题5:
分解素因数求下列各组数的最小公倍数：
（1）17和51； （2）36和48； （3）4、9、11； （4）42、63、105.
练习5:
分解素因数求下列各组数的最小公倍数：
（1）54、27、18； （2）8和9； （3）8、9、6； （4）24和30.
例题6:
（2020•徐汇区校级月考）短除法求下列各组数的最小公倍数．
（1）40和72；
（2）24、36和60．
30练习6:
（2023•普陀区校级月考）用短除法或规律求出下列各组数的最小公倍数．
（1）12和32；
（2）23和92．
例题7:
（1）（2020•浦东新区月考）甲数 ，乙数 ，甲数和乙数的最小公倍
数是 ．
（2）（2020•浦东新区校级期中） 和 都是正整数，将它们分别分解素因数得
， ，如果 和 的最小公倍数是315，那么 ．
练习7:
（2021•宝山区校级月考）已知 ， ，则 与 的最小公
倍数是 ．
31考点五：公倍数与最小公倍数的实际应用
例题8:
（1）一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹
果共有多少个？
（2）（2021•宝山区校级月考）有一批图书，平均分给6位同学的话多3本，平均分给8位
同学的话多5本，平均分给9位同学的话少3本，那么这批图书最少有 本．
练习8:
（1）（2023•普陀区校级月考）上海中环立交桥上安装了漂亮的变色灯，分装在上、下两
层，第一层变色的次序是红 黄 蓝 绿，第二层变色的次序是红 白 紫，均为每
隔1分钟改变一次颜色．请问从立交桥上全部变为红色开始最少再经过 分钟，整个立
交桥上会再次全部变为红色？
（2）被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？
32知识加油站3——最大公因数与最小公倍数综合
考点六：同时求解最大公因数和最小公倍数
例题9:
（1）（2022•松江区校级月考）若 ， ，则 和 的最大公因数是
，最小公倍数 ．
（2）（2021•宝山区校级月考）已知 、 是正整数，且 ，则 和 的最大公因数
是 ，它们的最小公倍数是 ．
练习9:
（2021•宝山区校级月考）12和16的最大公因数和最小公倍数的和是 ．
例题10:
（2021•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
（1）42和63； （2）12和48； （3）13和104； （4）84和210．
练习10:
（2021•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
（1）46和92； （2）13和52； （3）34和51．
33考点七：最大公因数和最小公倍数的关系
知识笔记4
两数的最大公因数与最小公倍数的关系
已知数 和数 ，两数的最大公因数为 ，最小公倍数为 ，则：_____________.
例题11:
（1）已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？
（2）（2020•浦东新区月考）已知甲、乙两数没有倍数关系，它们的最大公因数是12，最
小公倍数是72，求甲、乙两数．
（3）已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？
练习11:
（1） 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？
（2）两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别
是多少？
34全真战场
关卡一
练习1:
（1）如图，下列说法错误的是
A． 和 都是偶数 B． 和 的最大公因数是8
C． 和 公有的素因数是1 D． 和 的最小公倍数是96
（2）（2021•宝山区校级月考） 和 是一对互素数，它们的最小公倍数是
A． B． C．1 D．
练习2:
（1）（2021•徐汇区校级月考）24与32的最大公因数是 ．
（2）（2023•普陀区校级月考）求12和18的最小公倍数是 ．
（3）如果 ， ，它们的最大公因数是 ．
（4）（2022•杨浦区月考）已知 ， ，它们的最小公倍数是 ．
练习3:
（1）求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．
①36和84； ②12，15和18．
（2）已知甲数 ，乙数 ，若甲、乙两数的最大公因数是42，求 的
值．
35练习4:
两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多
少？
练习5:
（2022•杨浦区月考）小杰家的客厅地面是长4.8类，宽3米的长方形，他家装修新房时准
备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，请问地砖边长最大是多少厘米？需要多少块这样
的地砖？
练习6:
（2022•徐汇区校级月考）有一种长6厘米，宽4厘米的长方形塑料片，如果将这种塑料片
拼成一个正方形，最少需要多少块？这个正方形的面积是多少？
36关卡二
练习7:
（2021•宝山区校级月考）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成四等
分，第二种刻度线将木棍分成六等分，第三种刻度线将木棍分成九等分，如果沿每条刻度
线将木棍锯断，总共被锯成了 段．
练习8:
张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x、y、z的最小公倍数
是60，x和y的最大公因数为4，y和z的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多
少张？
3738B03 分数的意义、性质及乘除法
考情链接
1. 本次任务由四个部分构成
（1）分数与除法的关系
（2）分数的基本性质
（3）分数的大小比较
（4）分数的乘除法
2. 考情分析
（1）分数的意义和性质、分数乘除法属于数与运算部分，属于解释性水平；
（2）主要考查分数的基本性质，分数的约分、通分，分数的大小比较及分数的乘除法，以
填空题解答题为主，占中考总分值的5%；
（3）通过本讲的学习，我们需要根据具体的情境理解分数的意义，从而掌握分数的表达方
式及分数与除法的关系，进而根据除法的基本性质理解并掌握分数的基本性质，另外我们
通过学习约分化简分数并理解最简分数的概念，利用通分的方法将异分母的分数化为同分
母的分数，从而进行大小比较，为分数加减法的学习做好准备．同时要理解倒数的意义，
掌握分数的乘法和分数的除法的运算法则，熟练分数乘除法的运算，并学会简单的分数乘
除法的应用，难点是相关的简便运算．
39知识加油站1——分数与除法的关系
考点一：分数与除法
知识笔记1
分数与除法的关系
（1）用文字表示是：
被除数÷除数=_______；
（2）用字母表示是：
两个正整数p、q相除，可以用分数_____表示，读作q分之p．
即 ，其中p为分子，q为分母．
特别地，当q =1时， ，例如3÷1= =3．
例题1:
用分数表示下列除法的商．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
（2）若铺设一条长为10千米的天然气管道要一个星期完成，则平均每天铺设的天然气管
道长度为
A． 千米 B． 千米 C． 千米 D． 千米
练习1:
把下列分数写成两个数相除的式子．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
（2）如果5千克煤可发电9度，那么发一度电需要煤
A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
例题2:
（1）如图，阴影部分的面积是整个长方形面积的
40A． B． C． D．
（2）（2020•浦东新区期中）一根绳子对折3次，每段长是全长的
A． B． C． D．
（3）（2022•青浦区期中）一条公路长20千米，已修了5千米，没修的占全长的________
（填几分之几）．
（4）在数轴下方的空格里填上适当的分数．
0 1 2
练习2:
（1）（2022•徐汇区校级期中）下列各图，用分数表示图中阴影部分与整体的关系，正确
的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）一根绳子长5米，对折3次，每段长是全长的________．
（3）（2022•嘉定区期中）把一筐重 5千克的苹果平均分成 8份，那么每份是总体的
______．
（4）在数轴上画出分数 、 所对应的点．
0 1 2
41*例题3:
（1）小张5个小时加工了7个零件，那么他每小时加工几个零件？他加工一个零件需要多
少小时？
（2）把9米长的绳子平均分成11段，每段长多少米？每段绳子长是这段绳子长的几分之
几？
*练习3:
（1）小杰做12道习题用去19分钟，那么他平均多少分钟可以完成1道题？平均1分钟完
成多少道题？（用分数表示）
（2）一根绳子长50米，平均分成7段，每段占这根绳子的几分之几？每段长多少米？
42知识加油站2——分数的基本性质
考点二：分数的基本性质
知识笔记2
分数的基本性质
分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．
即：__________________（ ， ， ）
例题4:
（1）在括号内填上适当的数使等式成立：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
（2）在括号内填上适当的数使等式成立：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
（3）（2022•嘉定区期中）把分数 的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的 ，所
得的分数比原来（ ）
A．扩大到原来的7倍 B．缩小到原来的12倍
C．不变 D．扩大到原来的12倍
练习4:
（1）在括号中填上适当的数：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
（2）在括号内填上适当的数使等式成立：
43① ； ② ；
③ ； ④ ．
（3）（2020•松江区期中）如果一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母缩小为原来的
那么结果是（ ）
A．原分数的 B．原分数的
C．原分数的2倍 D．原分数的4倍
考点三：约分及最简分数
知识笔记3
1．约分
把一个分数的分子与分母的_________约去的过程，称为约分．
2．最简分数
分子和分母________的分数，叫做最简分数．
将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断地约分
直到分子、分母互素为止．
例题5:
（1）将分数 、 、 、 约分，并化为最简分数．
（2）用最简分数表示： 分钟 小时； 米 _________千米； 克
千克； 小时 天
（3）一个分数的分子比分母小4，约分后得到 ，则原分数为_______．
练习5:
44（1）把以下分数化为最简分数：
， ， ， ， ， ， ．
（2） 分钟是 小时的 ， 小时是一昼夜的 （填最简分数）
（3）一个分数的分子比分母小4，约分后得到 ，这个分数是 ．
45知识加油站3——分数的大小比较
考点四：通分
知识笔记4
1．公分母
两个异分母的分数 、 （ 、 为常数，且 、 、 ）要化成同分母的分数，
分母必须是 和 的__________，这个分母叫做公分母．
其中 和 的最小公倍数，称为______________．
2．通分
将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．
例题6:
（1）写出三个 和 的公分母______、______和______； 和 的最小公分母是______．
（2）将下列各组分数通分：
① 和 ； ② 和 ； ③ ， ， .
练习6:
（1）写出三个 、 和 的公分母______、______和______； 、 和 的最简公分母
是______．
（2）将下列各组分数通分：
① 和 ； ② ， ， ； ③ ， ， ．
46考点五：分数的大小比较
知识笔记5
分数的大小比较
（1）分母相同而分子不同的分数
分母相同的分数，分子大的分数_________．
（2）分子相同而分母不同的分数
分子相同的分数，分母小的分数_________．
（3）分母不同且分子也不同的分数
①利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小；
②应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小．
例题7:
（1）比较下列分数的大小：
① 和 ； ② 和 ； ③ ， ， ．
（2）写出所有分母为16且比 小的最简分数．
（3）若将分数 ， 和 的分子都化为3后，得到的结果是： ，求 的取值．
练习7:
（1）比较下列分数的大小：
① 和 ； ② 和 ； ③ ， ， ．
（2）请写出一个大于 ，小于 且分母小于15的最简分数：________．
47（3） 是最简分数，且 ， ．写出满足条件的最大和最小的分数．
知识加油站4——分数的乘除法
考点六：分数的乘法
知识笔记6
1．分数与分数相乘
两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母．即：
____________________．
2．整数与分数相乘
整数与分数相乘，整数与分数分子的积作积的分子，分母不变．即：
____________________．
例题8:
（1）计算：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
（2）计算：
① ② ③ ④
（3）计算：
① ② ③
48练习8:
（1）计算：
① ② ③ ④
（2）计算：
① ②
③ ④
（3）计算：
① ② ③
49*考点七：分数乘法的应用
知识笔记7
分数乘法的运用
整数 的 可列式为：____________________．
分数 的 可列式为：____________________．
例题9:
（1）5米的 和2米的 （ ）
A．一样长 B．5米的 长 C．2米的 长 D．无法比较
（2）1吨甘蔗可制糖 吨，125吨甘蔗可制糖______吨；要制糖160吨，需要______吨甘
蔗．
（3）一根电线长24米，截去 ，再接上 米，这时的电线长______米．
练习9:
（1）小智每天早上起床后，用 小时晨练，那么一周小智用______小时晨练．
（2）1小时的 是______分钟；5吨大米的 是______千克．
例题10:
（1）（2021•浦东新区期末）现有1800个零件待加工，第一天加工了总量的 ，第二天加
工了剩余的 ，请问这批零件还剩多少个？
50（2）（2022•松江区校级月考）饭店买来面粉 吨，第一天用去这批面粉的 ，第二天又
用去 吨，两天共用去面粉多少吨？
（3）（2022•静安区期末）小杰去药房买消毒用品，共带了60元，他先买了一瓶洗手液，
恰好花了他所带钱数的 ，接着他又用剩下钱数的 买一次性口罩，那么最后小杰还剩下
多少钱？
练习10:
（1）100米长的绳子，先剪去它的 还多5米，再剪去余下的 ，还剩下绳子多少米？
（2）地球上1千克的物体，在月球上只有 千克；小智的体重是38千克，如果到了月球
上，他的体重比在地球上轻了多少千克？
（3）小华读一本300页的故事书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下的 ．
①第一天读了多少页？
②还剩多少页没有读？
51考点八：倒数
知识笔记8
倒数
1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数．
的倒数是______（ ）， 的倒数是______（ ， ）．
互为倒数的两个数的乘积是1．
例题11:
（1）下列说法正确的是（ ）
A．任何数都有倒数 B．一个数的倒数一定比原数小
C．1除以一个数所得的商叫做这个数的倒数 D．互为倒数的两个数的乘积为1
（2）写出以下各数的倒数：
、 、7、 、 （ ）．
练习11:
（1）因为 ，所以（ ）
A． 是倒数 B． 是倒数
C． 和 没有关系 D． 和 互为倒数
（2） 的倒数是______； 是______的倒数．
52考点九：分数除法的运算
知识笔记9
分数除法的运算法则
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数．用字母表示就是：
_____________________（ ， ， ）
例题12:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ．
（2）解方程：
① ； ② ．
（3）计算：
① ； ② ； ③ ．
53练习12:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ．
（2）解方程：
① ； ② ．
（3）计算：
① ； ② ； ③ ．
、
54*考点十：分数除法的应用
知识笔记10
分数除法的运用
已知某数的 等于 ，则：某数 = ．
例题13:
（1） 中包含______个 ； 由______个 组成；
（2）如果8是某数的 ，那么某数是______．
（3）一台榨油机 小时榨油6吨．那么1小时榨油 吨，榨1吨油需 小时．
练习13:
（1）如果一节课的时间是 个小时，那么______节课的时间是6小时．
（2）绳子剪去 后，剩下 米，原本绳子长______米．
（3）一辆汽车行驶6千米用 升汽油，行驶1千米用汽油 升，1升汽油可以行驶
千米．
例题14:
（1）小智想去看电影《功夫熊猫》，他家距离电影院 千米，他计划用 个小时骑自行
车到达电影院．那么小智骑自行车的平均速度是每小时多少千米？
55（2）小方在做分数除法练习时，把“除以 ”错写成“除以 ”，得到的答案是 ，你
能告诉小方这道题的正确答案吗？
练习14:
（1）小智用 小时可以走 千米的路程，小智现在要走去 千米外的书店，那么他要
用多长时间？
（2）一根竹竿长 米，垂直插入河底泥中 米，露出水面 米，那么这条河的水的深度
是这根竹竿长的几分之几？
56全真战场
关卡一
练习1:
把一根3米长的绳子平均分成5段，那么下列说法正确的是（ ）
A．每段是 B．每段是全长的 C．每段长为 米 D．每段是全长的
米
练习2:
（1）如果 ，那么括号内应填的数字为________
（2）一个分数的分子乘以8，要使其大小不变，分母应________．
（3）（2023•普陀区期中） 的分子增加6，要使分数大小不变，分母应增加________．
练习3:
在括号里填上合适的数．
（1） ； （2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；
（6） ．
练习4:
（1） 化为最简分数是______．
（2）如果一个分数的分子是15，经过约分得 ，那么这个分数是_______．
（3）比较大小: _______ ．
（4）若 ，则括号内可以填的所有整数是_________．
57练习5:
直接写得数：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
练习6:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
练习7:
某学校图书馆里有 90000册书籍，其中 25000册是各学科的参考书，20000册是小说，
30000册是科普类书籍，其他书籍15000册．那么这所学校图书馆每类书各占图书馆藏书
的几分之几？
58练习8:
某校六年级（1）班有女生20人，比男生少8人. 请回答下列问题：
（1）六年级（1）班男生人数占女生人数的几分之几？
83
=
（2）若六年级（1）班的总人数占六年级学生总数的 ，求六年级学生总数是多少？
关卡二
练习9:
如图，用黑白两种大小相等的小立方体堆成一个大立方体，那么在所有的小立方体中，白
色的占总数的几分之几？黑色的占总数的几分之几？
59练习10:
阅读理解题
我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正因数叫做a的真因
数．如10的正因数为1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数a的所有
真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是（1+2+5）
÷10= . 一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美
指标”是（1+2+4）÷8= ，10的“完美指标”是 ，因为 比 更接近1，所以我们说8
比10更完美．
（1）阅读上述材料，分别求12和17的“完美指标”；
（2）比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是_______．（只要求写出答案）
练习11:
比较 和 的大小．
60练习12:
（2022•徐汇区期末）计算：
．
练习13:
计算 .
6162B04 分数的加减法
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）分数的加减法
（2）真分数、假分数和带分数
2. 考情分析
（1）分数的加减法属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查分数的加减运算，以解答题为主，占中考总分值的5%；
（3）通过本讲的学习，需先掌握异分母分数加减法的法则，并能利用法则进行计算．重点
是理解真分数、假分数和带分数的概念，并掌握假分数与带分数的互化，并熟练运用异分
母分数加减法的法则计算带分数加减法．难点是利用分数加减法的规律解分数方程和利用
加法的结合律、交换律以及根据特征寻找规律的技巧进行相关的简便计算．
63知识加油站1——分数的加减法
考点一：同分母分数的加减法
知识笔记1
同分母分数加减法
同分母分数相加减，分母______，分子相加减．
已知分数 、 （ ， ），则：
；
．
注意：一般地，分数运算的结果用________表示
例题1:
计算：
（1） =______； （2） = ______； （3） =______；
（4） =______； （5） =______； （6） =______．
练习1:
计算：
（1） ______； （2） ______； （3） ______；
（4） ______； （5） ______； （6） ______．
64考点二：异分母分数的加减法
知识笔记2
异分母分数加减法
异分母分数相加减，先________，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算．
例题2:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ．
（2）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ．
（3）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
65练习2:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
（2）计算：
① ； ② ； ③ ．
（3）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
66知识加油站2——真分数、假分数和带分数
考点三：真分数、假分数、带分数的概念
知识笔记3
1. 真分数
分子比分母____的分数叫做真分数．
2. 假分数
分子____________分母的分数叫做假分数．
3. 带分数
一个正整数与一个真分数_______所成的数叫做带分数．
带分数是假分数的另一种表达形式．
注意：分数运算的结果如果是假分数，一般用带分数表示．
例题3:
（1）下面叙述正确的是（ ）
A．假分数都大于1 B．真分数都小于1
C．带分数都大于假分数 D．带分数都小于真分数
（2）已知 是正整数， 为假分数， 为真分数，则满足条件的 值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
（3）（2022•普陀区期中）在数轴上分别用 、 表示出 ， 这两个分数对应的点，并
写出数轴上的点 、 所表示的数，点 表示的数是 ；点 表示的数是 ．
再将这几个数用“ ”连接起来： ．
67（4）在分数 ， ， ， ， ， ， ， 中：
① 是最简分数；
② 是假分数，且能化成整数；
③ 是假分数，且能化成带分数．
练习3:
（1）一个分数，它的分子除以分母商1余1，这个分数是（ ）
A．真分数 B．假分数 C．带分数 D．无法确定
（2）（2022•松江区期末）如果 是真分数， 是假分数，那么满足条件的正整数 有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1 11
（3）在数轴上方空格里填上适当的整数或分数，并在数轴上标出=2
和
=2
.
4 44
0 1 2 3 4
（4）真分数与假分数的判断：把下面的分数进行分类．
， ， ， ， ， ， ， ．
真分数：________________________________；
假分数：________________________________．
68考点四：真分数、假分数、带分数的计算
知识笔记4
带分数加减法
带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合并
起来．或者将带分数化为假分数再进行加减运算．
例题4:
把下面的假分数化成整数或带分数，把带分数化成假分数．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） ．
练习4:
把下列分数中的假分数化为带分数，带分数化为假分数．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．
例题5:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ．
69（2）简便运算：
① ； ② ； ③ ．
（3）解方程：
① ； ② ．
（4）一个数减去 ，再加上 等于 ，求这个数．
练习5:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤ ．
70（2）简便运算：
① ； ② ； ③ ．
（3）解方程：
① ； ② ．
（4）一个数加上 ，再减去 等于 ，求这个数．
考点五：分数的应用
例题6:
工人们修一条路，第一天修了全长的 ，第二天比第一天多修了全长的 ．
（1）两天一共修了全长的几分之几？
（2）还剩几分之几没有修？
71练习6:
春天到了，农民伯伯给果树浇水，第一天上午浇了所有果树的 ，下午浇了 ，第二天上
午浇了 ，一共浇了所有果树的几分之几？还有几分之几没浇？
例题7:
小智放学回家后，先用了 个小时吃了晚饭，然后做数学作业用了 个小时，休息了
个小时后，用了 个小时完成了英语作业，接着做语文作业用了 个小时，最后用了 个
小时洗了个澡就睡觉了．问：
（1）小智从回到家到睡觉，总共用了多长时间？
（2）小智总共耗费了多少小时做家庭作业？
（3）小智做作业的时间比做其他事情的时间多几小时？
练习7:
一次校园歌唱比赛，小明和小智都参加了比赛，小明歌唱的时间是 分钟，小智歌唱的
时间是 分钟，问：
（1）两人共唱了几分钟？
（2）小智比小明多唱了几分钟？
72例题8:
一段公路长25km，甲修了 ，乙修了若干千米，丙修了 ，计算发现丙修的长
度比甲减乙的差多 ．问甲、乙、丙有没有把这段公路修完？
练习8:
某工地上有一堆黄沙，第一次用去 吨，第二次比第一次少用 吨．如果剩下的黄沙比前
两天用去的总和多 吨，那么还剩下多少吨黄沙？
73全真战场
关卡一
练习1:
填空．
（1） ______； （2） ______；
（3） ______； （4） ______；
（5） ______； （6） ______；
（7） ______； （8） ______．
练习2:
如果 是假分数，是 真分数，那么正整数 =______．
练习3:
解方程：
（1） ； （2） ； （3） ．
练习4:
（1）一个数减去 与 的和的差为 ，求这个数？
（2）（2022•上海市嘉定区期中）一个数加上 ，再减去 等于 ，求这个数．
（3）（2022•松江区新桥中学月考）一个数减去 的差等于 与 的和，求这个数．
练习5:
74有甲、乙两种货物，甲货物的质量为 千克，乙货物的质量为 千克，
问：（1）两种货物的质量一共多少千克？（2）甲货物比乙货物重多少千克？
关卡二
练习6:
（2021•杨浦区期中）阅读理解题：
求 的和可以有以下两种方法：
方法一：（按法则进行计算）
．
方法二：通过画图发现 的和等于1减去图中阴影部分的面积 ，即得
．
方法三：由图得到启发，想到 ， ， ．
于是得 ．
（1）请你任选一种上述方法求 的和．
（2）用合理的方法计算： ．
（3）用合理的方法计算： 的和（式子中各分数的分母是前一
个分数分母的2倍）．
75练习7:
分母为5的真分数与分母为6的真分数相乘，乘积的可能值有几个？
练习8:
（2022•普陀区期中）观察下列等式：
； ； ； .
运用以上规律，回答下列问题：
（1）填空： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ；
（4） _____．（直接写出答案）
练习9:
计算： ．
76B05 分数与小数的互化
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）分数化为小数
（2）有限小数化为分数
2. 考情分析
（1）分数与小数的互化属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查分数与小数的互化，以填空题和选择题为主，占中考总分值的5%；
（3）通过本讲的学习，我们需要学会把分数化为有限小数或循环小数，并理解循环小数的
意义，同时还需学会有限小数向分数的转化，并学会利用分数与小数互相转化的方法比较
分数与小数的大小，为后面学习分数与小数的混合运算做好准备．
77知识加油站1——分数化为小数
考点一：分数化为有限小数
知识笔记1
1．分数化为小数
利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如： ．
2．可化为有限小数的分数的规律
一个最简分数，如果分母中只含有素因数__________，再无其他素因数，那么这个分数可
以化成有限小数；否则就不能化成有限小数．
3．常用分数、小数互化表
例题1:
把下面的分数化成小数．（不能化成有限小数的，保留三位小数）
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） ．
78练习1:
将下列分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其保留三位小数．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） ．
例题2:
（1）（2020•嘉定区期末）在分数 中能化成有限小数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）如果分数 能化成有限小数，那么正整数x可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（3）将下列分数分别填入相应的圈中：
， ， ， ， ， ， ，
（4）如果 能化成有限小数，且a是不大于10的正整数，则a可以是______．
练习2:
（1）（2023•崇明区期中）在下列分数中，不能化成有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
79（2）要使分数 能化成有限小数，则在下列各组数中，x可以是（ ）
A．3、5、10 B．3、2、18
C．2、16、25 D．3、6、9
（3）（2021•普陀区期中）在分数中 ， ， ， ， ，不能化成有限小数的分数
有____________．
（4）写出3个分母是两位数，分子是1，并且能化成有限小数的分数：_____________．
例题3:
（1）与0.44最接近的分数是（ ）
A． B． C． D．
（2）比较下列两组数的大小： ______0.05， ______3.376．
（3）比较下列各组数的大小，在横线上填入适当的 “>”、“<” 或 “=” 符号：
① ________0.4； ② ________0.75； ③ ________0.81．
（4） ________ ________ ________ ________．（小数）
（5）已知一个数与 的和是8.25，这个数为__________．
练习3:
（1）下列各数中，与0.43最接近的分数是（ ）
A． B． C． D．
（2）在 ， ， ， ， 中，相等的数是_______和________．
（3）将 ， ， ， ， 按从小到大的顺序排列．
80（4） ，括号里依次填________（最后一空，填小
数）．
（5）已知 的 是a， 减去7.25的差是b，a ____ b（填“<”、“>”或“=”）．
考点二：分数化为循环小数
知识笔记2
循环小数
（1）一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个
小数叫做____________．
（2）一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循
环小数的__________．为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环
节的首位和末位的数字上面各记一个圆点．
例如：0．3333…的循环节为“3”，写作 ；0．1363636…的循环节为“36”，写作 ．
例题4:
（1）0.125125…的循环节是_______，写作_________，保留2位小数写作_______．
（ 2 ） 已 知 ： 0.123 ， 0.35555… ， 3.232323 ， 0.01010010001… ， 0.1535353… ，
0.235464309…，其中循环小数有__________________________________．
（3）将分数 化成循环小数的结果为0.7727272…，用简便方法写作________．
练习4:
（1）循环小数 用简便的方法可以写成__________.
（2）无限循环小数 的循环节是_______，用简便写法是_______，保留三位
小数写作________．
（3）已知： 0.12222，0.353555…，3.23232323，0.1010010001…，0.1353535…，
0.231544307…，其中循环小数有_______个．
81例题5:
（1）将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ．
（2）将 、 和 按从小到大的顺序排列．
（3）25分钟=__________小时（用分数表示）=___________小时（用小数表示）．
练习5:
（1）将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其循环节．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
（2）在 这四个数中，最大的数是__________，最小的数是
__________．
（3）比较大小： ______0.583； ______0.232323； ______0.54167．
例题6:
（1） 商的小数点后面第100位上的数字是_________；
82（2）将 化为循环小数后，小数点后的前100个数字之和为多少？
练习6:
（1）算式14.1÷9的商用循环小数表示是__________，商的小数点后面第100位上的数字
是__________；
（2） 化成小数后，小数点后第2020位数字是_________．
例题7:
把下列分数化成循环小数： ， ， ， ， ， ；你能发现这六个不同的分数化成
循环小数后之间的关系吗？
练习7:
如果真分数 的小数前10个数字之和为46，那么x等于多少？
83知识加油站2——有限小数化为分数
考点三：有限小数化为分数
知识笔记3
1．有限小数化为分数
原来有几位小数，就在1后面添几个零作为分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整
数部分作为带分数的整数部分．
注意：结果一定要化为最简分数．
2．常用小数、分数互化表
例题8:
（1）下列说法正确的是（ ）
A．任何分数都能化为有限小数 B．任何有限小数都能化为最简分数
C．分数 能化为有限小数 D．将2.12化为分数是
（2）将下列小数化成分数：
0.5，0.6，0.25，0.125，0.04，0.05，0.06；
（3）10.26分米 _______分米 _______米；0.26天 _______小时；
2.64小时 ________小时；3.25米 _______米；（填分数）
（4）0.7的倒数是______；0.6的倒数是______；
练习8:
（1）将小数0.12化为最简分数为______，将1.05化成带分数为______；
（2）将0.8，0.18，2.188分别化成分数；
84（3）5时50分 ______时；255厘米 ______（用小数表示） ______米；135分
_________时（用分数表示）；
（4）小数1.25的倒数是_______；
例题9:
将下列各组数按从小到大的顺序排列．
（1） ，0.2， ；
（2） ，0.61， ；
（3）0.314， ， ；
（4） ， ，3.985， ．
练习9:
将下列两组数按从小到大的顺序排列．
（1） 、 、0.2、 ；
（2） 、 、 、 ．
85例题10:
（2022•宝山区罗南中学期末）甲、乙、丙三位同学同时打印一篇文章，甲用了 1小时40
分，乙用了1.5小时，丙用了 小时，打得最快的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
练习10:
李阿姨和王叔叔两人打字，李阿姨平均每秒打0.9个字，王叔叔1分钟打了50个字，平均
每秒打 个字，谁打字打得快？
86全真战场
关卡一
练习1:
（1）在分数 、 、 、 、 、 中，能化成有限小数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）将下列分数化为有限小数或循环小数．
① ； ② ； ③ ．
练习2:
将下列小数化为最简分数．
（1）0.26； （2）1.375； （3）2.56．
练习3:
（1）将 ， ， 按从小到大的顺序排列；
（2）（2021•青浦区期中）将 、 、0.66按从小到大的顺序排列：____________．
练习4:
（1）（2021•静安区期中） ，所以 的小数部分前100位之和： ．
模仿求解： 的小数部分前100位之和为_______．
（2）分数 化为循环小数后，小数点右边第200位上的数字是______．
87练习5:
学校食堂第一周烧煤 吨，第二周烧煤0.65吨．哪周节约？
关卡二
练习6:
计算： ．
练习7:
把小数0.987654321变成循环小数．
（1）如果把表示循环节的两个点加在7和1上面，则此循环小数小数点后第200位上的数
字是几？
（2）如果要使小数点后第100位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两
个数字上面？
88练习8:
【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示. 分数、小
数进行比较时也需要进行互化. 我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能
没有学会，但是非常重要．
例如：如何将无限循环小数 化成分数.
解法1：因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，从而得 ．
解法2：因为 ， ，两式相减得：
，又 ，所以 ，
从而得 ．
用上述方法将无限循环小数 化成小数（需要写出过程）．
8990B06 分数、小数的四则混合运算
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）分数、小数的混合运算
（2）分数、小数的速算、巧算
2. 考情分析
（1）分数与小数的四则混合运算属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查分数与小数的综合运算，以解答题为主，占中考总分值的5%；
（3）分数、小数的四则运算对于培养同学们的计算能力起着十分重要的作用，要想掌握好
分数、小数的四则混合运算：
一要牢记分数、小数的基本运算法则：基本运算法则是运算的基础；
二要掌握分数与小数的互化：分数与小数的互化在它们的四则运算中是十分重要的一环，
我们需要根据题目的需要将分数化成小数或将小数化成分数；
三要有意识地观察并灵活分析题目的特征，充分利用乘法分配律等技巧进行速算和巧算．
91知识加油站1——分数、小数的混合运算
考点一：分数、小数的混合运算
知识笔记1
混合运算的一般原则
（1）加减混合运算时，只需将题目中的数同时化成小数或分数后再运算；但当分数不能化
成有限小数时，则应同时化成________后再运算；
（2）乘除运算中，一般将除法先转化为乘法，小数转化为分数，然后遵循先约分再运算的
原则进行计算；
（3）一般的运算顺序：先________，后________；若有括号，则先算括号内．
例题1:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
（2）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
练习1:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
92（2）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
例题2:
（1）计算：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
（2）计算：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
93（3）计算：
① ． ②
③ ④
练习2:
（1）计算：
① ； ② ； ③ ．
（2）计算：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
9495（3）计算：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
96考点二：分数、小数混合运算的应用
例题3:
部队到野外进行军事训练，每小时走5.5千米，0.75小时走完全程的 ，余下的路程用4小
时30分钟走完．余下的路程每小时应走多少千米？
练习3:
小孙的体重是30.6千克，是小马体重的 ，小程的体重是小马体重的 ，小马的体重是多
少千克？小程体重是小孙体重的几分之几？
97知识加油站2——分数、小数的速算与巧算
考点三：分数与小数的速算、巧算
知识笔记2
1．常见的分数与小数互化
在分数与小数的混合运算中，要非常熟练地掌握一些简单的分数和小数之间的互化，做到
一看便知，从而有效地提高运算的简便性和正确性．如：
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ．
2．凑整的思想
（1）加法凑整：若几个数相加的和是一个整数，那么可将这几个数作为一组进行计算，如：
；减法亦然．
（2）乘法凑整：若几个数相乘的积是一个整数，那么可将这几个数作为一组进行计算，如：
；除法亦然．
3．乘法分配律的逆运用
乘法分配律：______________________，将等号的左边和右边调换位置后得到：
______________________．
这一运用，在速算和巧算中是很常用也很重要的方法，例如：
．
例题4:
简便计算：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
98练习4:
计算（能简便需简便）
① ； ② ；
③ ； ④ ．
例题5:
计算：
（1） ； （ 2 ）
；
（3） ； （4） ．
99练习5:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
100考点四：新定义题型
例题6:
规定： ，试计算： ．
练习6:
规定一种新运算： ，试计算： .
例题7:
规定： ，例如 ．
（1）求 的值；
101（2）求 的值；
（2）若 ，求x的值．
练习7:
如果规定： ，那么 ．
102全真战场
关卡一
练习1:
（1）计算：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
（2）计算：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
练习2:
计算：
（1）（2021•徐汇区期末） ；
（2）（2021•奉贤区期末） ；
103（3）（2021•普陀区期末） ；
（4）（2021•闵行区期末） ；
（5）（2021•梅陇中学期末） ．
练习3:
把一根长 米的绳子分成三段，要求第二段长是第一段长的2.5倍，第三段长是第一段长
的3.5倍，那么第一段长______米．
练习4:
一个饲养小组养了一些白兔和灰兔，其中灰兔有120只，白兔比灰兔的 少10只．这个小
组一共养了多少只兔子？如果灰兔比白兔的 少10只，结果又如何？
104105练习5:
香菇生产专业户老王用 千克的新鲜香菇可烘制成干香菇 千克，那么1.6吨新鲜香菇
可烘制成干香菇多少千克？
练习6:
计算： ．
练习7:
计算： ．
106关卡二
练习8:
计算： ．
练习9:
计算： ．
练习10:
（2022•黄浦区期中）【阅读材料】三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些
分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过探究，小明发现有一些分数，可以很容
易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
， ， ；
， ， ；
（1）请观察小明发现的拆分方法，填空：
① ；② ．
（2）请归纳以上拆分规律，计算下列各题：
① ；② ；
（3）请运用以上拆分规律，直接写出下列算式的结果：
；
．
107108B07 分数运算的应用
考情链接
1．本次任务由三个部分构成
（1）求一个数的几分之几
（2）已知一个数的几分之几
（3）求一个数比另一个数多（少）几分之几
2．考情分析
（1）分数运算的运用属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查分数应用题，以解答题为主，占中考总分值的5%；
（3）本讲主要包含分数运算的应用中的几种常见的类型，重、难点是第三种类型一个数比
另一个数多（或少）几分之几的应用．通过这节课的学习一方面将前面学过的内容进行复
习巩固，另一方面提升学生的分数计算能力，并且通过解决实际问题，激发学生对数学学
习的兴趣．
109知识加油站——分数应用题
考点一：求一个数的几分之几
知识笔记1
求一个数的几分之几
应用题的数量关系是：单位“1”的量×几分之几=几分之几的具体量．
例：求 的 是多少？
解法___________．
例题1:
（1）一袋糖2千克，它的 是______克；
（2）（2022•徐汇区校级期中）一根绳子总长为15米，第一次截取它的 ，第二次截取
米，两次共截取 米．
A．12.5 B． C． D．
（3）（2022•杨浦区月考）一根绳子长 米，减去它的 后，剩下的绳子长度是
__________米．
练习1:
（1）某年级有198人，其中女同学人数占全年级的 ，则该年级有女生____人．
（2）（2022•闵行区校级月考）有5吨货物，第一次运走了 吨，第二次运走了剩下的 ，
两次共运走了 吨．
A．2 B． C． D．
（3）（2022•浦东新区校级期末）现有一根 米长的绳子，第一次用去了 ，第二次用
去了 米，还剩_________米．
例题2:
110（1）粮店有4000千克大米，第一周卖出 吨，第二周卖出余下的 ，第二周卖出大米多
少千克？
（2）要修一条公路，第一天修 千米，第二天修 千米，第三天修的恰好是前两天的 ，
三天一共修多少千米？
（3）（2022•松江区校级月考）六年级同学给灾区的小朋友捐款．六一班捐了 500元，六
二班捐的是六一班的 ，六三班捐的是六二班的 ．六三班捐款多少元？
练习2:
（1）某商厦国庆期间出售一批电视机共500台，第一天售出全部的 ，第二天售出第一
天的 ，第三天全部售完，问第三天售出多少台？
（2）某水果店苹果的售价为每千克9.6元．小丽买了6千克，小杰买的苹果的千克数是小
丽所买的 ．两人各自付钱，小杰付给收银员一张50元的人民币，收银员应找零多少元人
民币？
（3）（2023•青浦区期中）六（4）班共有学生48人，其中女生人数占全班人数的 ．
111①六（4）班男生共有几人？
②女生人数是男生人数的几分之几？
例题3:
一捆电线50米，第一次用去全长的 多3米，第二次用去余下的 少10米，第三次用去
剩下的 ，还剩几米？
练习3:
某校初三学生在体育达标测试中，有250人参加，其中 是女生，其余是男生，结果男生
中的 以及女生中的 未达标．问达标学生共有多少人？
112考点二：已知一个数的几分之几
知识笔记2
已知一个数的几分之几是多少，求这个数.
应用题的数量关系是：几分之几的具体量÷几分之几＝单位“1”的量．
例：一个数的 是 ，这个数是多少？
解法：__________．
例题4:
（1）甲数的 是 ，乙数的 是 ，甲数（ ）乙数．
A．小于 B．等于 C．大于
（2）（2023•松江区校级期中）若班级有女生20人，女生占班级总人数的 ，则该班级
共有学生_________人．
（3）（2022•杨浦区期末）在北京举办的第二十四届冬季奥运会上，我国获得了9枚金牌，
占获得奖牌总数的 ，那么在本届冬奥会上我国总共获得_______枚奖牌．
练习4:
（1）一个数的 是12，这个数是（ ）
A．16 B．9 C． D．
（2）（2023•杨浦区校级期中）一盒粉笔用去 ，还剩24根，这盒粉笔共有_______根．
（3）一根绳子剪去它的 ，剩下绳子的长度为 米，这根绳子原来长_________米．
例题5:
停车场上有小轿车45辆，占场地停车总数的 ，大客车占停车总数的 ．求停车场停大客
车多少辆？
113练习5:
一根铁丝，第一天用去全长的 ，第二天用去全长的 ，第一天比第二天用去的短30米，
这根电线长多少米？
例题6:
一辆汽车从甲地开往乙地，平路占全程的 ，剩下路程的 是上坡路，其余的是下坡路，
回来时上坡路是10千米，求甲、乙两地相距多少千米？
练习6:
小杰看一本书，第一天看了全书的 又多16页，第二天看了全书的 少2页，第三天看完
了余下的88页，这本书共有多少页？
例题7:
（2023•杨浦区校级期中）一辆公共汽车载了一些乘客从起点出发，在第一站下车的乘客是
车上总人数（含一名司机和两名售票员）的 ，第二站下车的乘客是车上总人数的 ， ，
依此类推，第六站下车的乘客是车上总人数的 ，再开车时车上就剩下1名乘客了．已知
途中没有人上车，问从起点出发时，车上有多少名乘客？
114练习7:
（2021•普陀区校级月考）三个渔夫一起钓鱼，钓满了一桶鱼后他们都睡着了．渔夫甲先醒
来后，把鱼数了一遍，拿出一条放入河里，然后拿起剩下的鱼的 走了；过了一会，渔夫
乙醒来，也把鱼数了一遍，拿出一条放入河里，又拿起剩下的鱼的 走了；最后渔夫丙醒
来一看，桶里还剩6条鱼，请你算一算，三个渔夫一共钓了多少条鱼？
考点三：求一个数比另一个数多（少）几分之几
知识笔记3
1．求一个数比另一个数多几分之几
例：求 比 多几分之几？ 解法：____________________
2．求一个数比另一个数少几分之几
例：求 比 少几分之几？ 解法：____________________
例题8:
（1）（2022•长宁区校级期中）黑兔20只，白兔25只，下列说法正确的是
A．黑兔比白兔少 B．黑兔比白兔少
C．白兔比黑兔多 D．白兔比黑兔多
（2）甲数比乙数多 ，乙数比甲数少（ ）
A． B． C．
115（3）（2022•上海专题练习）班级中男生有24人，女生有21人，以下说法正确的是（
）
①男生人数比女生人数多 ；②女生人数比男生人数少 ；
③男生人数是全班人数的 ；④女生人数比全班人数少 ．
A．①②③④ B．②③ C．③④ D．②③④
练习8:
（1）一筐水果，苹果有12个，桔子有15个，则苹果比桔子少（ ）
A． B． C． D．
（2）王红的体重比李云的体重重 ，那么李云的体重比王红体重轻（ ）
A． B． C． D．
例题9:
填空：
（1）16米增加它的 后是______米．
（2）比5米多 米是______米，比5米多 是______米．
（3）__________比30多 ；36比__________少 ．
练习9:
填空：
（1）故事书有30本，漫画书比故事书多 ，漫画书有________本．
（2）（2022•上海专题练习）桃树有60棵，桃树比梨树少 ，那么梨树有________棵．
（3）陈明的老师拿给陈明出了一道这样的数学题目：______比20多 ，16比______少 ．
请你帮他算算，写到横线上．
例题10:
（2022•静安区期中）向阳中学的六年级的4个班人数统计如下：
116班级 六（1）班 六（2）班 六（3）班 六（4）班
男生人数 30 25 25 25
女生人数 20 20 25 22
（1）六（1）班人数是全年级人数的几分之几？
（2）六（4）班人数是全年级男生人数的几分之几？
（3）六（3）班女生比六（2）班女生人数多几分之几？
练习10:
（2021•徐汇区期中）语文老师对全年级同学作文培训前后的两次情况进行了统计，结果如
下表所示：
优良人
全年级人数 有待提高人数
数
培训
256 180 76
前
培训
256 240 16
后
（1）培训前优良人数占全年级人数的几分之几？
（2）培训后优良人数占全年级人数的几分之几？
（3）培训后优良人数比培训前优良人数增加了几分之几？
117全真战场
关卡一
练习1:
有25吨大米，第一天卖出 吨，第二天卖出余下的 ，第二天卖出大米多少吨？
练习2:
师、徒两人合做一批零件，师傅每天可做全部零件的 ，徒弟每天做的比师傅少 ，这
样师、徒两人每天共做了20个．问：这批零件共有几个？
练习3:
上海到南京的火车，原来要行驶 小时，火车提速后比原来所需时间减少 ，求现在上
海到南京的火车需行驶多少小时？
练习4:
看一本书，第一天看了全书的 ，第二天比第一天多看10页，这时已看的页数是没看的
页数的 ，这本书共有多少页？
118练习5:
（1）某工厂一月份生产化肥200吨，二月份与三月份均比上一个月多增产 ，求第一季度
共生产化肥多少吨？
（2）某小区的房价（平均价）原来是每平方米4200元，现上涨 ，以现在的售价买一
套100平方米的房子，房子总价是多少元？
练习6:
某商店二月份的营业额比一月份增加 ，三月份比一月份减少 ，二月份的营业额是三
月份的几分之几？
关卡二
练习7:
两根同样长的绳子，第一根剪去它的 ，第二根剪去 米，剩下的两段绳子哪根长？为什
么？
练习8:
一个人喝了一杯水的 后，用橘子汁加满；又喝了这杯水的 后，再用橘子汁加满；然后
把这杯橘子水喝完．这个人喝的水多，还是橘子汁多？多多少？
119120B08 有理数的意义
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）有理数
（2）数轴
（3）绝对值
2. 考情分析
（1）有理数的意义属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查有理数、数轴、相反数、绝对值的概念．在填空和选题部分进行考查．其中
绝对值的分类讨论容易在六上以解答的形式进行考查，占期中分值10%左右．
121知识加油站1——有理数
考点一：有理数的概念与分类
知识笔记1
1. 正数和负数
在现实生活中，用正数和负数表示具有 的量．
2. 有理数的概念
整数和分数统称为 ．
3. 有理数的分类
按意义分： ； 按符号分： ．
注意： （1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
例题1:
（1）（2023•闵行区期中）有理数分为
A．正数和负数 B．素数和合数 C．整数和分数 D．偶数和奇数
（2）下列说法正确的是
A．整数就是正整数和负整数
B．负整数的相反数就是非负整数
C．有理数中不是负数就是正数
D．零是自然数，但不是正整数
122（3）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．
① ，② ，③ ，④0，⑤0.01，⑥ ，⑦ ，⑧3.14，⑨100，⑩ ．
正数集合 ______________ ；
整数集合 ______________ ；
负分数集合 ______________ ；
非正整数集合 ______________ ；
自然数集合 ______________ ；
有理数集合 ______________ ．
练习1:
（1）（2021•徐汇区校级期末）下列说法中，正确的是
A．存在最小的有理数 B．存在最大的负有理数
C．存在最小的正有理数 D．存在最大的负整数
（2）（2020•虹口区校级月考）把下列各数的序号填在相应的数集内：
①1 ② ③ ④0 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
（1）正整数集合 ______________
（2）正分数集合 ______________
（3）负分数集合 ______________
（4）负数集合 ______________ ．
考点二：有理数的意义
例题2:
（1）（2023•黄浦区期中）若收入2008元记为 元，则支出168.2元应记为______元．
（2）下列四组量中，不具有相反意义的是
A．海拔“上升200米”与“下降400米”
B．温度计上“零上 ”与“零下 ”
C．盈利100元与亏本25元
D．长3米与重10千克
（3）时差的计算方法：两个时区标准时间（即时区数）相减就是时差，时区的数值大的时
123间早．比如中国北京是东八区 ，美国纽约是西五区 ，两地的时差是13小时，北京
比纽约要早13个小时，如北京时间2月1日 时，美国纽约为2月1日 ．若美国
纽约时间为3月1日 时，埃及开罗时间为3月2日 ，则开罗所在的时区是
A．西二区 B．西三区 C．东二区 D．东三区
练习2:
（1）（2023•闵行区期中）六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师
大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 岁．
（2）如果 分表示比平均分高5分，那么 分表示
A．比平均分低9分 B．比平均分高9分
C．和平均分相等 D．无法确定
（3）如图所示的是某用户微信支付情况， 表示的意思是
A．发出100元红包 B．收入100元
C．余额100元 D．抢到100元红包
124例题3:
（1）（2023•松江区期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采
摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的
千克数记作负数，称重后记录如下：
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
1.5 0 1 2
回答下面问题：
①这10筐白萝卜，最接近25千克的这筐白萝卜实际质量为_____千克．
②以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？
③若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？
（2）（2022•崇明区校级期中）某股民上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下
表为本周内每日该股票的涨跌情况：（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌
（1）星期三收盘时每股是多少元？
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
（3）已知该股民买进股票时付了 的手续费，卖出时需付成交额 的手续费和
的交易税，如果他一直观望到星期六才将股票全部卖出，请算算他本周的收益如何？
125练习3:
（1）某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的
分数记为负数，记录的结果如下（单位：分） 、 、 、 、 、 、 、
、5、 ．
这10名同学中，
①最高分是多少？
②最低分是多少？
③10名同学的平均成绩是多少？
（2）（2020•浦东新区期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，
返回记作负数，他的记录为： ， ， ， ， ， ， （单位：米）．
①守门员最后是否回到了球门线的位置？
②在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？
③守门员全部练习结束后一共跑了多少米？
126知识加油站2——数轴
考点三：相反数的概念
知识笔记2
相反数
只有 的两个数，我们称其中一个数为另一个数的 ，也称这两个数互为
．
互为相反数的两个数的和为 ．
零的相反数是 ．
例题4:
（1）（2023•金山区二模） 的相反数为
A． B．6 C． D．
（2）（2022•上海）8的相反数是
A．8 B． C． D．
（3） 的相反数是
A． B． C． D．
（4）（2021•杨浦区校级期中）下列说法正确的是
A．符号相反的两个数互为相反数
B．一个数的相反数一定是正数
C．一个数的相反数一定比这个数本身小
D．一个数的相反数的相反数等于原数
练习4:
（1）（2023•嘉定区期末） 的相反数是
A． B． C． D．4
（2） 的相反数是_______．
（3）（2021•杨浦区期末）若 与 是互为相反数，则 _______．
（4）如果 表示有理数，那么下列说法中正确的是
A． 和 互为相反数 B． 和 一定不相等
C． 一定是负数 D． 和 一定相等
127考点四：数轴的概念及画法
知识笔记3
数轴
规定了 、 、 的直线叫做数轴．
都可以用数轴上的一个点表示．
在数轴上表示的数， 边的数总比 边的数大．
例题5:
下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是
A．
B．
C．
D．
练习5:
如图所画数轴正确的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点五：利用数轴比较大小
例题6:
（1）在数轴上表示下列各数： ，0， ， ， ， ．指出其中的正整
数和负分数，并把上面各数按从小到大的顺序排列．
128（2）（2021•虹口区校级期中）已知有理数 、 在数轴上的位置如图所示，下列结论正
确的是
A． B． C． D．
（3）（2022•宝山区期中）在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，点 表示数 ，
的值是________．
练习6:
（1）（2022•徐汇区校级月考）在数轴上表示下列分数或整数： ， ， ，2．
（2）如图，数轴上点 和点 分别表示数 和b，则下列式子正确的是 .
A． B． C． D．
129例题7:
（1）（2023•普陀区期末）数轴上的两点 、 所对应的数分别是 和3，那么 、 两
点间的距离等于_______．
（2）（2023•杨浦区期末）在数轴上，如果点 所表示的数是 ，那么到点 距离等于4
个单位的点所表示的数是_______．
（3）（2023•松江区期中）数轴上一点 向右移动2个单位后到达点 ，如果点 到原点
的距离为3，则点 表示的数是_______．
练习7:
（1）（2022•闵行区期末）数轴上 、 两点所表示的数分别是 、 ，那么线段
的长为_________．
（2）（2023•黄浦区期中）在数轴上，到原点的距离等于5个单位长度的点所表示的数是
_______．
（3）（2021•奉贤区期中）在数轴上点 表示的数是 ，则距离点 个单位的 表示的
数是_______．
130知识加油站3——绝对值
考点六：绝对值的意义
知识笔记4
1. 绝对值的概念
一个数在数轴上所对应的点与原点的 ，叫做这个数的 ．
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．
2. 绝对值的数学表达
用符号 表示数a的 ．
3. 有理数的比较大小
正数大于零，零大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小．
131例题8:
（1）-4的绝对值是 .
（2）已知 ，那么 .
（3） ，那么 ; ，那么 .（写范围）
（4）下列说法中，正确的是
A．一个有理数的绝对值不小于它自身
B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等
C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数
D． 的绝对值等于
练习8:
（1）求1.3， ， ，0， 的绝对值．
（2）已知 ，那么x =______．
例题9:
比较大小（填“＜”或“＞”或“=”）．
（1）
（2）
（3） _______ ．
练习9:
比较大小：填“ ”或“ ”或“ ”
（1）比较大小： _____ ．
（2）比较大小： _____ ， _____ .
（3）比较大小： _____ ， _____ .
（4）比较大小：-21_____0．
（5）比较大小： _____ ．
132考点七：绝对值的化简
例题10:
（1）已知 ，化简 ．
（2）设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则 化简后的结果为
多少？
c b 0 a
（3）若 ，则 = ．
练习10:
（1）已知 ，求 化简后的结果．
（2）已知有理数 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
0
A． B． C． D．
133全真战场
关卡一
练习1:
把下列各数填入它所属的圈内：
，12， ， ， ， ， ， ，101，2.333．
正整数 负数
正分数 非负数
练习2:
填空：
（1）某水库的水位上升3米，记作 米，那么水位下降4米，记作______米；
（2）如果规定向东走为正，那么走了 千米的意义是_________________；
（3）如果 表示增加20%，那么 表示_________________；
（4）时钟的分针顺时针方向旋转了 记作 ，那么逆时针方向旋转 记作______．
练习3:
（1） 的相反数是 ．
（2）x= 时，代数式 与 互为相反数.
134练习4:
用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来．
（1）3的相反数； （2） 的相反数； （3） 的相反数的倒数；
（4）0； （5） 的绝对值； （6） 的绝对值的相反数．
练习5:
求下列各数的绝对值：
（1） （2） （3）a（a < 0）
（4）3b（b > 0） （5） （a < 2） （6） ．
练习6:
数 , 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ___________．
关卡二
练习7:
（2023•闵行区期末）电影《哈利 波特》中，小哈利波特穿越墙进入“ 站台”的镜头
（如示意图的 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若 、 站台分别位于
， 处， ，则 站台用类似电影的方法可称为“___________站台”．
练习8:
化简：
135练习9:
请你认真阅读下面内容，并回答下列问题：
表示4与1的差的绝对值，实际上也可以理解为 4与1两数在数轴上所对应的两点
之间的距离：同样的， 也可以看作 ，表示4与 的差的绝对值，也可以理
解为4与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1） _____．表示_____和_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
（2） _____．表示_____和_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数 ，使得 ，则 _____；
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数 ，使得 ，则 _____．
136B09 有理数的四则运算
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）有理数的加减法
（2）有理数的乘除法
2. 考情分析
（1）有理数的四则运算属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
（2）主要考查有理数的四则混合运算和有理数的简单应用．这两个部分常在在六上以解答
的形式进行考查，占期中分值25%左右．
137知识加油站1——有理数的加减法
考点一：同号有理数的加法
知识笔记1
1. 有理数加法法则
（1）同号两数相加：取 符号，并把绝对值 ．
（2）异号两数相加：绝对值相等时和为 ；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝
对值减去较小的绝对值所得的 ，其和的符号取 的符号．
（3）一个数同零相加：仍得这个数．
2. 有理数加法的运算律
交换律：____________________________．
结合律：____________________________．
例题1:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
练习1:
计算：
（1） ； （2） ．
138考点二：异号有理数的加法
例题2:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
练习2:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
139考点三：有理数的减法
知识笔记2
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数： .
例题3:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （ 6 ）
．
练习3:
计算：
（1） ； （2） ；
140（3） ； （4） ；
（5） ； （ 6 ）
．
考点四：有理数的加减混合运算
例题4:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） .
141142练习4:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
143例题5:
阅读下题的计算方法：
计算： ．
解：原式
．
上面这种解算方法叫做折项法，请按此方法计算： ．
练习5:
仿照例题5的方法，
计算：
（1） ；
（2） .
144知识加油站2——有理数的乘除法
考点五：有理数乘除法的符号判断
知识笔记3
两数相乘的符号法则
正乘正得 ，正乘负得 ，负乘正得 ，负乘负得 ．（ ）
例题5:
（1）填空：
① 如果 ， ，那么ab____0
② 如果 ， ，那么ab____0．
（2）如果 ， ，那么关于这两个数的说法正确的是（ ）
A．符号相反 B．符号相反且绝对值相等
C．符号相反且负数的绝对值大 D．符号相反且正数的绝对值大
练习5:
（1）填空：
① 如果 ， ，那么 ____0；
② 如果 ， ，那么 ____0；
③ 如果a = 0， ，那么 ____0．
（2）如果 ， ，那么关于这两个数的说法正确的是（ ）
A．都是正数 B．都是负数
C．符号相反且负数的绝对值大 D．符号相反且正数的绝对值大
145考点六：有理数的乘法
知识笔记4
1、有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值 ．
任何数与零相乘，都得零．
2、有理数相乘的符号法则
几个不等于零的因数相乘，积的符号由负因数的 决定：
当负因数有 时，积为负；
当负因数有 时，积为正；
几个数相乘，有一个因数为0，积就为 ．
例题6:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ．
146练习6:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） .
147考点七：有理数的除法
知识笔记5
有理数除法法则
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；
（2）零除以任何一个不为零的数，都得 ．
（3）甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即 ．
例题7:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
148练习7:
计算：
（1）（2022•普陀区校级期中） ；
（2）（2021春•虹口区校级期中） ；
（3）（2021秋•杨浦区期中） ；
（4） ．
149考点八：有理数的乘除混合运算
例题8:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ．
150练习8:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ；
151全真战场
关卡一
练习1:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
练习2:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3）(2020•浦东期末) .
练习3:
计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
练习4:
152计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）（2022秋•松江区期末） ；
（5）（2022秋•青浦区校级期中） ；
（6） ；
（7） ．
练习5:
利用“拆解法”计算： ．
153关卡二
练习6:
已知 ， ， ，则 ______．
练习7:
已知有理数a、b、c满足 ，求 的值．
练习8:
若 ，则 有多少个不同的值？说明理由．
154155B10 有理数的乘方及混合运算
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）有理数的乘方
（2）有理数的混合运算
（3）科学记数法
2. 考情分析
（1）有理数的乘方及混合运算属于数与运算部分，属于解释性理解水平；
（2）有理数的乘方及混合运算会在填空、选择以及解答题中以概念和计算的形式进行考查，
占期中分值25%左右；
科学记数法则通常会在填空中出一道进行考查，属于必考题型，占期中分值3%．
156知识加油站1——有理数的乘方
考点一：有理数乘方的概念
知识笔记1
乘方
（1）一般地，我们把n个相同因数a相乘，记作 ，即 .
（2）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做 ，在 中，
a叫做 ，n叫做 ． 读作a的n次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”
又可以读作“立方”）．
（3）读法： 读作a的n次方， 看作运算结果时，读作a的n次幂．
（4）特别地： ，（n为正整数）.
（5）正数的任何次幂都是 ；负数的奇数次幂是 ，负数的偶数次幂是 ．
例题1:
13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶
着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，
每把餐刀有7只刀鞘”，那么刀鞘数是（ ）
A．42； B．49；
C．76
；
D．77
．
练习1:
表示的是（ ）
A．6个7相加； B．7个6相加； C．6个7相乘； D．7个6相乘.
157考点二：幂、底数、指数的基本概念
例题2:
（1）填空：
① 的底数是______，指数是______；
② 的底数是______，指数是______；
③ 的底数是______，指数是______．
（2）对于 与 ，下列叙述中正确的是
A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不相同
C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不相同
练习2:
对于 与 ，下列说法正确的是
A．底数不同，结果不同 B．底数不同，结果相同
C．底数相同，结果不同 D．底数相同，结果相同
考点三：有理数的乘方运算
例题3:
计算：
（1） = .
（2） = .
（3） = .
（4） .
158练习3:
计算：
（1） ______； （2） ______；
（3） ______； （4） ______；
（5） ______； （6） ______．
考点四：非负数的性质
知识笔记2
非负数的性质
六年级常见非负数：① 平方 ② 绝对值.
非负数的性质：多个非负数的和为0时，则各部分均为0.
例：若 则a= ， b= .
例题4:
已知， ，则
A．13 B．11 C．9 D．15
练习4:
已知 ，则 ．
159知识加油站2——有理数的混合运算
考点五：有理数的混合运算
知识笔记3
有理数的混合运算
（1）运算顺序：先 ，后 ，再 ；同级运算从 到 ；如果有括号，先
算小括号，后算中括号，再算大括号．
（2）去括号：括号前带负号，去括号后括号内各项要 ，即 ，
．
（3）各种运算定律和运算法则都适用于有理数运算．
例题5:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
160（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ；（10）
．
161练习5:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ．
162知识加油站3——科学记数法
考点六：科学记数法的表示
知识笔记4
科学记数法
把一个数写成________（其中_________， 是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记
数法．
例题6:
填空
（1）马拉松 国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合
约为42000米，用科学记数法表示42000为__________．
（2）10月16日，习近平总书记代表第十九届中央委员会向党的二十大作报告，报告中阐
述了新时代十年的伟大变革：人均国内生产总值从 39800元增加到81000元，数据81000
用科学记数法表示为__________．
（3）2023年扬州鉴真国际半程马拉松赛报名通道于4月8日上午10点开启，截止当日18
点，就报名成功了约18000人，数据18000用科学记数法表示为__________．
述了新时代十年的伟大变革：人均国内生产总值从 39800元增加到81000元，数据81000
用科学记数法表示为__________．
（4）为做好新冠疫情常态化防控，更好保护人民群众身体健康，上海市开展新冠疫苗接种
工作．截至2021年8月底，已累计接种新冠疫苗3820万剂次，用科学记数法可表示为
__________剂次．
（5）在2022年全国省份 排名中，湖南省排名第九位， 为48670.4亿元，同比增
长 ．其中48670.4亿用科学记数法可表示为 __________．
（6）海关总署数据显示，2023年上半年我国汽车整车出口量为 234.1万辆，同比增长
，中国半年度汽车出口量首次超过日本，跃居全球第一．将 234.1万这个数据用科
学记数法写成 __________．
（7）近似数 精确到________位.
练习6:
填空：
（1）请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全国13亿人口一天就能节约__________
千克大米！（结果用科学记数法表示，已知1克大米约52粒）
（2）国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日公布人口普查结果，其中江西
163人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为__________．
（3）今年国内旅游市场复苏按下“加速键”，据文化和旅游部数据中心测算，预计 2023
年，我国国内旅游人数将达45.5亿人次，同比增长约 ．数据45.5亿用科学记数法表示
为__________．
（4）中国 中亚峰会于2023年5月18日至19日在陕西西安举行，这是今年我国首场
重大主场外交活动．据峰会公布，2022年，中国与中亚五国贸易额达到创历史新高的 702
亿美元．将702亿美元用科学记数法表示为__________美元．
（5）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国
内旅游出游达到308000000人次，同比增长了 ．将308000000用科学记数法表示为
__________．
（6）5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家 级景区全部
开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为__________．
（7）在 的地图上量得两地间的距离为 ，两地之间的实际距离科学记数法
表示为__________．
164例题7:
光在真空中的传播速度约是 ，光在真空中传播一年的距离称为光年．
（1）1光年约是多少千米？（一年以 计算）
（2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？
（3）如果一架飞机的飞行速度为 ，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？
练习7:
某市计划修建一个长为 米，宽为 米的矩形市民休闲广场．
（1）请计算该广场的面积 （结果用科学记数法表示）；
（2）如果用一种 正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理
石地砖．
165全真战场
关卡一
练习1:
（1）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的 2021次幂是______．（填“正数”或
“负数”）
（2）把 写成乘方形式______．
练习2:
的底数是______，指数是______，写成积的形式是______．
练习3:
计算：
（1） ______；
（2） ______；
（3） ______；
（4） ______．
练习4:
（1）已知 ， 都是有理数，若 ，则 _______．
（2）若 ，则 ______．
166练习5:
计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ．
练习6:
（1）2023年，华为公司发布上半年的营业业绩达310900000000元，310900000000用科学
记数法可表示为______________．
（2）从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000．将1030000000用
科学记数法表示为______________．
（3）已知一个 盘的名义内存为 ，平均每个视频的内存为 ，平均每首音乐
的内存为 ，平均每篇文章的内存为 ．现该 盘已存16个视频，50首音
乐．若该 盘的内存的实际利用率为 ，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表
示）．（注：已知 ，
167关卡二
练习7:
大于 1 的正整数 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如 ，
， ， ，若 “分裂”后，其中有一个奇数是223，则
的值是_______．
练习8:
观察下面各等式，找出其中规律：
；
；
；
……
应用你所发现的规律，请你：
（1）写出第2016行式子；
（2）写出第n行式子．
练习9:
根据乘方的意义，得 ， ，
则 试计算 （m，n是正整数）．
168169B11 一元一次方程及其解法
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）方程与方程的解
（2）一元一次方程及其解法
（3）一元一次方程的简单应用
2. 考情分析
（1）一元一次方程及其解法属于方程与代数部分，属于探究性理解水平；
（2）主要考查方程的解的概念及一元一次方程的解法．选填与解答题都会考查本章节的知
识点，占期末考分值15%；
170知识加油站1——方程与方程的解
考点一：方程的判断
知识笔记1
方程及其相关概念
（1）用字母 、 …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为_________；含有未知数
的等式叫做_________. 在方程中，所含的未知数又称为_________.
（2）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；
（3）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在
内）称为一项；
（4）系数：在一项中，数字或者表示已知数的_________叫做未知数的系数；
（5）次数：在一项中，所含有的未知数的_________称为这一项的次数；
（6）常数项：不含_________的项称为常数项.
例题1:
（1）在下列各式中：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
．
其中是方程的有 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
（2）下列叙述中，正确的是
A．方程是含有未知数的式子
B．方程是等式
C．只有含有字母 ， 的等式才叫方程
D．带等号和字母的式子叫方程
171练习1:
（1）① ；② ；③ ；④ 中，方程共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）下列说法中，正确的是
A．代数式是方程 B．方程是代数式 C．等式是方程 D．方程是等式
考点二：方程的次数
例题2:
下面四个关于 的方程次数和另外三个不同的是
A． B． C． D．
练习2:
方程 中， 的次数是 次．
考点三：列方程
例题3:
（1）下列所给条件，不能列出方程的是
A．某数比它的平方小6 B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的 的差 D．某数的3倍与7的和等于29
（2）（2022•奉贤区月考）甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设从
乙班调往甲班人数 ，可列方程
A． B． C． D．
172（3）（2022•宝山区罗南中学月考）给 位学生分配宿舍， 正好是12的倍数．若每间宿
舍住4人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住3人，最后还缺2间，求学生人数．可列
方程
A． B．
C． D．
练习3:
（1）某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不够，
需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的 2倍？设抽
调 人，则可列方程
A． B． C． D ．
（2）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二
车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；
若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有 个人，则可列方
程是
A． B． C． D．
考点四：方程的解
知识笔记2
方程的解
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值_________，那么这个未知数的值叫做方程
的解.
例题4:
（1）（2021•浦东新区月考）下列方程中，解为 的方程是
A． B． C． D．
173（2）方程 ，处被盖住了一个数字，已知方程的解是 ，那么处的数字是
A． B． C． D．
练习4:
（1）（2021•普陀区北海中学月考）下列方程中，其解为 的方程是
A． B． C． D．
（2）若 是关于 的方程 的解，则 的值为
A． B． C．1 D．2
知识加油站2——一元一次方程的解法
知识笔记3
一元一次方程的概念
只含有_________未知数且未知数的次数是_________的方程叫做一元一次方程.
考点五：一元一次方程的概念
例题5:
（2022•宝山区罗南中学月考）观察方程： ， ， ， ，
．其中一元一次方程有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习5:
下列方程中，一元一次方程共有
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
174考点六：解方程
知识笔记4
1. 解方程
求方程的解的过程叫做解方程.
2. 解一元一次方程的一般步骤
（1）__________________；
（2）__________________；
（3）__________________；
（4）化成__________________的形式；
（5）两边同除以未知数的_________，得到方程的解 .
例题6:
（1）解方程 的第一步应是
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并
（2）（2022•宝山区月考）解方程 时，去分母得
A． B．
C． D．
（3）（2023•普陀区期末）下面的变形正确的是
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
175练习6:
（1）在解方程 时，去分母正确的是
A． B．
C． D．
（2）下列方程变形中，正确的是
A．方程 ，移项得，
B．方程 ，去括号得，
C．方程 ，系数化为1得，
D．方程 ，去分母得，
例题7:
（1）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程： ．
（2）（2022•奉贤区肖塘中学月考）解方程： ．
（3）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程： ．
176练习7:
（1）（2021•普陀区北海中学月考）解方程： ．
（2）（2022•宝山区罗南中学月考）解方程： ．
（3）（2021•普陀区北海中学月考）解方程： ．
177知识加油站3——一元一次方程的的简单应用
考点七：列方程解应用题
知识笔记5
列方程解应用题的一般步骤
（1）设未知数；
（2）列方程；
（3）解方程；
（4）检验并作答.
例题8:
（1）（2023•闵行区期末）甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人
数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为 ，那么甲队剩下的人数是乙队剩下
人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？
178（2）（2023•嘉定区期末）已知数轴上有 ， 两点，分别代表 ，20，两只电子蚂蚁
甲，乙分别从 ， 两点同时出发，甲沿线段 以1个单位长度 秒的速度向右运动，甲
到达点 处时运动停止，乙沿 方向以4个单位长度 秒的速度向左运动．
① ， 两点间的距离为 个单位长度；乙到达 点时共运动了 秒．
②甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
③多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
④若乙到达 点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达 点前，甲，乙还能在数轴上相遇
吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
179练习8:
（1）（2023•松江区期中）有两个工程队，第一队有45人，第二队比第一队少15人，因
任务需要，要求第一队的人数是第二队的人数的2倍，问需要从第二队抽调多少人去支援？
（2）如图，在数轴上点 表示的数是 ，点 在点 的右侧，且到点 的距离是18；点
在点 与点 之间，且到点 的距离是到点 距离的2倍．
①点 表示的数是 ；点 表示的数是 ；
②若点 从点 出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点 从点
出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为 秒．
当 运动到 点时，点 所表示的数是多少？
当 为何值时， 、 之间的距离为6？
180全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列方程中，其解为 的是
A． B． C． D．
（2）小明在解方程 去分母时，方程右边的 没有乘3，因而求得的解为
，则原方程的解为
A． B． C． D．
练习2:
（1）（2021•浦东新区月考） 的3倍比 的 大7，所列方程是 ．
（2）（2021•普陀区月考）根据数量关系列出方程：某数 的 与 的差等于10，方程为：
．
（3）“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳 4尺：如果将绳子折成四等
份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”设井深为 尺，可列一元一次方程为
．
练习3:
解方程．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
181练习4:
新华书店正在搞促销活动：用20元办一张会员卡，买书时可以享受8折优惠．于是小明用
20元办了一张会员卡，又买了一些书．经过计算他发现加上他办卡的费用比这些书原来的
总价还少了12元，请你求出小明所买的这些书原来的总价是多少？
练习5:
下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并常规讲解问题．
解方程：
解：去分母，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 ， 第四步
方程两边同除以 ，得 ． 第五步
（1）以上求解过程中，第三步的依据是 ．
．等式的基本性质 ．不等式的基本性质
．分式的基本性质 ．乘法分配律
（2）从第 步开始出现错误；
（3）该方程正确的解为 ．
182关卡二
练习6:
小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化 为分数，
解决方法是：设 ，即 ，将方程两边都 ，得 ，即
，又因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以
．
尝试解决下列各题：
（1）把 化成分数为 ．
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数 化成分数．
练习7:
解方程：
（1） ．
（2） ．
183B12 线段的和、差、倍
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）线段的大小比较
（2）线段的综合计算
（3）画线段的和、差、倍
2. 考情分析
（1）线段的和、差、倍属于图形与几何部分，属于解释性理解水平；
（2）理解线段中点的概念，掌握线段中点的作法，属于几何板块，占六年级上期末考分值
约15%；
（3）线段的概念在选填中考查，线段的作图在解答题中考查；
184知识加油站1——线段的大小比较
知识笔记1
线段的表示
（1）可以用两个 表示一条线段的两个端点． A B
如图所示：线段可以用表示端点的两个字母 表示，记作线段 ．
（2）也可以用一个 ，如图所示：
线段可以用小写英文字母 表示，记作线段 ． a
考点一：直线、射线、线段的概念与区别
例题1:
（1）下列语句中正确的个数有
①直线 与直线 是同一条直线
②射线 与射线 是同条射线
③线段 与线段 是同一条线段
④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）（2023•闵行区期末）下列说法正确的是
A．画直线 厘米
B．画射线 厘米
C．在10厘米的射线 上截取 厘米
D．延长线段 到点 ，使
185练习1:
（1）下列说法中错误的是
A．线段 和射线 都是直线的一部分
B．直线 和直线 是同一条直线
C．射线 和射线 是同一条射线
D．线段 和线段 是同一条线段
（2）（2021•浦东新区川沙中学南校期末）下列说法错误的是
A．画线段 厘米 B．延长线段 到 ，使得
C．画射线 厘米 D．在射线 上截取 厘米
考点二：比较线段的长短
知识笔记2
线段的大小比较
线段的大小比较有两种方法：（1） 和（2） ．
叠合法如下：
将线段 移到线段 的位置，使端点A与端点C重合，线段 与线段 叠合．这时
端点B可能的位置情况如下表：
图形 点B的位置 符号表示
A B
点 B 在 线 段 上 记作：
情况一 (A) (B)
（C、D之间）
C D
A B
记作：
情况二 (A) (B) 点B与点D重合；
C D
A B
(A) (B) 点B在线段 的延长 记作：
情况三
线上；
C D
186例题2:
（1）比较线段的大小：如果点 在线段 的延长线上，那么 ．（填“ ”
或“ ”）
（2）（2022•徐汇区园南中学期末）已知线段 、 ， ，如果将 移动到
的位置，使点 与点 重合， 与 叠合，这时点 的位置必定是
A．点 在线段 上 、 之间） B．点 与点 重合
C．点 在线段 的延长线上 D．点 在线段 的延长线上
练习2:
（1）如果点 在线段 上，且点 不与点 、 重合，那么 ．（填“ ”
或“ ”）
（2）（2021•杨浦区民办凯慧初级中学期末）已知线段 和 ，如果将 移动到
的位置，使点 与点 重合， 与 叠合，如果点 在 的延长线上，则
．（填“ ”、“ ”或“ ”
考点三：线段的条数
例题3:
（1）图中共有线段
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
（2）已知平面上有4个点，无三点共线，请问，这4个点可以构成多少条线段？若有5个
点呢（其他条件不变）？若有 6个点呢（其他条件不变）？若有 n个点呢（其他条件不
变）？
（3）图中共有多少条线段？
187练习3:
（1）如图， ， ， 是 的中点．图中有几条线段？并它们用大写
字母分别表示出来.
（2）图中共有几条线段？几条射线？
A
B C D
188知识加油站2 —— 线段的综合计算
考点四：线段的和差
知识笔记3
1. 两点之间的距离：
联结两点的线段的长度叫做 ．
两点之间，线段最短．
2. 线段的和（或差）
两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是 ，其长度等于这两条线
段的长度的 ．
例题4:
（1）（2022•杨浦区上海理工大学附中期末）如图， ，比较线段 与线段 的
大小
A． B． C． D．无法比较
（2）（2022•徐汇区园南中学期末）平面上有 、 、 三点在一条直线上，已知
， ，那么 的长度为 ．
（3）（2023•浦东新区期末）如图，点 、点 是线段 上的两个点，且 ，如
果 ， ，那么 的长等于 ．
（4）如图点A、B、C、D、E在同一条直线上，已知 ， ， ，
，用含 的式子表示BC、DE的长.
A B C D E
189练习4:
（1）（2023•嘉定区期末）如图，点 、 在线段 上，且 ，则 与 的大
小关系是
A． B． C． D．不能确定
（2）（2023•浦东新区期末）在直线 上有一点 ，已知 ， ，则
等于 ．
（3）（2021•宝山区期末）如图，点 、点 是线段 上的两个点，且 ，如果
， ，那么 的长等于 ．
（4）根据图形填空：
①AD =______+ BC +______= AC + ______= AB + ______；
②AB = AD ______；
③AC = AD ______= BC +______．
A B C D
190考点五：线段的中点
知识笔记4
线段的中点
将一条线段分成两条 的点叫做这条线段的中点．
例题5:
（1）（2023•松江区期末）如图，已知线段 ，点 是线段 上的任意一点，点
、 分别是线段 和 的中点，则线段 .
（2）（2023•长宁区期末）如图， 厘米， 是 的中点， 是 上一点，且
，则 的长度为 厘米．
练习5:
（1）（2023•嘉定区期末）如图，线段 ，点 在 上， ， 为
的中点，则线段 的长为 ．
（2）（2022•徐汇区园南中学期末）如图，点 是线段 的中点， ，
，则线段 的长为 ．
191知识加油站3 —— 画线段的和、差、倍
考点六：画线段的和、差、倍
知识笔记5
1. 用尺规画线段：
如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使 ．
（1）画射线AC；
（2）在射线AC上截取线段 ．
（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）
线段AB就是所要画的线段．
a A B C
2. 用尺规画线段的中点：
已知AB，使画出中点C．
（1）以点A为圆心，以________________的长 为半径作弧；
（2）以点B为圆心，以 为半径作弧，两弧分别相较于点C、点D；
（3）作直线CD交线段AB于点E，点E就是所求线段AB的中点.
192例题6:
（1）如图，已知线段 、 、 ，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）．
①画一条线段，使它等于 ；
②画一条线段，使它等于 ；
并用字母表示出所画线段．
（2）（2023•普陀区期末）如图，已知线段 ， ，按照下列要求作图，并填
空．（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
①点 是线段 上一点，作出线段 ，使得 ，并用直尺和圆规作出线段
的中点 ；
②在①的图形中，如果 ， ，那么 的长为
193练习6:
（1）如图，已知线段 ， ，用尺规作一条线段 ，使 （不写作法，保留
作图痕迹）．
（2）（2021•杨浦区民办凯慧初级中学期末）如图， 已知线段 的长为 ．
①用直尺和圆规按所给的要求作图：点 在线段 的延长线上，且 ；
②在上题中，如果在线段 上有一点 ，且线段 、 长度之比为 ，求线段
的长．
194全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列说法错误的有
①两点之间，直线最短；
②延长线段 到 ，使得 ；
③画射线 厘米；
④在射线 上截取线段 厘米．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习2:
（2023•松江区期末）如图， ， 与 的大小关系： ．（填“ ”
或“ ”或“ ”）
练习3:
（1）线段AB = 2005厘米，P、Q是线段AB上的两个点，线段AQ = 1200厘米，线段BP
= 1050厘米，那么线段PQ =______厘米．
A P Q B
（2）如图，线段 AD = 90 厘米，B、C 是这条线段上的两点，AC = 70 厘米，且
，则AB的长为______．
A B C D
（3）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，已知 ， ，求AB : BC :
CD．
A B C D
195练习4:
如图， 为线段 上一点， 为 的中点， ， ．
（1）图中共有 条线段；
（2）求 的长；
（3）若点 在线段 上，且 ，求 的长．
练习5:
如图，已知线段 ，在 的延长线上取一点 ，使 ，在 的反向延长线上取
一点 ，使 ．
（1）尺规作图：根据题意作出图形；
（2）设 ，求线段 的长．
196关卡二
练习6:
一条直街有5栋楼，从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第 号楼恰好有 、2、
3、4、 个 厂职工，相邻两楼之间的距离为50米． 厂打算在直街上建一车站，为使
这5栋楼所有 厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼 米处．
练习7:
如图，在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线两两相交时最多有3个
交点，四条直线两两相交时最多有6个交点．
（1）当五条直线两两相交时最多有 个交点；
（2）猜想 条直线两两相交时最多有几个交点；（用含 的代数式表示）
（3）若平面上有 条直线，两两相交时最多有45个交点，求 的值．
197B13 阶段复习
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）阶段真题选填练习
（2）阶段真题计算练习
（3）阶段真题解答题练习
2. 考情分析
（1）《数的整除》、《分数》、《有理数》、《一元一次方程》章节在真题试卷中的考查
形式；
（2）系统性复习整数和整除、分解素因数、公因数与公倍数、分数的意义和性质、分数的
运算、有理数、一元一次方程的解法等知识点，结合真题试卷巩固．
198知识加油站1——阶段真题选填练习
考点一：阶段真题选填练习
例题1:
一、填空题
1．既能被6整除，又能被9整除的数，它 能被54整除（填“一定”或“不一定”或
“一定不” ．
2．如果规定向南走为正，如：向南走10米，记为 ，那么 表示：_______________．
3．甲乙两数的最大公约数是13，最小公倍数是195，如果甲数是39，则乙数是 ．
4．在 、 、 、 中，可以化成有限小数的有 ．
5． 把46写成两个素数的和的形式，可以是 （写一个即可），这样的素数对共有
对．
6．已知 ，则 的素因数有 个，因数有 个．
7．某体育用品先降价 ，若要恢复到原价，则需要涨价 （填几分之几）．
8．比较大小： _____ ．（填“ ”、“ ”或“ ”
9．如图，三个大小相同的长方形拼在一起，组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成
2份，再把第三个长方形平均分成3份，那么图中阴影部分面积是大长方形面积的 ．
10．观察下面一列数的规律，第100个数是 ．
、 、 、 、 、
11． ， ， ， 这组数中，最小是 ；最大的是 ．
12．如果 ，那么满足条件的整数 有 个．
13． 、 、 为正整数，满足算式 ， ．
19914．定义： 是不为1的有理数，我们称 为 的差倒数．如3的差倒数是 ，
的差倒数是 ．已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的
差倒数， ，以此类推，则 ______．
二、单选题
15．下列说法正确的是
A．一个有理数不是正数就是负数
B．分数包括正分数、负分数和零
C．有理数分为正有理数、负有理数和零
D．整数包括正整数和负整数
16．如果一个真分数 ， 为正整数）分子和分母都加上相同的正整数，所得的分数
A．一定比原来的分数大
B．一定比原来的分数小
C．与原来的分数相等
D．可能比原来的分数大，也有可能与原来的分数相等
17．下列运算正确的是
A． B．
C． D．
18．一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，
设完成此项工需 天，由题意得方程
A． B． C． D．
200练习1:
一、填空题
1．最小的自然数是 ．
2．分解素因数： ．
3．求12和18的最小公倍数是 ．
4．用最简分数表示：35分钟 小时．
5．已知 的相反数是3，那么 的值等于 ．
6．若 ，且 是分母为36的最简分数，则 ．
7． 厘米的 是 厘米．
8．一个数的3倍是 ，这个数是 ．
9．若关于 的方程 的解是 ，则 ．
10．将2.84， ，2.8383按从小到大排列为 （用“ ”连接）
11．小蚂蚁在数轴上爬，它从 点出发向右移动2个单位后到达点 ，如果点 到原点的
距离为5，则点 表示的数是 ．
12．加工同样多的零件，王师傅用了 小时，张师傅用了 小时，李师傅用了 小时，
师傅加工速度最快．
13．有一张长方形纸片，长为36厘米，宽为24厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等
的正方形纸片，而且没有剩余，裁出的正方形纸片的张数最少为 张．
14．我们将大于 而小于 的最简分数称为“顺利分数”，例如： ，所以 是
分子为2的“顺利分数”， 和 是分子为3的“顺利分数”，那么分子为 4的全部
“顺利分数”的倒数之和是 ．
二、选择题
15．下列说法正确的是
A．自然数就是非负整数
B．正数和负数统称为有理数
C．零是最小的有理数
D．有最小的正整数，没有最大的负整数
20116．下列说法中，正确的是
A．偶数都是合数 B．奇数都是素数
C．合数都是偶数 D．素数不都是奇数
17．一根绳子12米，截去它的 ，再截去 米，这时绳子的长度是是
A．6米 B． 米 C． 米 D． 米
18．如图流程图，如果输出的结果是 ，那么输入的数字是
A． B． C． D． 或
202知识加油站2——阶段真题计算练习
考点二：阶段真题计算练习
例题2:
1．计算以下两数的最大公因数和最小公倍数：
（1）135和180；
（2）10001和20075；
（3）144、360和540．
2．解方程： ．
3． ．
4． ．
2035*． ．
6*． ．
204练习2:
1．计算：
2．计算：
3．计算：
4．计算：
5．计算： ．
6．解方程： ．
205206知识加油站3——阶段真题综合题练习
考点三：阶段真题综合题练习
例题3:
1. （2023 杨浦区民办兰生中学期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划新买一批球类
体育用品，其中购买的篮球数量占这批球类体育用品的 ，购买的排球数量是篮球数量的
，其余是足球．
（1）如果购买的足球数量是6个，那么该学校计划新买的球类体育用品的总数量是多少个？
（2）如果要使得购买的足球数量与排球数量相等，那么要将计划购买的排球数量的几分之
几改去购买足球？
2. 为庆祝中国共产党建党100周年华诞，A班同学们用花球来布置教室，一共准备了72束
红花和54束黄花来扎花球．如果要使每个花球里红花束的数量相同，黄花束的数量也相同，
那么最多可以扎成多少个花球？每个花球至少有多少束红花和多少束黄花？
3. 某日一辆交通巡逻车从甲地出发，在东西向的马路上巡逻，约定向东为正，向西为负，
巡逻车从出发至收工所走的路线记录如下（单位：千米）
， ， ， ， ， ， ， ， ， ；
（1）收工时距甲地多远？在甲地的什么位置？
（2）巡逻车在巡逻过程当中，离开甲地最远是多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，该车这一次巡逻共耗油多少升？
4．阅读下面材料并回答问题：点 、 在数轴上分别表示数 、 ， 、 两点之间的距
207离表示为 ．当 、 两点中有一点在原点时，不妨设 在原点，如图 1，
；当 、 两点都不在原点时，
（1）如图②，点 、 都在原点的右边， ；
（2）如图③，点 、 都在原点左边， ；
（3）如图④，点 、 在原点的两边， ；
综上，数轴上 、 两点之间的距离 ．
（1）回答问题：数轴上表示 和 的两点之间的距离是_____．
（2）若数轴上表示 和 的两点分别是点 、 ， ，那么 ．
（3）若数轴上点 表示数 ，点 表示数7，动点 、 分别同时从点 、点 出发沿
着数轴正方向移动，点 的移动速度是每秒3个单位长度，点 的移动速度是每秒2个单
位长度，求①运动几秒后，点 追上点 ？②运动几秒后， 、 两点相距3个单位长度？
208练习3:
1．某校六年级3个班人数如图．
（1）六年级（2）班女生人数是六年级（2）学生人数的几分之几？
（2）六年级男生人数是六年级全年级人数的几分之几？
2．某学校同学参加松江区“鼓乐大赛”（此次比赛要求参赛总人数不少于 49人），要求
除了指挥1人及旗手4人外，其他同学既能平均分成6组，又能平均分成8组，进行队形
变换，这个学校至少要选拔多少人参加“鼓乐大赛”？
2093．小东的爸爸是出租车司机，为了计算汽车每千米的耗油量，某天上午，他从单位出发，
在沿着南北方向行驶时详细记录了行车的路程情况．他规定向南为正，向北为负，下面是
他这天上午行驶的路程记录（单位：千米） ， ， ， ， ， ，
， ．
（1）已知该出租车这天上午共耗油9.6升，你能计算出小东爸爸的出租车每千米的耗油量
是多少吗？
（2）上午运营结束后，小东的爸爸应该向 行驶 千米返回单位．
4．如图，由20个相同的小正方形组成的一个大长方形 ，其中点 、点 、点 均
在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）．
（1）三角形 的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大长方形 面积的 ；
（填“几分之几”
（2）如果三角形 的面积是20平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方
厘米；
（3）如备用图，若点 也在图中的格点上，且三角形 的面积是大长方形 面积
的 ，那么符合要求的点 有 个．
210全真战场
关卡一
练习1:
一、单选题
1．若 是分母为12的最简真分数，则a可取的自然数个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．两个正整数的和是72，它们的最大公因数是8，则它们的积不可能是
A．512 B．896 C．1152 D．1280
3．（2021•徐汇区校级月考）下列说法正确的是
A．自然数和负整数统称为整数 B．所有的素数都是奇数
C．因为 ，所以3.9能被1.3整除 D．8的因数有2，4，8
4．有数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是（ ）
A．12、6、2 B．6、18、24 C．12、6、24 D．8、12、2
5．在 ，0， ， ， 中，非负数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
1. 若 ，则 ．
2. （宝山区校级自主招生）正整数2015的不同正因数的个数为 个
3. （2020•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别
是： ．
4. 绝对值小于3的所有整数的积是 ．
5. （2021•宝山区校级月考）一个数的最小倍数是24，这个数的素因数有 ．
6. 当真分数 是最简分数，且x是素数时，我们把该真分数叫做n的“素分数”，例如：
是8的一个“素分数”，请求出12的所有“素分数”的和： ．
7. 减去某数与 的和，所得差为 ，则这个数字是 ．
2118. 一只老鼠从 点沿长方形逃跑，一只花猫同时从 点朝另一方向沿着长方形去捉老鼠，
结果在距 点6米的 点处抓住了老鼠．已知，老鼠的速度是花猫速度的 ，则长方形的
周长是 米．
三、计算题
1．解方程： ．
2．计算：
3．计算：
4．计算： ．
5．计算：
212四、综合题
1. 用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．
2. 一袋大米有若干千克，楠楠家用了三个月吃完了这袋大米．第一个月吃了 千克，占
总重量的 ，第二个月比第一个月少吃了 千克，那么楠楠家第三个月吃了多少千克大
米？
3. 甲，乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，
速度为每小时60千米，求：
（1）若两车同时相向而行，货车在路上耽误了半小时，多长时间可以相遇？
（2）若两车相向而行，同时出发，多长时间两车相距54千米？
2134. 探究理解：如图，在数轴上放置一个长方形块，长方形的长为 ，宽为 ，长方形的初
始位置如图所示，沿A点做数轴垂线，在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正
方向做顺时针翻动，请寻找规律并填空．
第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为： ．
第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为： ．
（1）第3次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________．
（2）第8次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：________．
（3）第101次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：_______．
关卡二
练习2:
（2023 杨浦区校级期中）甲、乙、丙三个非零自然数满足：甲和乙的最大公约数恰有1
个约数，乙和丙的最大公约数恰有2个约数，丙和甲的最大公约数恰有3个约数．那么，
甲、乙、丙三数之和的最小值是 ．
214练习3:
如图在数轴上 点表示数 ， 点表示数 ， 、 满足 ．
（1）点 表示的数为 ；点 表示的数为 ；
（2）若在原点 处放一挡板，一小球甲从点 处以1个单位 秒的速度向左运动；同时另
一小球乙从点 处以3个单位 秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可
看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为 （秒 ，
①当 时，甲小球到原点的距离 ；乙小球到原点的距离 ；
当 时，甲小球到原点的距离 ；乙小球到原点的距离 ；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由若能，请求出甲
乙两小球到原点的距离相等时 的值．
③若当甲和乙开始运动时，挡板也从原点以1个单位 秒的速度向右运动，直接写出甲，
乙两小球到挡板的距离相等时 的值．
练习4:
将 ， 、 为非零自然数，则 最大值是 ．
215练习5:
将 排列成一圈，使得相邻两数互质的排列方式有 种（旋转后可以重叠的当做同一
种）．
练习6:
在一个神话故事中，有一只小兔子住在一个周长1千米的神湖旁，A，B两点把这个神湖分
成两等份（如图）．已知小兔子从B点出发，沿着逆时针方向绕神湖做跳跃运动，它每跳
千米休息一次，如果它跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B
点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖的半径就扩大一倍．现在已知小兔子共休息了
1000次，这时神湖的周长是多少千米？
216B14 角的计算
考情链接
1. 本次任务由五个部分构成
（1）角的概念与表示
（2）方位角
（3）角的大小比较
（4）画角的和、差、倍
（5）余角、补角
2. 考情分析
（1）角的计算属于图形与几何部分，属于解释性理解水平；
（2）了解角、角平分线的概念及表示方法，掌握角的大小比较方法以及角平分线的作法；
（3）角的概念常常会在填空和选择中进行考查，而角的作法往往在解答题中会结合几何运
动进行考查，占六年级期末考试的15%．
217知识加油站1—— 角的概念与表示
考点一：角的概念
知识笔记1
1. 角的概念：
角是 的图形．如下图所示，公共端点叫做角
的 ，两条射线叫做角的 ．
边
顶点
边
我们还可以这样理解角：
角是由一条射线绕着它的端点 到另一个位置所成的图形．
终边
始边
如上图所示，处于初始位置的那条射线叫做角的 ，终止位置的那条射线叫做角的
．
角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的 ，简称 ．通常角
的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示，如下图所示．其中，在下面的中图、右图中的阴
影部分是角的 ，简称 ．
外部
内部 内部 外部
218例题1:
下列说法中，正确的是
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
练习1:
下列说法错误的是
A． 的顶点是点
B． 的两边是两条射线
C．射线 、射线 分别是 的边
D． 与 表示同一个角
219考点二：角的表示
知识笔记2
角的表示
（1） ：
角一般用三个大写英文字母表示，如下图所示，记作 ．其中表示顶点的字母O必
须放在三个字母中间．
A
O B
如果以点O为顶点的角 ，那么这个角可以用表示顶点的字母表示．上图中，
可以记作 ．如果以点O为顶点的角有多个（如上图所示），那么其中任何一个
角都必须用三个大写英文字母表示，而 （“能”或“不能”）记作 ．
（2） ：
有时为了方便，在角的内部标上一个小写的希腊字母，如 ， ， 等；
A
C
D
O B
（3） ：
有时为了方便，也可以在角的内部标上一个数字，如1，2，3
A
C
1
D
2
O 3 B
220例题2:
（1）（2020•金山区期末）下列图中，能用 、 、 三种方法表示同一角的图
形是
A． B．
C． D．
（2）如图所示，下列表示角的方法错误的是
A． 表示的是
B． 也可用 来表示
C．图中有3个角，分别是 、 、
D． 与 表示同一个角
练习2:
（1）下列四个图中，能用 、 、 三种方法表示同一个角的是
A． B．
C． D．
（2）如图中能用 表示的是
221A． B．
C． D．
考点三：角的个数
例题3:
（2021•浦东新区模范中学东校期末）两条有公共端点的射线组成了一个角；三条具有公共
端点而又不重合的射线组成三个角；四条这样的射线组成了6个角，那么 条这样的射线
组成了 个角．
练习3:
如果从 点出发有5条射线，那么可以组成的角的个数是
A．4个 B．5个 C．7个 D．10个
222知识加油站2—— 方位角
考点四：方位角的概念
知识笔记3
方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的 叫做方向角．
如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．
北
北偏东30°
北偏西70° 30°
70°
45° 50°
南偏东50°
南偏西45°
例题4:
（1）（2023•普陀区期末） 、 两个城市的位置如图所示，那么 城在 城的
A．东偏南 方向 B．西偏南 方向
C．南偏东 方向 D．北偏东 方向
223（2）（2021•静安区期末）如图，下列说法正确的是
A． 的方向是北偏东 B． 的方向是北偏西
C． 的方向是西北方向 D． 的方向是南偏西
练习4:
（1）（2022•杨浦区上海理工大学附中期末）如图，点 在点 的 方向．
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
（2）（2021•金山区蒙山中学期末）已知 、 两地的位置如图所示，且 ，
那么下列语句正确的是
A． 地在 的北偏东 方向 B． 地在 的北偏东 方向
C． 地在 的北偏东 方向 D． 地在 的北偏东 方向
224考点五：方位角的应用
例题5:
（1）（2023•杨浦区期末）若乙在甲的北偏东 方向，则甲在乙的 方向．
（2）（2023•松江区期末）平面地图上，点 在点 的北偏西 ，点 在点 的南偏东
，则 度．
练习5:
（1）（2021•浦东新区期末）甲、乙两座城市，乙城市位于甲城市南偏西 的方向上，
则甲城市位于乙城市
A．北偏西 的方向上 B．北偏东 的方向上
C．北偏西 的方向上 D．北偏东 的方向上
（2）（2021•青浦区期末）已知点 在点 的北偏西 方向，点 在点 的南偏东 方
向，那么 ．
225知识加油站3—— 角的大小比较
考点六：角的大小比较
知识笔记4
1. 角的大小的比较
（1） ：用量角器量出角的度数，然后比较大小．
（2） ：移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合，
两个角的另一条边都落在叠合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边” 的位置情况．
如图，已知 ，如果移动 ，使顶点 和顶点 、边 与边 叠合，边 与
边 在它们的同侧．这时 对于 而言，有几种可能的位置关系？请完成下列表格：
图形 EF对于 的位置 符号表示
B
F
情况一
O（E） A（D）
F
B
情况二
O（E） A（D）
B
（F）
情况三
O A
（E） （D）
2. 锐角、直角、钝角、平角、周角
锐角： ， 直角 ，钝角： ， 平角 ，
周角 ．
例题6:
根据图形填空：
（1）比较角的大小：
226因为OB和OB是公共边，边______在 的内部，所以 ____ ；
因为OA和OA是______，边OC在 的外部，所以 ____ ．
（2）确定角的边的位置：
因为OC和OC是公共边， ，所以边OA在 的______；
因为边OM与边______叠合， ，所以边ON与边__________.
练习6:
如图，点 在 的内部，点 在 的外部，点 在射线 上，试比较下列各角
的大小．
（1） _______ ；
（2） _______ ；
（3） _______ ；
（4） _______ ；
（5） _______ ．
227知识加油站4—— 画角的和、差、倍
考点七：角的尺规作图
知识笔记5
1. 角的和差：
如图，共有 、 、 共3个角，它们有如下等量关系：
C
B
O A
概括：两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个
角的度数的和（或差）．
2. 角的平分线：
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成 ，这条射线叫做这个角的
平分线．
例题7:
（1）尺规作图：如图，已知 和 ，求作 ．
1 2
228（2）（2023•杨浦区期末）如图，已知射线 的端点 在直线 上，用直尺和圆规画
的平分线 ．（不写作法，保留作图痕迹）
练习7:
尺规作图：已知 、 ，求作： ．
O
A
O B C D
229知识加油站5—— 余角、补角
考点八：余角、补角的概念
知识笔记6
1. 余角
如果两个角的度数的和是______，那么这两个角叫做互为______，简称______．其中一个
角称为另一个角的余角．
2. 补角
如果两个角的度数的和是______，那么这两个角叫做互为______，简称互补．其中一个角
称为另一个角的______．
3. 同角（或等角）的余角_______；同角（或等角）的补角_______．
例题8:
（1）（2020•浦东新区期末）若 与 互为余角， ，则
A． B． C． D．
（2）如图，点 是直线 上的一点， ， 平分 ，图中互
补的角有
A．10对 B．11对 C．12对 D．13对
230练习8:
（2023•松江区期末）如图，点 是直线 上的一点， ，
， 平分 ，图中互余的角有
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
考点九：余角、补角的计算
例题9:
（1）（2023•闵行区期末）如果一个角的补角等于这个角的3倍，那么这个角的度数是
A． B． C． D．
（2）（2023•杨浦区期末）已知 ， 与 互补，且 平分 ，
平分 ，则 ．
练习9:
（1）（2023•杨浦区期末）如果一个角的补角比它的余角的2倍大 ，那么这个角的大小
为 度．
（2）（2023•松江区期末）已知 ， 与 互余，则 的度数为
．
231考点十：角度的计算
知识笔记7
角的度量
度量单位：度（记作：“____”），分（记作：“____”），秒（记作：“____”）．
角的度量单位度、分、秒的关系： ， ．
例题10:
（1）用度、分、秒表示： .
（2）（2021•普陀区期末）计算： ．
（3）计算： ．
（4）计算： ．
（5）计算： ．
练习10:
（1）把 化成度、分的形式为 ．
（2）计算： ．
（3）计算： ．
（4）计算： .
（5）计算： ；
232全真战场
关卡一
练习1:
（1）如图所示，下列说法正确的是
A． 就是 B． 可以用 表示
C． 和 是同一个角 D． 和 不是同一个角
（2）（2023•长宁区期末）下列各图中，射线 表示北偏西 方向的是
A． B．
C． D．
（3）（2021•浦东新区建平中学期中）在高德导航地图上，海昌海洋公园在我校的南偏东
约 方向上，那么我校大约在海昌海洋公园的 方向．
练习2:
（1）（2023•长宁区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4
倍，求这个角的度数．
233（2）（2021•金山区蒙山中学期末）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大 ，求这
个角的度数．
（3）（2022•杨浦区上海理工大学附中期末） 是 的3倍，且 的补角比 的余
角大 ，求 的度数．
练习3:
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）换算： ；
（4）计算： ；
（5）计算： ．
练习4:
（2023•闵行区期末）如图，已知点 是直线 上的点， ．
（1）图中与 互补的角有 ；
（2）用直尺和圆规作出 的角平分线 （不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如果射线 、 分别表示从点 出发的东、西两个方向，那么射线 表示
（请填方位角）．
234关卡二
练习5:
如图，已知 ，在 内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角
（不大于平角的角）．当 内有 条射线时，角的个数为 ．
练习6:
（2023•普陀区期末）定义：如果两个角的度数的和是 ，那么这两个角叫做互为半余角．
其中一个角称为另一个角的半余角．例如： ， ，因为 ，
所以 和 互为半余角．
（1）如果 ， 是 的半余角，那么 的度数是 ．
（2）如图，已知 ，射线 在 的内部，满足 ， 是
的平分线．
①在 的内部画射线 ，使 ．并写出图中 的半余角： ．
② 是 的半余角，当 是 的 时，求 的度数．
235236【预初 B01】
入门测
1．若气温升高 记作“ ”，则气温下降 可记作
A． B． C． D．
2．为计数方便，某果园以每筐水果 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记
作负数．“ ”表示的实际千克数是
A．3 B．22 C．25 D．28
3．下列各数是负整数的是
A． B． C． D．
4．某一天，甲、乙、丙、丁四个城市的最低气温分别是 ， ， ， ，其
中最低气温是
A． B． C． D．
5．数轴上表示数 的点的位置如图所示，若 ，则表示数 的点可以是
A．点 B．点 C．点 D．点
6．从1到9这9个自然数中任取1个，是偶数的概率是
A． B． C． D．
7．如图，点 ， 分别表示数 与5，点 在线段 上，且 ，则点 对应的
数是
A．1 B．2 C．3 D．4
237入门测Plus
1．如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数 的点向右滚动一周到点 ，则点
表示的数为
A． B． C． D．
2．（2024春•松江区期中）某公司7天内货品进出仓库的吨数如下： “ ”表示进库，
“ ”表示出库） ， ， ， ， ， ， ．
（1）经过这7天，仓库管理员结算发现仓库还有货品500吨，那么7天前仓库里有货品多
少吨？
（2）如果进出的装卸费都是每吨8元，那么这7天要付多少元装卸费？
出门测
1. 下列说法正确的是（ ）
A．0是自然数
B．最小的自然数是0，最大的自然数是1000000
C．不是正数的数一定是负数
D．没有最小的负数，有最大的正数
2.（2021•宝山区校级月考）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是
A．12和24 B．75和15 C．46和4 D．45和1.5
3. （1）如果正整数 能被2整除，那么 的最小可取______．
（2）一个数的倍数有_________个，最小的倍数是__________．
4. （2023•崇明区期中）24的因数有 ．
5. 一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数最小是______，把它分解质因数是
____________
2386. 两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数
（既是奇数又是素数）之和，简称：“ ”．如 ， 等等．众多数学家
用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个
反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数 42
写成两个奇素数之和 ，或者 ．
你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？ ．
出门测Plus
1. 有一个两位数，它的十位数字是个位数字的8倍，则这个两位数一定是9的倍数，试说
明理由．
2. 2018年是某学校建校60周年，60的因数的个数比任何一个小于它的数的因数都要多，
像这样的数可以称为“子孙满堂数”，那么，小于60的“子孙满堂数”有 个．
239【预初 B02】
入门测
1. 下列说法正确的是（ ）
A．最小的自然数是1
B．最小的整数是1
C．非负整数是自然数
D．有最大的正整数，但没有最小的负整数
2. 下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是
A．12和2.2 B．35和5 C．13和52 D．20和50
3. （1）如果3能整除 ， 能整除12，那么 =__________．
（2）一个正整数的最大因数是__________；最小因数是__________．
4.（2022•杨浦区月考）8的因数有 ．
5. 三个不同的质数都有相同的倍数是102，这三个数分别是______、______、和______．
6. （2022•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如 11
和13就是一组孪生素数，
（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；
（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写 三个不同的质数
都有相同的倍数是102，这三个数分别是______、______、和______．出一组“三胞胎素
数”．（本题只需直接写出答案）
240入门测Plus
1. 已知两个三位数 ， ，和 能被37整除，证明：六位数 也能被37
整除．
出门测
1.（1）（2020•浦东新区月考）16和18的最大公因数是 ．
（2）（2020•浦东新区月考）11和7的最小公倍数是 ．
2. 用短除法求18、30和36的最大公因数和最小公倍数．
3. （2022•徐汇区校级月考）现在有练习本34本，橡皮85块，若要将这些分成若干份同样
的奖品，不得有剩余，最多能分成多少份奖品？每份奖品中练习本，橡皮各有多少份？
出门测plus
1. 甲乙丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15秒、1分45秒，问：三人
同时从起点出发，多少时间后他们又在起点相会？
2. 小红的爸爸工作8天休息一天，妈妈工作5天休息1天，今年的5月28日是他的爸爸和
妈妈同时休息，那么下一次到_____月_____日又同时休息了．
241【预初 B03】
入门测
1.（1）6和11的最大公因数是 ．
（2）2，4，8的最小公倍数是 ．
2. 用短除法求36和60的最大公因数和最小公倍数．
3. （2021•宝山区校级月考）凌老师把24块水果糖和36块巧克力分别平均分给一个组的学
生，结果全部分完，你知道这个组最多有几位学生吗？
入门测Plus
1．（2023秋•普陀区校级月考）一批水果，每箱放 30个则多20个；每箱放35个则少10
个．这批水果至少有多少个？
2．公路上有一排电线杆，共25根，每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60
米，可以有几根不需要移动？
242出门测
1．把分数 的分子扩大为原来的 4 倍，分母缩小为原来的 倍，所得的分数比
（ ）
A. 扩大为原来的8倍 B. 扩大为原来的2倍
C. 缩小为原来的 倍 D. 缩小为原来的 倍
2.（2022•黄浦区期中）图中阴影部分用分数表示是
A． B． C． D．
3．如果 ，那么括号内应填的数字为________.
4．把一个西瓜平均分成5份，每一份是这个西瓜的______．
5．一个分数，它的分母是72，化成最简分数是 ，这个分数原来是______；一个分数，
它的分子是45，化成最简分数是 ，这个分数原来是______．
6．计算：
（1） ； （2） .
出门测Plus
1．（2022秋•长宁区校级期中） ． 2．（2022 秋•长宁区校级期中）
．
243244【预初 B04】
入门测
1．把分数 的分子扩大为原来的4倍，分母缩小为原来的 ，所得的分数比原来（ ）
A. 扩大到原来的7倍 B. 缩小到原来的12倍
C. 不变 D. 扩大到原来的12倍
2. 通过计算填空： ，那么 _____.
a=
3．“一箱橙子吃去了 ．”这是把____________看做单位“1”，把它平均分成了________
份，吃去的橙子占________份，由此可以推出剩下这箱橙子的 ．
4．一个分数，它的分子与分母的最大公因数是17，化成最简分数是 ，这个分数原来是
______．
5．计算：
（1） ； （2） .
入门测Plus
1.（2020•杨浦区校级期中）取一个边长1的正方形，将它5等分，取其中的4份涂色．把
所得的涂色部分看成一个总体，再将其3等分，取其中的2份，那么这2份占原来正方形
的___________（填几分之几）．
2452．动物心跳的快慢是与体重有关系的，体重越大，心跳越慢，体重越小，心跳越快．你能
根据下面的信息算出猫每分钟大约心跳多少次吗？
出门测
1. 下列说法错误的是（ ）
A．真分数都小于1
B．假分数都不小于1
C．真分数的分子一定小于分母
D．假分数的分子一定大于分母
2. 若 是分母为18最小假分数，则 的值是 ．
3. 计算：
（1） ； （2） ．
4. 一次单元测验，题型分为选择题，填空题和解答题，测验时间为1个时．小智先用了
小时做完了选择题，再用了 小时完成了填空题，那么小智做完选择题和填空题总共用了
多少小时？小智还剩多少小时可以用来做解答题？
246出门测Plus
1．（2022秋•静安区期中）分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就
利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且
有意义的问题．例如： ；
（1）仿照上例分别把分数 和 分拆成两个不同的单位分数之和．
（2）在上例中， ，又因为 ，所以： ，
即 可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个
不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数 能写出哪些两个以上的不同单位分数
的和？
247【预初 B05】
入门测
一、填空题：
1. 要使 是真分数， 是假分数，x应该是 ．
2. 把78分解素因数是 ．
3. 108千克花生可榨油96千克，平均一千克花生能榨油 千克．（结果用最简分数
表示）
4. 如果甲数=2×3×5，乙数=3×3×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是 ．
5. 能同时被2、3、5整除的最大的三位数是 ．
6. 一筐苹果的数量在40到50个之间，从中两个两个地拿，或三个三个地拿，或四个四个
地拿，都正好拿完，这筐苹果有 个．
7．下列说法中，正确的是
①一个分数的分子与分母同时乘以或除以相同的数，分数的大小不变；
②一个假分数的倒数一定是真分数；
③a（a≠0）的倒数是 ；
④4的素因数只有2．
二、单选题：
8．在分数 ， ， ， ， ， 中最简分数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9. 分数 中的a和b同时扩大为原来的三倍，得到的分数是原来的（ ）
A． B． C．3倍 D．
248入门测Plus
1．（2023秋•闵行区期中）日常生活中，我们通常用到的数，称之为十进制数．在表示十
进制数时，我们需要用到10个数码：0，1，2， ，8，9．
例如：
9812
．
而在计算机中，常使用二进制数，即使用两个数码：0，1．
例如：1011．如果想要知道这个二进制数等于十进制中的哪个数字，我们可以这样计算：
即二进制数1011等于十进制数11．
阅读以上资料后，
（1）请你把二进制数10101转换为十进制数的过程补充完整：
；
；
（2）现在，请你尝试把六进制数421转化为十进制数，并写出转换过程．
249出门测
1. 将0.6，0.16，2.166分别化成分数．2. 如果 能化成有限小数，且 是不大于10的正整
数，则 可以是______．
3. 下列分数中不能化成有限小数的是
A． B． C． D．
4. 将下列分数化成小数，不能化为有限小数的，保留三位小数.
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
出门测Plus
1. 阅读理解题：
你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和
方法．
阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将 化成分数．
设 ，
由 ，可知 ，
即 ．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
可解得 ，即 ．
（1）填空：将 直接写成分数形式为 ．
（2）请仿照上述方法把小数 化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
250【预初 B06】
入门测
1. 将0.056，1.12，3.25，0.125，1.8分别化成分数．
2. 将下列分数化为小数． _____； _____； _____； _____．
3. 下列分数中不能化成有限小数的是
A． B． C． D．
入门测Plus
1．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因
和方法．
（1）阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将 化成分数．
解：设 ，方程两边都乘以10，可得 ．
由 ，可知 ，
即 ．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
可解得 ，即 ．
（2）填空：将 写成分数形式为 ．
（3）请你仿照上述方法把 化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
251出门测
1．计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
出门测Plus
1．计算：
（1） ； （2）
252【预初 B07】
入门测
1．计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
入门测Plus
1．计算：
（1） （2）
253出门测
1. 一堆煤720吨，用去了它的 ，还剩余多少吨？
2. 一件上衣90元，是裤子价钱的 ，那么一套衣服多少元？
3. 一件商品原价800元，先提价 ，再降价 ，问这件商品的现价是多少元？
4. （2022•浦东新区校级期末）一根钢筋长18米，第一次用去了全长的 ，第二次用去了
余下的 ，求剩余部分的长度．
出门测Plus
1. 某信息管理中心，在距下班还剩4小时的时候，接到将一批工业最新动态信息输入管理
偖存网终的任务，甲单独做需6小时完成，乙单独做需4小时完成，若甲先做30分钟，然
后甲、乙合作1小时，这时又接到新的工作任务，必须调走一人，问剩下那人能否在下班
之前完成这项工作？
254255【预初 B08】
入门测
1．一种儿童自行车的原价是154元，现在降价 ，现在的售价是多少元？列式为
A． B． C． D．
2．一本漫画书共有100页，小红第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，第三天应从
第 页看起．
A．45 B．46 C．55 D．56
3．检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需 ， 就可以完成．两小组合做 后，再
由乙小组单独做，则完成这台机器的检修任务还需的小时数为
A． B． C．3 D．4
4．小明妈妈买了6斤大米，家里煮饭用了它的 ，还剩下
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
5．如图，两个长方形游泳池，公共部分为阴影，阴影部分面积是大游泳池面积的 ，是
小游泳池面积的 ，小游泳池的面积比大游泳池的面积的少几分之几
A． B． C． D．以上都不对
6．现规定一种运算： ，如 ，则方程 的解为 ．
256入门测Plus
1．一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距 380千米的 、 两地同时出发相向
而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区 地，此时两车相
距20千米，甲车在服务区 地休息了20分钟，然后按原速度开往 地；乙车行驶2小时
15分钟时也经过 地，未停留继续开往 地．（友情提醒：画出线段图帮助分析）
（1）乙车的速度是多少千米 小时？ 、 两地的距离是多少千米？
（2）这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？
2．在2023杭州亚运会男子 米接力中，中国选手陈佳鹏在冲刺阶段完成了绝地反杀，
成功助力中国夺冠．为了学习这种体育精神提高竞技能力，49中田径队在笔直跑道上训练
甲、乙两同学分别从 、 两点同时相对出发．甲的平均速度是360米 分，乙的平均速
度比甲快 ，经过1分半后两人相距30米， 、 两点相距是 米．
3．工程队用3天修完一段路，第一天修的是第二天的 ，第三天修的是第二天的 倍，
已知第三天比第一天多修270米，这段路长多少米？
257出门测
1．（2023•闵行区期中）在 ， ， ，0，7.6，2， ， ．这八个有理数中
非负数有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2. 、 互为相反数，则下列成立的是
A． B． C． D．
3. （2022•闵行区校级期中）比较大小： ______ ．（填“ ”、“ ”或
“ ”
4. 已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数1，又点B和点A相距2个单位长度，则点
B表示的数是______.
5. 随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，
他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以 为标准，多于 的记为“ ”，
不足 的记为“ ”，刚好 的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
0
路程
（1）请求出这七天平均每天行驶多少千米；
（2）若每行驶 需用汽油6升，汽油价6.2元 升，请估计小明家一个月（按30天
计）的汽油费用是多少元？
258出门测Plus
1．数轴上某一个点表示的数为 ，比 小2的数用 表示，那么 的最小值为
A．0 B．1 C．2 D．3
2．我们知道，在数轴上，点 ， 分别表示数 ， 则点 ， 之间的距离为 ．
已 知 点 ， ， ， 在 数 轴 上 分 别 表 示 数 ， ， ， ， 且
，则线段 的长度为 ．
259【预初 B09】
入门测
1. （2022•杨浦区校级期中）在 0.2， ， ， ，0， ， ，
这八个数中，非负数有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2. （2018•金山区二模）下列各数中，相反数等于本身的数是
A． B．0 C．1 D．2
3. 比较大小： （用“ 或 或 ”填空）．
4. 数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是 ，且A，B两点的距离为3个单位，点B
对应的数是__________．
5. 有20筐白菜，以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记
录如下：
与标准质量的差值（单 0 1.5 2.5
位：千克）
筐数 1 4 2 3 4 6
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
260入门测Plus
1．如图，已知数轴上点 表示的数为6， 是数轴上在 左侧的一点，且 ， 两点间
的距离为10．动点 从点 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运
动时间为 秒．
（1）数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是 （用含 的代数式表示）；
（2）动点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、
同时出发．求：
①当点 运动多少秒时，点 与点 相遇？
②当点 运动多少秒时，点 与点 间的距离为8个单位长度？
261出门测
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ；
（4）计算： ；
（5）计算： ．
262出门测Plus
1．如果规定 ，求 的值．
2．阅读下面的文字，完成解答过程．
（1） ， ， ，则 ，并且用含有 的
式子表示发现的规律．
（2）根据上述方法计算： ．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论： （其中 ， 均
为正整数），并计算 ．
263【预初 B10】
入门测
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ；
（4）计算： ；
（5）计算： .
264入门测Plus
1．观察下列两个等式：
， ，给出定义如下：
我们称使等式 成立的一对有理数 ， 为“共生有理数对”，记为 ，如：
数对 ， ，都是“共生有理数对”．
（1）判断数对 ， 是不是“共生有理数对”，写出过程；
（2）若 是“共生有理数对”，求 的值；
（3）若 是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不
是” ；说明理由；
（4）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 （注意：不能与题目中已有的“共
生有理数对”重复）
2652．观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层
有5个圆圈， ，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？
第 层呢？
（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为 或 ，
由此得， ．
同样，
由前三层的圆圈个数和得： ．
由前四层的圆圈个数和得： ．
由前五层的圆圈个数和得： ．
根据上述请你猜测，从1开始的 个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算： 的和；
（5）计算： 的和．
266出门测
1. 1米长的小棒，第1次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的
小棒长______米．
2. 如果 ，那么 的值是
A． B．1 C． D．2009
3. 地球上的海洋面积约为 ，将数据 361000000 用科学记数法表示为
_________．
4. 计算：
5. 计算： ；
出门测Plus
1．（1）填空： ； ； ．
（2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？
（3）利用上述规律，解答下列各题：
如果 ，那么 ．如果 ，那么 ．
2672．阅读材料： 求 的值 ．
解： 设 ，将等式两边同时乘以 2 得：
将下式减去上式得
即
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2） （其 中 为正整数） ．
268【预初 B11】
入门测
1.《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3
格上加倍至4粒， ，依此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第20格中所放的米
粒数是_______．
2. 若 ， 为有理数，且 ，则 的值为
A． B．1 C． D．2023
3. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号 运载火箭成
功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号 运载火箭的重量大约是
．将数据500000用科学记数法表示为_______．
4. 计算： ．
5. 计算： ；
269入门测Plus
1 ． 已 知 ： ； ； ；
；
（1）请你猜想填空： ；
（2）试计算： ．
2．由 ； ； ； ； 想一想，等式左边各
项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用 为正整
数）的等式把这一规律写出来．
出门测
1. 在① ；② ；③ ④ 中方程有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 下列各个变形正确的是
A．由 去分母，得
B．方程 可化为
C．由 去括号，得
D．由 去括号，移项，合并同类项，得
3. 如果方程 与 的解相同，那么 ．
2704. 解方程：
（1） ； （2） ．
出门测Plus
1．某县对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各
栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺19棵；如果每隔6米
栽1棵，则树苗多5棵．设原有树苗 棵，则根据题意列出方程正确的是
A． B．
2．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里．若驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？根据题意，若设快马 天可
追上慢马，则下述所列方程正确的是
A． B．
C． D．
3．小王同学想根据方程 编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖
______，求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有 人，那么横线部分的条件应描述为
A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
4．《孙子算经》中记载了一个有趣的“荡杯问题”：每2人合用1个饭碗，每4人合用1
个汤碗，每5人合用1个肉碗，共用76个碗．设共有 人，根据题意，可列方程
A． B．
C． D．
5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的 5个数（如阴影部分所示）．
271请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是
A．31 B．56 C．67 D．126
272【预初 B12】
入门测
一、选择题
1．下列哪个分数不能化成有限小数
A． B． C． D．
2．一个数和它的倒数相等，则这个数是
A．1 B． C． D． 和0
3．下列方程中，是一元一次方程的是
A． B． C． D．
4．小明和小杰比赛从赛道的 点跑到 点，小明用了12秒钟，小杰用了13秒钟，由上述
条件，某同学得到以下两个结论：①小明所用的时间比小杰的少了 ；②小明的速度比小
杰的快了 ，对于结论①②，下列说法正确的是
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
二、填空题
5．用“ ”“ ”或“ ”号连接：1.25 ．
6．若 是方程 的一个解，则 ．
7．化简： ．
8．如果关于 的方程 与 的解相同，那么 ．
273入门测Plus
1. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例
如：方程 和 为“美好方程”．
（1）若关于 的方程 与方程 是“美好方程”，求 的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为 ，求 的值；
出门测
1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原
树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是
A．直线最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短
D．经过两点，有且仅有一条直线
2742. 如图，已知点 是线段 上一点，点 是 的中点，点 是 的中点．若 ，
则 的长为
A．7 B．6 C．5 D．4
3. 点 是直线 上一点，若线段 的长为4， ，线段 的长为 ．
出门测Plus
1. 如图（1），已知点 在线段 上，且 ， ．
（1）若 ， ，求线段 的长；
（2）若点 为线段 上任意一点，其他条件不变，且满足 ，求线段 的
长；
（3）如图（2），若点 为线段 延长线上任意一点，其他条件不变，且满足
，求线段 的长．
275【预初 B14】
入门测
一、填空题：
1. 要使 是真分数， 是假分数，x应该是 ．
2. 如果关于 的方程 与 的解相同，那么 ．
3. 一筐苹果的数量在40到50个之间，从中两个两个地拿，或三个三个地拿，或四个四个
地拿，都正好拿完，这筐苹果有 个．
4. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”．其大意是：跑得快的马每天走
240里，跑的慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马 天可以追上慢马．
5．下列说法中，正确的是
①一个分数的分子与分母同时乘以或除以相同的数，分数的大小不变；
②一个假分数的倒数一定是真分数；
③a（a≠0）的倒数是 ；
④4的素因数只有2．
二、单选题：
6. 一个数和它的倒数相等，则这个数是
A．1 B． C． D． 和0
7. 分数 中的a和b同时扩大为原来的三倍，得到的分数是原来的（ ）
A． B． C．3倍 D．
入门测Plus
1. 关于 的一元一次方程 的解为整数，则所有整数 的和为 ．
276出门测
1. 图书馆在剧院的东偏南 方向500米处，那么剧院在图书馆的
A．东偏南 方向500米处 B．南偏东 方向500米处
C．北偏西 方向500米处 D．西偏北 方向500米处
2. 如图所示， ， 分别是 ， 的平分线，且 ，则
为
A． B． C． D．
3. 如图，点 在直线 上， ， 是 的平分线， 为 的平
分线， ．
4. 计算 ．
277入门测Plus
如图， 是 的平分线， 是 的平分线．
（1）如图1，当 是直角， 时， 的度数是多少？
（2）如图2，当 ， 时，猜想 与 的数量关系；
278
