文档内容
2025-2026 学年广东省深圳中学高三（上）第三次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x N|x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{1} B．{0，1} ∈ C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜2}
2．（5分）已知复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A．1 B．2 ﹣+1 =3− C．i D．﹣i
3．（5分）已知直线l，m，n是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若l∥m，l∥n，m ，n ，则l∥ α β
B．若m∥ ，m∥n，则⊂αn∥⊂α α
C．若l⊥ α，l∥m， ⊥ ，则α m∥
D．若 ⊥α， ∩ ＝αm，βl ，l⊥mβ，则l⊥
α β α β ⊂α β
4．（5分）若数列{an}满足 p（p为常数，n N，n≥1），则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}
2
+1
是等方比数列；乙：数列 { 2 an} =是等比数列，则（∈ ）
A．甲是乙的充分非必要条件
B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既非充分也非必要条件
5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当x [0，1]时，f（x）＝2x﹣2，
则（ ） ∈
A．f（x+2）＝f（x） B．
2
( 23)=
C． ＞ D．f（﹣1）＜0 3
2025
6．（5分 (）若2 一)个小0 球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为S1 ，S2 ，侧面积为
S，则（ ）
A．S2＝S1S2 B．S＝S1+S2
C． D．
7．（5分 ）=若函 1数+f（ x2）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1 ， =x2 ，2 且 1x 12＜x2，f（x1 ）＝x1 ，则关于x的方程3（f
（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（ ）
第1页（共21页）A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）下列对于函数f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）的说法正确的是：（ ）
A．既可能存在对称中心，又可能存在对称轴
B．可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C．不可能存在对称中心，但可能存在对称轴
D．既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在正四棱锥M﹣ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P，Q分别是AB和MC的中点，
则（ ）
A．PQ∥MA B．PQ∥平面MAD
C．PQ⊥MD D．PQ⊥平面MBD
（多选）10．（6分）已知a＞b＞c，且2a，2b，2c成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜b+1
B． ＞
+
C． 2a，22b+1，2c+2不可能成等差数列
D．22a，22b，22c不可能成等差数列
（多选）11．（6分）在实践课上，小明使用8块全等的三角形薄板（不计厚度），仅通过拼接得到一个三
棱柱，则（ ）
A．所用薄板的形状是等腰三角形
B．所用薄板的形状是直角三角形
C．所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为
D．所得三棱柱的某个侧面与底面垂直 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和 ， ，则{an}的公比为 ．
= ⋅2 + ⋅ ( ∈ℝ)
13．（5分）若G为△ABC的重心， ，则cosA的最小值为 ．
→ →
14．（5分）已知函数f（x）＝sin x（ ⋅＞ 0 ）=，0若 x1 [0， ]， x2 [ ，2 ]，使得f（x1 ）+f（x2 ）＝0，则
的取值范围为 ω ω ． ∀ ∈ π ∃ ∈ π π
四、ω本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
第2页（共21页）15．（13分）已知数列{an}，{bn}满足a1 ＝0，1+an •an+1 ＝﹣2an+1 ，bn ＝an+1．
（1）求证：数列 是等差数列；
1
{ }
（2）令 ，求数列{ n}的前n项和Tn ．
1
= 2 +1 ∁
16．（15分）已知 四⋅2棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若 ，求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值．
1
= = =
2
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
1+ 1+
（1）判断△ABC的形状；
=
（2）设AB＝2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln（x+a）+e ﹣bx﹣a（a，b R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）是否存在a，b，使得x＝0为f（x）的极值点？若∈存在，求a，b满足的条件，若不存在，请说明
理由；
（2）若1＜a＜2，b＝1，x0 为f（x）最小的零点，证明：当x （﹣a，0）时，f（x）＜f′（x0 ）．
19．（17分）设n是正整数，有穷整数列A：a1 ，a2⋯ ，an （ai Z∈，1≤i≤n）．若存在正整数k（k≤n）满
足：对 1≤i≤n﹣k+1，都有ai+ai+1+
⋯
+ai+k﹣1 ＞0恒成立，∈则称A为P（k）数列，数列A的所有项之
和记为∀S（A）．
（1）判断A：1，﹣1，3，﹣2，1是否为P（3）数列？是否为P（4）数列？请说明理由；
（2）若n＝9，A是P（2）数列，且a1+a9 ＝5，求S（A）的最小值；
（3）若n＝11，A是P（3）数列，且a1 ＝1，若将A各项重新排列后能构成等差数列，求S（A）的最
小值．
第3页（共21页）2025-2026 学年广东省深圳中学高三（上）第三次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D B B C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x N|x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{1} B．{0，1} ∈ C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜2}
【分析】根据集合概念以及交集运算即可得结果．
【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x N|x＜2}＝{0，1}，
则A∩B＝{0，1}． ∈
故选：B．
2．（5分）已知复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A．1 B．2 ﹣+1 =3− C．i D．﹣i
【分析】设z＝a+bi（a，b R），代入已知等式整理，再由复数相等的条件求解b值得答案．
【解答】解：设z＝a+bi（∈a，b R），
由 ，得2（a+bi）∈+a﹣bi＝3﹣i，
即23a ++bi ＝=3﹣3−i， 得a＝1，b＝﹣1，
所以z的虚部为﹣1．
故选：B．
3．（5分）已知直线l，m，n是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若l∥m，l∥n，m ，n ，则l∥ α β
B．若m∥ ，m∥n，则⊂αn∥⊂α α
α α
第4页（共21页）C．若l⊥ ，l∥m， ⊥ ，则m∥
D．若 ⊥α， ∩ ＝αm，βl ，l⊥mβ，则l⊥
【分析α】根β据α空间β中的线⊂面α关系及面面垂直β的性质定理，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：已知直线l，m，n是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，
若l∥m，l∥n，m ，n ， α β
则l∥ 或l ， ⊂α ⊂α
故选项αA不⊂正α确；
若m∥ ，m∥n，
则n∥α或n ，
故选项αB不⊂正α确；
若l⊥ ，l∥m， ⊥ ，
则m∥α 或m ，α β
故选项βC不正⊂确β ；
由面面垂直的性质定理可知选项D正确．
故选：D．
4．（5分）若数列{an}满足 p（p为常数，n N，n≥1），则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}
2
+1
是等方比数列；乙：数列 { 2 an} =是等比数列，则（∈ ）
A．甲是乙的充分非必要条件
B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既非充分也非必要条件
【分析】由数列{an}是等比数列，可得 p≠0的常数，可得 p2＞0，数列{an}是等方比数
2
+1 +1
列．反之不成立：例如﹣1，﹣1，1，1，
…
．=
2 =
【解答】解：由数列{an}是等比数列，可得 p≠0的常数，
+1
=
则 p2＞0，数列{an}是等方比数列．
2
+1
反之
不
2 成=立：{an}为“等方比数列”，
则数列{an}满足 p（p为正常数，n N*），解得 ± ，
2
+1 +1
不一定为等比数列
2．例=如﹣1，﹣1，1，1 ∈，…．
=
第5页（共21页）所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：B．
5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当x [0，1]时，f（x）＝2x﹣2，
则（ ） ∈
A．f（x+2）＝f（x） B．
2
( 23)=
C． ＞ D．f（﹣1）＜0 3
2025
【分 析( 】2根据) 函0数奇偶性可求得f（x）是以4为周期的周期函数，可判断A错误，代入计算可得B正
确，结合周期性计算可得 ＜，即C错误，易知f（﹣1）＝0可得D错误．
2025 1
【解答】解：根据题意，定 (义2域为)= R 的(函2 )数0 f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，
则有f（x）＝f（﹣x），f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）；
所以f[﹣（x+1）+1]＝﹣f[（x+1）+1]，即f（﹣x）＝﹣f（x+2），
因此f（x）＝﹣f（x+2），
故有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数，
依次分析选项：
对于A，由分析可知f（x）＝﹣f（x+2），即A错误；
对于B，由f（x）＝﹣f（﹣x+2），可知 ；
4
( 23)=− (− 23+2)=− ( 2 )
3
显然 ， ，所以 ，
2 4 ∈(0 1) ( 2 4 )= 2
24
3 −2= 4 −2=− 2
所以 3 ，3即B正确； 3 3
4 2
( 23)=− ( 2 )=
3 3
对于C，易知 ＜，可得C错误；
1
2025 1 1 2
对于D，显然 f (（﹣21）)=＝f （( 21）+＝4× 212﹣5 2 3＝)= 0， (即2 ) D =错2误−．2 0
故选：B．
6．（5分）若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为S1 ，S2 ，侧面积为
S，则（ ）
A．S2＝S1S2 B．S＝S1+S2
C． D．
= 1+ 2 =2 1 2
【分析】根据题意，设小球半径为R，利用等体积法分析可得
1 1 1 1
，变形可得答案． = 3 1+ 3 2+ 3 = 3 ( 1+ 2+
1 2)⋅2
第6页（共21页）【解答】解：根据题意，设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，
所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之
和，
这6个小棱锥的高都是球的半径R，
同时，该棱台的高是2R，
则该四棱台的体积为 ，
1 1 1 1
变形可得： = 3 1+ 3 2+ 3 = 3，( 即 1+ 2+ 1 2)⋅2．
2
故选：C． = 1+ 2+2 1 2 =( 1+ 2) = 1+ 2
7．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x1 ，x2 ，且x1＜x2，f（x1 ）＝x1 ，则关于x的方程3（f
（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】求导数f′（x），由题意知x1 ，x2 是方程3x2+2ax+b＝0的两根，从而关于f（x）的方程3（f
（x））2+2af（x）+b＝0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，x1 ，x2 是方程3x2+2ax+b＝0的两根，
由3（f（x））2+2af（x）+b＝0，得x＝x1 ，或x＝x2 ，
即3（f（x））2+2af（x）+b＝0的根为f（x）＝x1 或f（x）＝x2 的解．
如图所示
，
由图象可知f（x）＝x1 有2个解，f（x）＝x2 有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根
个数为3．
故选：A．
8．（5分）下列对于函数f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）的说法正确的是：（ ）
A．既可能存在对称中心，又可能存在对称轴
第7页（共21页）B．可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C．不可能存在对称中心，但可能存在对称轴
D．既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
【分析】令f（x）＝0，利用方程法求出函数的零点，若f（x）存在对称中心或对称轴，则其横坐标为
x＝﹣a，进而 ，k Z，分别验证f（x）+f（﹣2a﹣x）＝0、f（x）≠f（﹣2a﹣x），即可得答
案． − = 2 + 3 ∈
【解答】解：令f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）＝0，
得x+a＝0或cos2x﹣sinx＝0，即2sin2x+sinx﹣1＝0，
当x+a＝0时，解得x＝﹣a；
当2sin2x+sinx﹣1＝0时，即（2sinx﹣1）（sinx+1）＝0，
解得 或sinx＝﹣1，
1
=
从而得 2 ， 或 ， 或 ， ，
5 3
= +2 ∈ = +2 ∈ = +2 ∈
即 6 ， 或 6 ， 2或 ， ，
3 2(3 −2) 3 2(3 −1) 3 2⋅3
= + ∈ = + ∈ = + ∈
即 2 ，3 ． 2 3 2 3
3 2
= + ∈
所以f（2 x）有3定零点 ， 和动零点x＝﹣a，
3 2
所以若f（x）存在对称 =中心2 或+对3称轴 ，∈则 其横坐标只能为x＝﹣a，
而定零点也应具有对称性，所以 ，k Z，
− = + ∈
此时 2，k 3 Z，
( )=( − − )( 2 − ) ∈
2 3 ，k Z，
2 2
① (−当2 k ＝− 3 m )（= m −( Z ）−时2，− f（3 x )[） + f 2（( ﹣− 2a﹣3x )）−＝ 0 ，( − 3 )] ∈
此时f（x）存在∈对称中心（﹣a，0）；
②当k＝3m+1（m Z）或k＝3m+2（m Z）时，
∈ ∈
2 2 2 2
[2( − )]− ( − )= [2( − )]− ( − )
或 3 3 3 3 ，
2 2 4 4
此时 f [（2( x ）−≠f3（﹣)] 2 − a ﹣ x (） ，−所以3 f )（= x） 不 [2存( 在−对3称)轴]−． ( − 3 )
综上，f（x）存在对称中心（﹣a，0），不存在对称轴．
第8页（共21页）故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在正四棱锥M﹣ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P，Q分别是AB和MC的中点，
则（ ）
A．PQ∥MA B．PQ∥平面MAD
C．PQ⊥MD D．PQ⊥平面MBD
【分析】根据题意作图，利用中位线的性质证得四边形APQE是平行四边形即PQ∥AE，可直接判断A；
利用线面平行的判定定理可证明并判断B；利用等边三角形的性质可证明并判断C；利用线面垂直的性
质和判定定理可判断D．
【解答】解：如图，取MD中点E，连接AE，EQ，
因为P，Q分别是AB和MC的中点，四棱锥M﹣ABCD是正四棱锥，
可得EQ∥DC∥AP且 ，即四边形APQE是平行四边形，
1 1
对于A，因为PQ∥AE ， A = E∩2 M A =＝2A， 所=以 P Q与MA不平行，故A错误；
对于B，因为PQ∥AE，AE 平面MAD，PQ 面MAD，所以PQ∥平面MAD，故B正确；
对于C，因为MA＝AD＝MD⊂，E是MD中点⊄，所以AE⊥MD，又因为PQ∥AE，所以PQ⊥MD，故C
正确；
对于D，连接AC，BD交于点O，连接MO，
因为四棱锥M﹣ABCD是正四棱锥，所以MO⊥平面ABCD，AC⊥BD，
AC 平面ABCD，所以MO⊥AC，
则由⊂AC⊥BD，MO⊥AC，BD 平面MBD，MO 平面MBD，BD∩MO＝O，可证得AC⊥平面MBD，
又因为PQ∥AE，AE∩AC＝A，⊂所以PQ与AC为⊂异面直线，
如果PQ⊥平面MBD，则PQ∥AC与题意矛盾，故D错误．
故选：BC．
第9页（共21页）（多选）10．（6分）已知a＞b＞c，且2a，2b，2c成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜b+1
B． ＞
+
C． 2a，22b+1，2c+2不可能成等差数列
D．22a，22b，22c不可能成等差数列
【分析】通过等差数列的性质结合指数运算、基本不等式、变量代换及反证法，逐一验证各选项的正误．
【解答】解：由2a，2b，2c成等差数列，得2×2b＝2a+2c，即2b+1＝2a+2c．
选项A：因2c＞0，故2b+1＝2a+2c＞2a．
指数函数y＝2x单调递增，因此a＜b+1，该说法正确．
选项B：由基本不等式， ，又a＞b＞c，等号无法取到，故 ＞ ．
+ +
2 2
2 +2 ≥2 2 ⋅2 =2×2 2×2 2×2
化简得 ＞ ，因此 ＞ ，该说法正确．
+
2 +
选项C：2 令2 2a＝m，2b＝ n，22 c＝t，由a＞b＞c得m＞n＞t，且2n＝m+t．
若2a，2b+1，2c+2成等差数列，则2×2b+1＝2a+2c+2，即4n＝m+4t．
联立 ，解得 ，m＝2t，此时m＞n＞t成立（如t＝2，则m＝4，n＝3，对应a＝2，b
2 = + 3
=
＝log243 ， =c＝ 1+ ）， 4 2
故存在这样的数，该说法错误．
选项D：假设22a，22b，22c成等差数列，则2×22b＝22a+22c，即2n2＝m2+t2．
结合2n＝m+t，得 ，化简得（m﹣t）2＝0，即m＝t，与m＞t矛盾，故该说法正
2 2 + 2
确． + =2×( 2 )
故选：ABD．
（多选）11．（6分）在实践课上，小明使用8块全等的三角形薄板（不计厚度），仅通过拼接得到一个三
棱柱，则（ ）
第10页（共21页）A．所用薄板的形状是等腰三角形
B．所用薄板的形状是直角三角形
C．所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为
D．所得三棱柱的某个侧面与底面垂直 2
【分析】记该三棱柱为ABC﹣A1B1C1 ，BC＝a，AC＝b，AB＝c，由三棱柱的结构特征，可得侧棱长d
必与三角形的某一边相等，可得所用薄板的形状是等腰三角形，判断A；那么在3个侧面中有2个是边
长为a的菱形，且一条对角线长为c；另1个是邻边长分别为a和c的平行四边形，且一条对角线长为
a，可得AB⊥平面CA1O，其中O为AB的中点，进而可证得平面ABB1A1 垂直于底面，判断D；计算
可得 ，判断B；则侧棱与底面所成角的余弦值即为 ，求得正切值，判断C．
2 3 3
【解答 =】解： 作出示意图如下： = =
3 1 2 3
因为三棱柱的侧面是平行四边形，
所以8个三角形中的2个作为上下底面，
其余6个两两拼成3个平行四边形，平行四边形为侧面，
设该三棱柱为ABC﹣A1B1C1 ，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
无论如何拼接侧面，侧棱长d必与三角形的某一边相等，在侧面BCC1B1 中，有d＝b或d＝c，
同理，“d＝a或d＝b”，“d＝a或d＝c”都是真命题，
这说明a、b、c中至少有两个相等，即所用薄板的形状是等腰三角形，故A正确；
不妨设a＝b，那么在3个侧面中：
有2个是边长为a的菱形，且一条对角线长为c；
另1个是邻边长分别为a和c的平行四边形，且一条对角线长为a．
在平行四边形ABB1A1 中，不妨设∠A1AB＜90° （若∠A1AB＝90°，则两条对角线长都大于a），
则AB＝a，
由于CA＝CB＝AA1 ＝A1B，设O为AB的中点，连接OC，OA1 ，
则AB⊥OC，AB⊥OA1 ，OC∩OA1 ＝O，OC、OA1 平面CA1O，所以AB⊥平面CA1O，
⊂
第11页（共21页）又CA1 平面CA1O，则AB⊥CA1 ，又A1B1 ∥AB，所以A1B1 ⊥CA1 ，
那么在⊂Rt△CA1B1 中，CB1 ＞CA1 ，所以CA1 ＝C1B，
因为
→ → → → → → → → →
，其中O′为A1C中点，
那么|A 1 1 C ＝|=2O| O 1′ 1，+所 以1 |C=O⊥| O A+ 1 ， 1则 +CO ⊥ |平=面| A B+B1 A 1 1 ，|= 2|′ |
又CO 底面ABC，则平面ABB1A1 ⊥底面ABC，故D正确；
⊂
所以 ，
2
2 2 2 2 2
1 = − + 1− = 2 −
，而2a＞c，那2 么AC1 ＞c，
2
2 1 2 2
1 = 1−( ) = 2 +
因此只可能有A1C 2＝c，解得 2 ，故B错误；
2 3
=
侧棱与底面所成角的余弦值即为 3 ，
3
= =
则正弦值为 ， 1 2 3
3 2 6
故正切值为 1，−故( 3C)正确=．
3
故选：ACD．2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和 ， ，则{an}的公比为 1 ．
【分析】根据题意，求出数列{an}的前 3 项=， 由⋅2等+比 数⋅ 列( 的性 质∈求ℝ出) a的值，进而分析可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}的前n项和 ，
则a1 ＝S1 ＝2a+b，a2 ＝S2 ﹣S1 ＝2a+b， = ⋅2 + ⋅
又由数列{an}为等比数列，而a1 ＝a2 ，
故该等比数列的公比为1．
故答案为：1．
13．（5分）若G为△ABC的重心， ，则cosA的最小值为 ．
→ →
4
⋅ =0
【分析】根据重心的定义和性质，利用基底 ， 和 ， 分别表5示 ， ，由向量数量积的运算
→ → → → → →
律可得到 ，根据向量数量积定义和余弦定理可化简得到 ，利用
→ → →
1 2 2 2
基本不等式 9 可 求⋅ 得 结−果 9 ． = 0 = 5 ( + )
【解答】解：设D，E分别为AC，AB中点，则BD∩CE＝G，
第12页（共21页）因为G为△ABC 的重心，
所 以 C
→ → → → → → → → → → → →
2 2 1 1 1 2 2 1
= = × ( + )= ( + )= ( − ) = = × ( + )=
3 3 2 ， 3 3 3 3 2
→ → → →
1 1
( + )=− ( + )
3所以 3 ，
→ → → → → → → → → → → → →
1 1 2 2 1 2 2
⋅ =− ( − )⋅( + )=− ( + − ⋅ )= ⋅ − =0
9 9 9 9
记 ，
→ → →
| |= | |= | |=
则 ，即 ，
1 2 2 2 2
又 9a 2＝ b 2 + c2−﹣ 92b cco = sA 0， =
所以 ，
2 2
2 +2 −4 2 2
= = + −4
所以 （当且仅当b＝c时取等号），
2 2 4
= ( + )≥ ×2 ⋅ =
所以cosA的5最小 值 为 ．5 5
4
故答案为： ． 5
4
14．（5分）已知 5 函数f（x）＝sin x（ ＞0），若 x1 [0， ]， x2 [ ，2 ]，使得f（x1 ）+f（x2 ）＝0，则
ω ω ∀ ∈ π ∃ ∈ π π
的取值范围为 ， ， ．
3 3 7
ω【分析】由题意若[ 4x1 [20，]∪[ ]，4 x2 + [ ∞，) 2 ]，使得f（x1 ）+f（x2 ）＝0，即 t1 [0， ]，t2 [ ，2 ]，
∀ ∈ π ∃ ∈ π π ∀ ∈ ωπ ∈ ωπ ωπ
使得g（t1 ）+g（t2 ）＝0，分 ＜ ， ≥2 ， ＜ ，＜ ， ＜ ＜ ＜
5 5 3 3
结合函数性质讨论求解即可0 ． ≤ 2 ωπ π 2 ≤ ≤ 4 4 ≤ 2 2 2
【解答】解：设 t1 [0， ]，t2 [ ，2 ]，g（t）＝sint，
若 x1 [0， ]，∀x2 ∈[ ，ω2π]，使∈得ωfπ（x1 ）ω+πf（x2 ）＝0，
即∀t1 ∈[0，π ]，∃t2 ∈[π ，π2 ]，使得g（t1 ）+g（t2 ）＝0，
即﹣∀ g∈（t1 ）ω的π值域∈是ωgπ（t2 ）ω值π 域的子集，
第13页（共21页）①若 ＜ ，即 ＜ ＜ ，g（t1 ），g（t2 ）均大于0不符合题意；
1
②若0 ≥ 2 ≤，即2 ≥2 0时 ，g（2t1 ），g（t2 ）的值域均为[﹣1，1]，符合题意；
ωπ π ω
③若 ＜ ，即 ＜ ，﹣g（t1 ）的值域为[﹣1，0]，g（t2 ）
max
＞0，
1
≤ ≤ 1
只需g2（t2 ）
min
＝﹣1，2即2 ，解得 ，
3 3
ωπ≥ ≥
此时 ， 2 4
3
≤ ≤ 1
④若4 ＜ ，即1＜ ，此时﹣g（t1 ）的值域为[﹣1，﹣sin ]，g（t2 ）的值域为[﹣1，sin2 ]，
5 5
≤ ≤ ωπ ωπ
2 ， 4， ，4 ，2 ﹣2 ＝2（ ﹣ ）， ， ， ﹣ ， ，
5 5
ωπ∈(2 ] ∈ ( ] ωπ π ωπ π 2( − )∈(0 ] ωπ π∈(0 ]
由y＝sinx在（2 0， ）上单调递4增， 2 4
结合图象可知sin22 ＞﹣sin ，所以，此时满足题意；
ωπ ωπ
⑤若 ＜ ，即 ＜ ，此时g（t2 ）的值域为[﹣1，1]，满足题意；
5 3 5 3
≤ ≤
⑥若4 ＜ ＜ 2，即 4＜ ＜，2﹣g（t1 ）的值域为[﹣1，1]，
3 3
2 2
要使g2（t2 ）的值域为[﹣21，1]，则 ，解得 ，即 ＜，
7 7 7
2 ≥ ≥ ≤ 2
综上所述， 的取值范围为 ， ，2 ． 4 4
3 3 7
ω [ ]∪[ +∞)
故答案为： ， ，4 2． 4
3 3 7
四、本题共5小[ 4题，2共]∪
77
[ 4分.解+答∞应)写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列{an}，{bn}满足a1 ＝0，1+an •an+1 ＝﹣2an+1 ，bn ＝an+1．
（1）求证：数列 是等差数列；
1
{ }
第14页（共21页）（2）令 ，求数列{ n}的前n项和Tn ．
1
= 2 +1 ∁
【分析】（1） 由 ⋅数2 列的递推式和等差数列的定义，可得证明；
（2）由等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，结合错位相减法求和，计算可得所求和．
【解答】解：（1）证明：由a1 ＝0，1+an •an+1 ＝﹣2an+1 ，
可得an+1 ，
1
=−
则an+1+1 +，2
+1
=
可得 +2 1 ，
1 +2 1
= = +
由bn ＝ +a1n++11，可 得 +b1n+1 ＝an + 1 ++11，
则 1，
1 1
= +
可得 +数1列 是首项和公差均为1的等差数列；
1
{ }
（2）由（1 ） 可得 1+n﹣1＝n，
1
=
则 n• （ ）2n+1，
1 1
= 2 +1 =
Tn ＝1•（ ⋅）2 3+2•（ ）52+...+n•（ ）2n+1，
1 1 1
Tn ＝1•（2 ）5+2•（2 ）7+...+n•（2 ）2n+3，
1 1 1 1
4 2 2 2
上面两式相减可得 Tn ＝（ ）3+（ ）5+...+（ ）2n+1﹣n•（ ）2n+3 n•（ ）2n+3，
1 1
3 1 1 1 1 8(1−4 ) 1
= 1 −
4 2 2 2 2 1−4 2
化为Tn •（ ）n．
2 3 +4 1
16．（15分=）9已−知四18棱锥P4 ﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若 ，求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值．
1
= = =
2
【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得AD⊥平面PAB，再利用面面垂直判定定理即可得证；
第15页（共21页）（2）可建立适当空间直角坐标系，再求出平面BPD与平面CPD的法向量后，利用空间向量夹角公式
计算即可得．
【解答】解：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，故PA⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PA＝A，AB、PA 平面PAB， ⊂
故AD⊥平面PAB，由AD∥BC， ⊂
则BC⊥平面PAB，又BC 平面PBC，
故平面PAB⊥平面PBC；⊂
（2）由PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，故PA⊥AB，
故PA、AD、AB两两垂直， ⊂
故可以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝1，则A（0，0，0）、B（1，0，0）、P（0，0，1）、D（0，2，0）、C（1，1，0），
则 ，， 、 ，， 、 ，， ，
→ → →
=(0 2 −1) =(−1 2 0) =(−1 1 0)
设平面BPD与平面CPD法向量分别为 ， ， 、 ， ， ，
→ →
=( 1 1 1) =( 2 2 2)
则有 ， ，
→ ⇀ → ⇀
⋅ =2 1− 1 =0 ⋅ =2 2− 2 =0
→ ⇀ → ⇀
取x1 ＝ 2⋅， x 2 ＝=−1， 1则+y2 1 ＝ 1 1=，0z1 ＝2 ，⋅ y2 ＝=1−， z 2 2＝+2 ，2 =0
即 ，， 、 ，， ，
→ →
设平 面=( B 2 PD 1与平2)面C P = D (1的夹1角为2) ，
则 ＜ ， ＞ θ ．
→ →
→ →
| ⋅ | 2+1+4 7 6
=| |= → → = =
即平面BPD与平面CPD夹角| 的|⋅|余 |弦值 4 为 +1+4 ． ⋅ 1+1+4 18
7 6
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对18的边分别为a，b，c，且 ．
1+ 1+
（1）判断△ABC的形状；
=
第16页（共21页）（2）设AB＝2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积．
【分析】（1）结合同角三角函数的平方关系与二倍角公式化简已知等式，可得
，再利用两角差的正弦公式，推出A＝B，得解； 2 2 − 2 2 =
0
（2）在△ACD中，结合余弦定理与基本不等式，推出∠CAD的最大值为 ，且此时 ，再利用
3
余弦定理与勾股定理证明AB＝AC，进而知△ABC为等边三角形，从而得解． =
6 2
【解答】解：（1）因为 ，所以
2 2
，
1+ 1+ ( 2+ 2) ( 2+ 2)
= 2 2 = 2 2
2− 2 2− 2
所以 ，整理得 ，即 ，
2+ 2 2+ 2
= − =0 ( − )=0
2 2 2 2 2 2
因为 A ， 2− B （ 20， ） ， 2− 2
∈ π
所以 ，即A＝B，
故△A2B − C2 为=等0腰三角形．
（2）由题意知，AC＝BC＝2CD，
在△ACD中，由余弦定理知，
2 2 2
+ −
∠ =
2 ⋅
2 ，
2 2 2 3 2 2
+ − 4 4 + 3 3 3
= = = + ≥ ⋅ =
所以 2 ⋅ ，当且2仅 当⋅ 8 时，2等 号成立8， 即∠2 C AD的2 最大值为 ，
3
此时不∠ 妨 设≤AC6 ＝2x，AD
x=，
2 6
= 3
由余弦定理知，CD2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠CAD＝4x2+3x2﹣2•2x• x• x2，
3
所以CD2+AD2＝AC2，即CD⊥AD， 3 =
2
又D为BC的中点，所以AB＝AC，
由（1）知AC＝BC，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以△ABC的面积 ．
3 2
18．（17分）已知函数 f =（x4）×＝2 ln（= x+ 3 a）+e ﹣bx﹣a（a，b R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）是否存在a，b，使得x＝0为f（x）的极值点？若∈存在，求a，b满足的条件，若不存在，请说明
理由；
（2）若1＜a＜2，b＝1，x0 为f（x）最小的零点，证明：当x （﹣a，0）时，f（x）＜f′（x0 ）．
∈
第17页（共21页）【分析】（1）根据题意，求导得f'（x），结合若x＝0为f（x）的极值点，则 ，再代入计算导函数
1
恒非负得出函数单调性即可判断； =
（2）根据题意，将问题转化为x （﹣a，0）时， ＜ ，令g（x）＝ex﹣x
− 1 − 0
∈ ( + )+ − −
﹣a再用导数求其极值，结合隐零点问题的求解方法即可得证． 0+
【解答】解：（1）当a≤0时，x＝0无意义；
当a＞0时，若x＝0为f（x）的极值点，
则 ，即 ，
1 − 1 1
′ ( )= − ⇒′ (0)= − =0 =
+
，又 ＞， ＞，
1
1 − 1 1 − − 1
′ ( )= − = − 1 = 1 + 0 0
+ +
( + )( )
令 ， ，
1 1
所以 ( x)=（ ﹣ a，−0 ），−t （′x ）( ＜)0=， t（−x）1单调递减；
x （0，∈+∞），t′（x）＞0，t（x）单调递增；
所∈以t（x）≥t（0）＝ae0﹣0﹣a＝0，所以f'（x）≥0恒成立，所以f（x）单调递增，故x＝0不是极值
点，
综上所述，不存在a，b，使得x＝0为f（x）的极值点；
（2）证明：当1＜a＜2时，x （﹣a，+∞）， ，
− 0
要证：x （﹣a，0）时， ∈ ＜ ( 0)= ( 0 ，+ )+ − =0
− 1 − 0
由于f（ ∈ ﹣a）→﹣∞，f（ 1 ﹣ ( a + ） ＝ )+ ea﹣ 1﹣ − a＞ 0 x0 0 + （ − ﹣ a，1﹣a），
， ⇒ ∈
1 − − −
′ 令 ( g（ )= x） +＝ e − x﹣ x﹣ = a，( g+（ )﹣ a）＝e ﹣a＞0，g（0）＝1﹣a＜0，
则存在﹣a＜m＜0，使得f（x）在（﹣a，m）上单调递增，（m，0）上单调递减，且em＝m+a，
故f（x）≤f（m）＝ln（m+a）+e ﹣m﹣a，
只要证： ＜
− 1 − 0
( + )+ − −
＜ 0+ ＜ ，
− 1 − 1
⇔ 记h （ + x） ＝x − + e ﹣x， 0+ −( − ( 0+ ))⇔ + 0+ + ( 0+ )
只需证：h（m）＜h（ln（x0+a）），
由于m＜0，ln（x+a）＜0，
第18页（共21页）当x＜0时，h'（x）＝1﹣e ﹣x＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
于是只需证：m＞ln（x0+a） m＞x0 f（m）＞0，
由f（m）＞f（1﹣a）＞0，得⇔证． ⇔
19．（17分）设n是正整数，有穷整数列A：a1 ，a2⋯ ，an （ai Z，1≤i≤n）．若存在正整数k（k≤n）满
足：对 1≤i≤n﹣k+1，都有ai+ai+1+
⋯
+ai+k﹣1 ＞0恒成立，∈则称A为P（k）数列，数列A的所有项之
和记为∀S（A）．
（1）判断A：1，﹣1，3，﹣2，1是否为P（3）数列？是否为P（4）数列？请说明理由；
（2）若n＝9，A是P（2）数列，且a1+a9 ＝5，求S（A）的最小值；
（3）若n＝11，A是P（3）数列，且a1 ＝1，若将A各项重新排列后能构成等差数列，求S（A）的最
小值．
【分析】（1）由n＝5，当k＝3时，得到1≤i≤3，验证ai+ai+1+ai+2 的取值情况，可判断A是否为P（3）
数列；当k＝4时，得到1≤i≤2，再验证ai+ai+1+ai+2+ai+3 的取值情况，可判断A是否为P（4）数列；
（2）根据n＝9，A是P（2）数列，得出1≤i≤8，恒有ai+ai+1 ≥1，结合a1+a9 ＝5可得a2+a3+...+a8 的
范围，进而得S（A）≥7，再构造和为7的满足条件的数列可得；
（3）根据n＝11，A为P（3）数列，得出对 1≤i≤9，都有ai+ai+1+ai+2 ＞0恒成立，利用该性质重组
数列求和，可构造不等式S（A）≥4+a3k+2k N∀，再假设重新排列后的等差数列为b1 ，b2 ，b3 ，…，b11 ，
利用a2+a5+a8+a11 大于等于最小的连续4项∈和，得到不等式20m≥8﹣7d，进而利用a1 ＝1在重排数列
中的可能位置分析求解S（A）最小值可得．
【解答】解：（1）①判断A是否为P（3）数列：
当k＝3时，n﹣k+1＝5﹣3+1＝3，所以1≤i≤3；
当i＝2时，a+a3+a4 ＝（﹣1）+3+（﹣2）＝0；
不满足对 1≤i≤n﹣k+1，都有ai+ai+1+...+ai+k﹣1 ＞0恒成立，
所以A不∀是为P（3）数列；
②判断A是否为P（4）数列：
当 k＝4时，n﹣k+1＝5﹣4+1＝2，所以1≤i≤2，
根据P（k）数列的定义，需要判断 i＝1，i＝2时ai+ai+1+ai+2+ai+3 的取值情况．
i＝1时，a1+a+a3+a4 ＝1+（﹣1）+3+（﹣2）＝1＞0；
i＝2时，a2+a3+a4+a5 ＝（﹣1）+3+（﹣2）+1＝1＞0；
满足对 1≤i≤n﹣k+1，都有ai+ai+1+...+ai+k﹣1 ＞0恒成立，
所以A∀为P（4）数列；
第19页（共21页）（2）因为n＝9，A为P（2）数列，所以对 1≤i≤8，都有ai+ai+1 ＞0恒成立，
又因为数列A为有穷整数列，所以ai+ai+1 ≥∀1；
则（a1+a2 ）+（a2+a3 ）+...+（a7+a8 ）+（a8+a9 ）≥8，
且由a1+a9 ＝5可得a1+2（a2+a3+...+a5 ）+a9 ＝5+2（a2+a3+...+a8 ）≥8，
解得 ，又各项为整数，则a2+a3+...+a8 ≥2，
3
所以 S 2 （+ A ） 3 ＝+. a . 1 . + + a2 + 8 ... ≥ +a29 ＝（a1+a9 ）+（a2+a3+...+a8 ）≥5+2＝7；
为使S（A）最小，令a1 ＝3，a9 ＝2，
构造数列 A：3，﹣1，2，﹣1，2，﹣1，2，﹣1，2．
由3+（﹣2）＝（﹣1）+2＝2+（﹣1）＝1＞0，可知满足 P（2）数列条件，此时 S（A）＝3+4×1＝7，
所以S（A）的最小值为7；
（3）因为n＝11，所以数列A共11项．
设重排后所得等差数列的公差为d（不妨设d≥0），中间项为m（m Z），
设该等差数列b1 ，b2 ，b3 ，…，b11 ：m﹣5d，m﹣4d，…，m﹣d，m∈，m+d，..，m+4d，m+5d，
则S（A）＝11m（m Z）．
由A为P（3）数列，∈即 k＝3，则 n﹣k+1＝9，
所以对 1≤i≤9，都有ai+ai+1+ai+2 ＞0恒成立，
又各项均∀ 为整数，则ai+ai+1+ai+2 ≥1，又a1 ＝1，
所以S（A）＝a1+a2+（a3+a4+a5 ）+（a5+a7+a8 ）+（a9+a10+a11 ）≥4+a2 ；
且S（A）＝a1+（a2+a3+a4 ）+a5+（a6+a7+a8 ）+（a9+a10+a11 ）≥4+a5 ；
同理可得S（A）≥4+a3 ；S（A）≥4+a11 ；
四式相加可得，4S（A）≥16+a2+a5+a8+a11 ≥16+（b+b+b3+ba）＝16+（m﹣5d）+（m﹣4d）+（m﹣3d）
+（m﹣2d）＝16+4m﹣14d，
则有44m≥16+4m﹣14d，化简得20m≥8﹣7d．
假设S（A）＝11m≤0，则m≤0，且b1 ≤b2 ≤...≤b3 ＝m≤b7 ≤...≤b10 ≤b11 ，
则由a1 ＝1＞0，可知bj ＝1＞m，j≥7，则d＝b7 ﹣b6 ≤bj ﹣b6 ＝1﹣m，则20m≥8﹣7d≥8﹣7（1﹣m）＝
1+7m，
故13m≥1，这与m≤0矛盾；
故S（A）＞0，又S（A）＝11m（m Z），则S（A）≥11．
显然，当d＝0时，数列A：1，1，1∈，…，1，满足题意，且S（A）＝11．
第20页（共21页）故S（A）的最小值为11．
综上所述：S（A）的最小值为11．
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