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专题14 数列的通项公式常考求法
【练基础】
一、单选题
1．（2023·四川成都·统考一模）已知数列 的前 项和为 ．若 ，则 （ ）
A．512 B．510 C．256 D．254
【答案】C
【分析】根据 与 的关系，结合等比数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由 ，
所以数列 是以2为首项，2为公式的等比数列，于是 ，
故选：C
2．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，设 ，数列
的前n项和为 ，则满足 的n的最小正整数解为（ ）
A．15 B．16 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由递推关系求得 、 ，根据 关系可得 ，由等差数列定义求出 通项，最后应
用对数的运算性质可得 ，进而求 对应n的范围，即可得答案.
【详解】由题设 且 ，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，则 ，由上， 也成立，故 是首项、公差均为1的等差数列，则 ，即 ，
又 ，
所以 ，即 ，故 的n的最小正整数解为 .
故选：A
3．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了
如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个
球,第三层有6个球,…,设第 层有 个球,从上往下 层球的总数为 ,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据规律写出递推关系式,即可判断选项D的正误;再利用累加法即可求得通项公式,即选项C正误,求出
前7项,即可得选项B正误,求出 通项公式,利用裂项相消即可得选项A的正误.
【详解】解:由题知,第一层有1个球,
第二层有3个球,即 ,
第三层有6个球,即 ,
则第四层的球数为 ,
当第 层有 个球时,
第 层有 个球,
所以 ,故选项D错误;
因为
,
,
,
,
将上述式子相加可得:
,
故 ,
所以 ,
故选项A正确;
因为 ,
,
故选项B错误;
因为 ,
故选项C错误.
故选:A
二、多选题4．（2022·河南开封·统考一模）已知数列 的前 项和 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【分析】当 时，由 可得 ，当 时， ，验证 是否适合可得通项公式，代入通项
公式求解可得结果.
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
，符合上式，
数列 的通项公式为：
，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ， ，数列 的前
n项和为 ，则 （ ）
A．0 B．50 C．100 D．2525
【答案】B
【分析】法一：先利用 求出 ，利用累乘法得到 ，再分组求和；
法二：先利用 求出 ，又易知 ，从而得到 为常数列，求出 ，再分组
求和.
【详解】法一：由于 ①，则当 时， ②，
①-②，得 ，即 ，易知 ，所以 ．
又 满足 ，故 ，则 ，
易知 ，所以 .
法二：由于 ①，则当 时， ②，
①-②，得 ，即 ，又易知 ，
所以数列 为常数列，所以 ，所以 ，则 ，
易知 ，所以 .
故选：B．
6．（2023·四川内江·统考一模）已知数列 满足： ，点 在函数 的图象上，记
为 的前n项和，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由 以及解析式求出 ，再由 得出答案.
【详解】由题得 ，解得 ，故 ，所以
故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{ }满足 ， ，则数
列{ }第2022项为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先通过条件得到 ，再利用累加法即可求解.
【详解】解：由 .得 ，
又 ，可得
所以 ， ， ，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前n项和为 ， ，记
，若数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A． B． C．200 D．400
【答案】C
【分析】利用 关系及等差数列的定义求 的通项公式，进而可得 ，根据正弦函数的周期性并讨论 ，
求得 ，即可求 .
【详解】由题设 ，则 ，
所以 ，又 为正项数列，则 ，
由 ，可得 ，
所以 是首项为1，公差为2的等差数列，则 ，故 ，
当 且 ， ；当 且 ， ；
当 且 ， ；
当 且 ， ；
则 ，
由 .
故选：C
9．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据 与 的关系以及 是等比数列，可求得 ， .进而判断数列 是以8为首项，4
为公比的等比数列，根据等比数列前 项和公式即可判断C、D项.
【详解】当 时， ，
当 时， .
因为 是等比数列，所以需满足 ，所以 ， .
所以，A项正确，B项错误；
因为 ， ，
所以数列 是以8为首项，4为公比的等比数列.所以 ，所以C项错误，D项正确.
故选：AD.
10．（2022秋·山西·高三统考期中）已知数列 的通项公式为 ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据通项公式即可作出判断.
【详解】对于A，6是偶数，则 ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ， ，
，D错误.
故选：BC.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前 项之和，且满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2
C． 可能为等比数列 D． 的最小值为0，最大值为20
【答案】CD
【分析】当 时，解出 ，当 时，由退位相减法求得 ，讨论 和
，求出数列 的通项，再依次判断即可.
【详解】当 时， ，解得 或 ，当 时， ，，
整理得 ，当 时，若 ，可得 此时为等差数列，若 ，
，
可得数列 为等比数列， ；当 时，可得 ，数列 为等差数列，
若 ，可得 ，若 ，可得 ；故A错误；B错误；C正确；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 时，
；故D正确.
故选：CD.
12．（2022秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示
的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，
第三层有6个球，…，设第n层有 个球，从上往下n层球的球的总数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意求得 ，进而可得 ，利用累加法求出 即可判断选项A、C；计算前7项的
和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】由题意得，
，
以上n个式子累加可得，
又 满足上式，所以 ，故A错误；
则 ，
得 ，故B正确；
有 ，故C正确；
由 ，
得 ，
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·全国·校联考模拟预测）记函数 在 处的导数为 ，则
________．
【答案】
【分析】求导后可得 ，结合对数运算法则可求得结果.
【详解】 ， ，即 ，
.
故答案为： .
14．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列 的前 项和为 ， ， ，若数列 满
足 ， ，则 _____________.
【答案】5149【分析】用 求出 的递推，然后根据递推求通项,根据 ，分奇偶项来找规律求解.
【详解】∵ ，∴ .
当 时， ，
∴ ，
即 .∴ .……
，上式累加得 ，
∴ .
当 时也满足，故 .又 ， ，∴ ，
当 时， ，①
当 时， ，②
当 时， ，③
由①②得 ，由②③得 ，
∴
.
故答案为：5149
15．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列 满足 ， ，则
__________【答案】
【分析】由已知整理得 ，先利用累乘法求数列 的通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从
而得到结果.
【详解】由 得： ，
；
设 ，
则 ，
，
，
，即 ，
， ，
.
故答案为： .
16．（2022·上海青浦·统考一模）已知数列 中， ，记 的前 项和为 ，且满足
．若对任意 ，都有 ，则首项 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，分段求出数列 的表达式，再利用给定不等关系列出不等式组求解作答.【详解】 ， ，有 ，
于是得 ，有 ，因此 ，
数列 分别是以 为首项，6为公差的等差数列，
而 ， ，即有 ，解得 ，
又 ，则有 ，
于是得 ， ，
因对任意 ，都有 ，则 ， ，
从而得 ，解得 ，
所以首项 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：给出 与 的递推关系，求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，
再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与n之间的关系，再求 .
四、解答题
17．（2023·云南红河·统考一模）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】(1)利用 ， 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
(2)根据(1)中所求，利用裂项求和法求出 ，即可证明.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
当 时，可知 ，解得 ，
当 时， ，
两式相减，得 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ．
（2）由（1）知
．
所以
，
因为 ，所以 ．
18．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用数列中前 项和 与项 的关系求解；
（2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.
【详解】（1）由题意
当 时， ；
当 时，
两式相减得 ，
所以 ，当 时也成立．
所以数列 的通项公式 .
（2）根据题意，得
所以
所以
【提能力】
一、单选题
19．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到
，累加可求出 ，得出 ，再利用
，累加可求出 ，再次放缩可得出
．
【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
20．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由
累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累乘法求得 ，
最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题目条件
可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到 ，最
后由裂项相消法求得 ．
21．（2018·陕西安康·统考三模）已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B．2525 C． D．2526
【答案】C
【分析】由已知得出数列 为等差数列，求出通项公式 后，累加法求得 .
【详解】解析：由已知 ，∴数列 为等差数列，
，∴
∴ ．
故选：C．
22．（2022秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列 和 首项均为1，且 ， ，数列的前n项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A．2019 B． C．4037 D．
【答案】D
【分析】先利用条件得到 ，进而得到 ，代入 ，利用 与 的关系推得 是
等差数列，进而求出 ，代入即可求得结果.
【详解】解： ，
，
，
另外： ，可得 ，
.
，
，即 ，
，又 ，
数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
，故 ，
.
故选：D.
23．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪
花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形 ，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪
花曲线 ；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线， ．
设雪花曲线 的边长为 ，边数为 ，周长为 ，面积为 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 均构成等比数列 D．
【答案】B
【分析】根据已知写出 、 、 的通项公式且 时 ，应用累加法求 通项，进而判断
各选项的正误.
【详解】据题意知： ，
∴ ，A错误；
，
当 时， ，D错误；
∴ ，由 也满足上式，则 ，
所以 不构成等比数列，C错误；
由上， ，则 ，B正确.
故选：B．
24．（2022·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作
《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801
年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问
题，现将 到 这 个数中，能被 除余 且被 除余 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则
该数列共有（ ）
A． 项 B． 项 C． 项 D． 项
【答案】B
【分析】由已知可得能被 除余 且被 除余 的数即为能被 除余 ，进而得通项及项数.
【详解】由已知可得 既能被 整除，也能被 整除，
故 能被 整除，
所以 ， ，
即 ，
故 ，即 ，
解得 ，
故共 项，
故选：B.
25．（2022·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 是等比数列C． D．
【答案】D
【分析】推导出数列 是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得 的表达式，可判断C选项；利用等
差中项的性质可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；计算出 、 的值，可判断D选项.
【详解】由 ，且 ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
所以， ，所以 ，且 ，
所以，数列 是等差数列，且该数列的首项为 ，公差为 ，
所以， ，则 ，其中 ，C对；
，所以，数列 是等比数列，B对；
由等差中项的性质可得 ，A对；
由上可知 ，则 ， ，
所以， ，D错.
故选：D.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过x的最大整数（例如 ， ）.则 （ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【分析】由题设得 是首项为4，公差为2的等差数列，可得 ，再应用累加法求 的通
项公式，最后求 结合函数新定义得 ，即可求目标式结果.
【详解】由题设， ， ，
故 是首项为4，公差为2的等差数列，则 ，
则 ，
所以 ，故 ，又 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 2021.
故选：D
【点睛】关键点点睛：构造数列 并求通项公式，再由累加法求 的通项公式，结合函数新定义求目标
式的值.
二、多选题(共0分)
27．（2023·全国·高三专题练习）数列 首项 ，对一切正整数 ，都有 ，则（ ）
A．对一切正整数 都有 B．数列 单调递减C．存在正整数 ，使得 D． 都是数列 的项
【答案】ABD
【分析】由题可得 ，进而可得 ，然后逐项分析即得.
【详解】对于A，由 ，得 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，
所以 .因为 ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，故B正确；
对于C，因为对任意正整数 都有 ，即 ，
所以 ，所以不存在正整数 ，使得 ，故C错误；
对于D，因为 ，且 ，所以 都是数列 的项，故D正确.
故选：ABD.
28．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）设首项为1的数列 的前 项和为 ，若 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列
B．数列 的通项公式为
C．数列 为等比数列D．数列 的前n项和为
【答案】AD
【分析】由条件找到 可判断A正确，由A可求得 的通项公式，利用分组求和可得D正
确，由 的通项公式可求得 的通项公式，进而可确定CD错误.
【详解】
又
数列 是首项公比都为 的等比数列，故选项A正确.
又
所以数列 的前 和为 ，故选项D正确.
又因为 ，
当 ，
当 ， ，
故选项B错误.
所以数列 不是等比数列.故选项C错误.
综上，故选：A D
29．（2021·全国·高三专题练习）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，
自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正
方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为 ， ， ，边长为斐波那契数
的正方形所对应扇形面积记为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再
次应用累加法及递推公式判断选项D.
【详解】由递推公式 ，可得 ， ，
所以 ，A选项正确；
又由递推公式可得 ， ， ，类似的有 ，
累加得 ，
故 错误，B选项错误；
由题可知扇形面积 ，
故 ，
故 错误，C选项错误；
由 ，
，，
，
类似的有 ，
累加得 ，
又 ，所以 ，
所以 正确，D选项正确；
故选：AD.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，其前 项和为 ，则下列结论中
正确的有（ ）
A． 是递增数列 B． 是等比数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到 ，构造等比数列可证 为等比数列，求解
出 通项公式则可判断A选项；根据 判断B选项；根据 的通项公式以及对数的
运算法则计算 的正负并判断C选项；将 的通项公式放缩得到 ，由此进行
求和并判断D选项.
【详解】因为 ，所以 ，
从而 ， ，所以 ，
所以 ，又 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，即 ，又因为 在 时单调递增， 在定义域内单调递增，
所以 是递增数列，故A正确；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 不是等比数列，故B错误.
因为
，
而
，从而 ，
于是， ，故C正确.
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：数列 单调性的一般判断步骤：
（1）先计算 的结果，然后与 比较大小（也可以计算 的值，然后与 比较大小，但要注意项的符号）；
（2）下结论：若 ，则为递增数列；若 ，则为递减数列；若 ，则为常数列.
三、填空题(共0分)31．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则数列 的前100
项和 ______．
【答案】
【分析】叠加法求解 ，再裂项相消法求和即可.
【详解】∵ ，∴ 时， ．
∴ （ ），
当 时 也满足上式，∴ （ ）
∴ ，（ ）
∴数列 的前 项和
（ ）
所以数列 的前100项和 ．
故答案为： ．
32．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的前2022
项的和为___________.
【答案】
【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前2022项的和即可.
【详解】由题意可知，满足 ，当 时， ，
，以上各式累加得，
.
，
当 时， 也满足上式，∴ ，则 .
∴数列 的前n项和为 ，
∴ .
故答案为： .
33．（2022春·河南郑州·高三校联考阶段练习）数列 满足 ( ，且 )， ，对于
任意 有 恒成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用累加法求出 ，然后可得 ，然后可得答案.
【详解】
从而可得即 ， 因为 ，所以 .
故答案为：
34．（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，
设函数 ，则 ______．
【答案】 ##
【分析】根据 可求 ，从而可求 .易验证 ，故可采用倒序相加法求题设式
子的值．
【详解】∵ ①，
∴当 时， ②，
①－②得 ，∴ ；
当 时， ，∴ ，此时 仍然成立，
∴ ．
∴当n=1时， ；
当 时， ，
当n=1时，上式也成立，故 ．
由于 ，设
则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得 ，观察猜测并发现 为定值，从
而利用倒序相加法即可求和．
四、解答题(共0分)
35．（2023·四川内江·统考一模）数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，若 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）根据递推关系得 ，再验证 满足条件即可求得答案；
（2）由（1）知， ，再结合裂项求和与数列的单调性得 ，再解不等式即可.
【详解】（1）解：当 ， ，①
， ，②①－②得 （*）
在①中令 ，得 ，也满足（*），所以 ， ，
（2）解：由（1）知， ，
故 ，
于是，
因为 随n的增大而增大，
所以 ，解得 或
所以实数m的取值范围是 或 .
36．（2022春·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式.
(2)证明 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 ，利用累加法求解；
（2）由 ，利用裂项相消法求解.
(1)
解：由 ，
得 ， ，…， ，
由累加法得，
所以 ，
又 满足 ，
又因为 ，
所以 .
(2)
因为 ，
所以当 时，
，
当 时， 成立，
所以 .
37．（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设数列 的前n项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 的表达式．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据通项与前n项和的关系可得 ，再根据 求解即可；
（2）先化简 ，再根据 求解即可.
【详解】（1）当 时， ，所以 ．
当 时， ， ．
两式相减得： ，即 ．
故 .
故 .
（2）因为 ，令 ，则 ，
∴{bn}为等差数列．
∴ ．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， .
(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的前n项和为 ；
(2)设 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先求出 ，然后将 的 换成 ，与原式相减可得 ，从而可得即可证明，求出 通项公式， 再分组可求和.
（2）先求出 ，可得出 ，裂项相消法求和，可证明.
（1）当 时， ，即 由 ，则 两式相减可得
，即 所以 ，即 数列 为等比数列则
，所以 则
（2） 所以
