文档内容
2025-2026学年广东省深圳中学高三（上）第三次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x N|x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{1} B．{0，1} ∈ C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜2}
2．（5分）已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．（5分）已知直线 l，m，n是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是
（ ） α β
A．若l∥m，l∥n，m ，n ，则l∥
B．若m∥ ，m∥n，则⊂αn∥⊂α α
C．若l⊥ α，l∥m， ⊥ ，则α m∥
D．若 ⊥α ， ∩ ＝αm，βl ，l⊥βm，则l⊥
4．（5分）α 若β数列α {aβn }满足p⊂（αp为常数，n N，β n≥1），则称{a
n
}为“等方比数列”．甲：数列{a
n
}是等
方比数列；乙：数列{a }是等比数列，则∈（ ）
n
A．甲是乙的充分非必要条件
B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既非充分也非必要条件
5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当x [0，1]时，f（x）＝2x﹣
2，则（ ） ∈
A．f（x+2）＝f（x） B．
C． D．f（﹣1）＜0
6．（5分）若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 S ，S ，侧面积
1 2
为S，则（ ）
A．S2＝S S B．S＝S +S
1 2 1 2
C． D．
7．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x ，x ，且x1＜x2，f（x ）＝x ，则关于x的方程3（f
1 2 1 1
（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第1页（共18页）8．（5分）下列对于函数f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）的说法正确的是：（ ）
A．既可能存在对称中心，又可能存在对称轴
B．可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C．不可能存在对称中心，但可能存在对称轴
D．既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在正四棱锥M﹣ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P，Q分别是AB和MC的中
点，则（ ）
A．PQ∥MA B．PQ∥平面MAD
C．PQ⊥MD D．PQ⊥平面MBD
（多选）10．（6分）已知a＞b＞c，且2a，2b，2c成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜b+1
B．
C．2a，2b+1，2c+2不可能成等差数列
D．22a，22b，22c不可能成等差数列
（多选）11．（6分）在实践课上，小明使用8块全等的三角形薄板（不计厚度），仅通过拼接得到一个
三棱柱，则（ ）
A．所用薄板的形状是等腰三角形
B．所用薄板的形状是直角三角形
C．所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为
D．所得三棱柱的某个侧面与底面垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知等比数列{a }的前n项和，则{a }的公比为 ．
n n
13．（5分）若G为△ABC的重心，，则cosA的最小值为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝sin x（ ＞0），若 x [0， ]， x [ ，2 ]，使得f（x ）+f（x ）＝0，
1 2 1 2
则 的取值范围为 ω ω ． ∀ ∈ π ∃ ∈ π π
四、本ω题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列{a }，{b }满足a ＝0，1+a •a ＝﹣2a ，b ＝a +1．
n n 1 n n+1 n+1 n n
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列{ }的前n项和T ．
n n
∁
第2页（共18页）16．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若，求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设AB＝2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln（x+a）+e﹣bx﹣a（a，b R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）是否存在a，b，使得x＝0为f（x）的极值点？若∈存在，求a，b满足的条件，若不存在，请说明
理由；
（2）若1＜a＜2，b＝1，x 为f（x）最小的零点，证明：当x （﹣a，0）时，f（x）＜f′（x ）．
0 0
19．（17分）设n是正整数，有穷整数列A：a
1
，a 2⋯，a
n
（a
i
∈Z，1≤i≤n）．若存在正整数k（k≤n）
满足：对 1≤i≤n﹣k+1，都有a i +a i+1 +⋯+a i+k﹣1 ＞0恒成立，∈则称A为P（k）数列，数列A的所有项
之和记为∀S（A）．
（1）判断A：1，﹣1，3，﹣2，1是否为P（3）数列？是否为P（4）数列？请说明理由；
（2）若n＝9，A是P（2）数列，且a +a ＝5，求S（A）的最小值；
1 9
（3）若n＝11，A是P（3）数列，且a ＝1，若将A各项重新排列后能构成等差数列，求S（A）的最
1
小值．
第3页（共18页）2025-2026学年广东省深圳中学高三（上）第三次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D B B C A B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x N|x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{1} B．{0，1} ∈ C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜2}
【分析】根据集合概念以及交集运算即可得结果．
【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x N|x＜2}＝{0，1}，
则A∩B＝{0，1}． ∈
故选：B．
2．（5分）已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【分析】设z＝a+bi（a，b R），代入已知等式整理，再由复数相等的条件求解b值得答案．
【解答】解：设z＝a+bi（∈a，b R），
由，得2（a+bi）+a﹣bi＝3﹣i，∈
即3a+bi＝3﹣i，得a＝1，b＝﹣1，
所以z的虚部为﹣1．
故选：B．
3．（5分）已知直线 l，m，n是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是
（ ） α β
A．若l∥m，l∥n，m ，n ，则l∥
B．若m∥ ，m∥n，则⊂αn∥⊂α α
C．若l⊥ α，l∥m， ⊥ ，则α m∥
α α β β
第4页（共18页）D．若 ⊥ ， ∩ ＝m，l ，l⊥m，则l⊥
【分析α】根β据空α 间β中的线面⊂α关系及面面垂直β的性质定理，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：已知直线l，m，n是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，
若l∥m，l∥n，m ，n ， α β
则l∥ 或l ， ⊂α ⊂α
故选项αA不⊂正α确；
若m∥ ，m∥n，
则n∥α或n ，
故选项αB不正⊂α确；
若l⊥ ，l∥m， ⊥ ，
则m∥α 或m ，α β
故选项βC不正⊂确β；
由面面垂直的性质定理可知选项D正确．
故选：D．
4．（5分）若数列{a }满足p（p为常数，n N，n≥1），则称{a }为“等方比数列”．甲：数列{a }是等
n n n
方比数列；乙：数列{a }是等比数列，则∈（ ）
n
A．甲是乙的充分非必要条件
B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既非充分也非必要条件
【分析】由数列{ a }是等比数列，可得p≠0的常数，可得 p2＞0，数列{a }是等方比数列．反之不
n n
成立：例如﹣1，﹣1，1，1，…．
【解答】解：由数列{ a }是等比数列，可得p≠0的常数，
n
则p2＞0，数列{a }是等方比数列．
n
反之不成立：{a }为“等方比数列”，
n
则数列{a }满足p（p为正常数，n N*），解得±，
n
不一定为等比数列．例如﹣1，﹣1∈，1，1，…．
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：B．
5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当x [0，1]时，f（x）＝2x﹣
2，则（ ） ∈
第5页（共18页）A．f（x+2）＝f（x） B．
C． D．f（﹣1）＜0
【分析】根据函数奇偶性可求得f（x）是以4为周期的周期函数，可判断A错误，代入计算可得B正
确，结合周期性计算可得，即C错误，易知f（﹣1）＝0可得D错误．
【解答】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）为偶函数，f（x+1）为奇函数，
则有f（x）＝f（﹣x），f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）；
所以f[﹣（x+1）+1]＝﹣f[（x+1）+1]，即f（﹣x）＝﹣f（x+2），
因此f（x）＝﹣f（x+2），
故有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是以4为周期的周期函数，
依次分析选项：
对于A，由分析可知f（x）＝﹣f（x+2），即A错误；
对于B，由f（x）＝﹣f（﹣x+2），可知；
显然，所以，
所以，即B正确；
对于C，易知，可得C错误；
对于D，显然f（﹣1）＝f（1）＝21﹣2＝0，即D错误．
故选：B．
6．（5分）若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 S ，S ，侧面积
1 2
为S，则（ ）
A．S2＝S S B．S＝S +S
1 2 1 2
C． D．
【分析】根据题意，设小球半径为R，利用等体积法分析可得，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，
所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积
之和，
这6个小棱锥的高都是球的半径R，
同时，该棱台的高是2R，
则该四棱台的体积为，
变形可得：，即．
故选：C．
7．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有极值点x ，x ，且x1＜x2，f（x ）＝x ，则关于x的方程3（f
1 2 1 1
第6页（共18页）（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】求导数f′（x），由题意知x ，x 是方程3x2+2ax+b＝0的两根，从而关于f（x）的方程3（f
1 2
（x））2+2af（x）+b＝0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，x ，x 是方程3x2+2ax+b＝0的两根，
1 2
由3（f（x））2+2af（x）+b＝0，得x＝x ，或x＝x ，
1 2
即3（f（x））2+2af（x）+b＝0的根为f（x）＝x 或f（x）＝x 的解．
1 2
如图所示
，
由图象可知f（x）＝x 有2个解，f（x）＝x 有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根
1 2
个数为3．
故选：A．
8．（5分）下列对于函数f（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）的说法正确的是：（ ）
A．既可能存在对称中心，又可能存在对称轴
B．可能存在对称中心，但不可能存在对称轴
C．不可能存在对称中心，但可能存在对称轴
D．既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴
【分析】令f（x）＝0，利用方程法求出函数的零点，若f（x）存在对称中心或对称轴，则其横坐标为
x＝﹣a，进而，k Z，分别验证f（x）+f（﹣2a﹣x）＝0、f（x）≠f（﹣2a﹣x），即可得答案．
【解答】解：令f∈（x）＝（x+a）（cos2x﹣sinx）＝0，
得x+a＝0或cos2x﹣sinx＝0，即2sin2x+sinx﹣1＝0，
当x+a＝0时，解得x＝﹣a；
当2sin2x+sinx﹣1＝0时，即（2sinx﹣1）（sinx+1）＝0，
解得或sinx＝﹣1，
第7页（共18页）从而得或或，
即或或，
即．
所以f（x）有定零点和动零点x＝﹣a，
所以若f（x）存在对称中心或对称轴，则其横坐标只能为x＝﹣a，
而定零点也应具有对称性，所以，k Z，
此时，k Z， ∈
，k Z，∈
①当∈ k＝3m（m Z）时，f（x）+f（﹣2a﹣x）＝0，
此时f（x）存在∈对称中心（﹣a，0）；
②当k＝3m+1（m Z）或k＝3m+2（m Z）时，
∈ ∈
或，
此时f（x）≠f（﹣2a﹣x），所以f（x）不存在对称轴．
综上，f（x）存在对称中心（﹣a，0），不存在对称轴．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在正四棱锥M﹣ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P，Q分别是AB和MC的中
点，则（ ）
A．PQ∥MA B．PQ∥平面MAD
C．PQ⊥MD D．PQ⊥平面MBD
【分析】根据题意作图，利用中位线的性质证得四边形 APQE是平行四边形即PQ∥AE，可直接判断
A；利用线面平行的判定定理可证明并判断B；利用等边三角形的性质可证明并判断C；利用线面垂直
的性质和判定定理可判断D．
【解答】解：如图，取MD中点E，连接AE，EQ，
因为P，Q分别是AB和MC的中点，四棱锥M﹣ABCD是正四棱锥，
可得EQ∥DC∥AP且，即四边形APQE是平行四边形，
对于A，因为PQ∥AE，AE∩MA＝A，所以PQ与MA不平行，故A错误；
对于B，因为PQ∥AE，AE 平面MAD，PQ 面MAD，所以PQ∥平面MAD，故B正确；
对于C，因为MA＝AD＝M⊂D，E是MD中点⊄，所以AE⊥MD，又因为PQ∥AE，所以PQ⊥MD，故C
第8页（共18页）正确；
对于D，连接AC，BD交于点O，连接MO，
因为四棱锥M﹣ABCD是正四棱锥，所以MO⊥平面ABCD，AC⊥BD，
AC 平面ABCD，所以MO⊥AC，
则由⊂AC⊥BD，MO⊥AC，BD 平面MBD，MO 平面MBD，BD∩MO＝O，可证得AC⊥平面MBD，
又因为PQ∥AE，AE∩AC＝A，⊂所以PQ与AC为⊂异面直线，
如果PQ⊥平面MBD，则PQ∥AC与题意矛盾，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（6分）已知a＞b＞c，且2a，2b，2c成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜b+1
B．
C．2a，2b+1，2c+2不可能成等差数列
D．22a，22b，22c不可能成等差数列
【分析】通过等差数列的性质结合指数运算、基本不等式、变量代换及反证法，逐一验证各选项的正
误．
【解答】解：由2a，2b，2c成等差数列，得2×2b＝2a+2c，即2b+1＝2a+2c．
选项A：因2c＞0，故2b+1＝2a+2c＞2a．
指数函数y＝2x单调递增，因此a＜b+1，该说法正确．
选项B：由基本不等式，，又a＞b＞c，等号无法取到，故．
化简得，因此，该说法正确．
选项C：令2a＝m，2b＝n，2c＝t，由a＞b＞c得m＞n＞t，且2n＝m+t．
若2a，2b+1，2c+2成等差数列，则2×2b+1＝2a+2c+2，即4n＝m+4t．
联立，解得，m＝2t，此时m＞n＞t成立（如t＝2，则m＝4，n＝3，对应a＝2，b＝log 3，c＝1），
2
故存在这样的数，该说法错误．
选项D：假设22a，22b，22c成等差数列，则2×22b＝22a+22c，即2n2＝m2+t2．
第9页（共18页）结合2n＝m+t，得，化简得（m﹣t）2＝0，即m＝t，与m＞t矛盾，故该说法正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）在实践课上，小明使用8块全等的三角形薄板（不计厚度），仅通过拼接得到一个
三棱柱，则（ ）
A．所用薄板的形状是等腰三角形
B．所用薄板的形状是直角三角形
C．所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为
D．所得三棱柱的某个侧面与底面垂直
【分析】记该三棱柱为ABC﹣A B C ，BC＝a，AC＝b，AB＝c，由三棱柱的结构特征，可得侧棱长d
1 1 1
必与三角形的某一边相等，可得所用薄板的形状是等腰三角形，判断 A；那么在3个侧面中有2个是
边长为a的菱形，且一条对角线长为c；另1个是邻边长分别为a和c的平行四边形，且一条对角线长
为a，可得AB⊥平面CA O，其中O为AB的中点，进而可证得平面ABB A 垂直于底面，判断D；计
1 1 1
算可得，判断B；则侧棱与底面所成角的余弦值即为，求得正切值，判断C．
【解答】解：作出示意图如下：
因为三棱柱的侧面是平行四边形，
所以8个三角形中的2个作为上下底面，
其余6个两两拼成3个平行四边形，平行四边形为侧面，
设该三棱柱为ABC﹣A B C ，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
1 1 1
无论如何拼接侧面，侧棱长d必与三角形的某一边相等，在侧面BCC B 中，有d＝b或d＝c，
1 1
同理，“d＝a或d＝b”，“d＝a或d＝c”都是真命题，
这说明a、b、c中至少有两个相等，即所用薄板的形状是等腰三角形，故A正确；
不妨设a＝b，那么在3个侧面中：
有2个是边长为a的菱形，且一条对角线长为c；
另1个是邻边长分别为a和c的平行四边形，且一条对角线长为a．
在平行四边形ABB A 中，不妨设∠A AB＜90° （若∠A AB＝90°，则两条对角线长都大于a），
1 1 1 1
第10页（共18页）则AB＝a，
由于CA＝CB＝AA ＝A B，设O为AB的中点，连接OC，OA ，
1 1 1
则AB⊥OC，AB⊥OA ，OC∩OA ＝O，OC、OA 平面CA O，所以AB⊥平面CA O，
1 1 1 1 1
又CA
1
平面CA
1
O，则AB⊥CA
1
，又A
1
B
1
∥AB，所⊂以A
1
B
1
⊥CA
1
，
那么在⊂Rt△CA
1
B
1
中，CB
1
＞CA
1
，所以CA
1
＝C
1
B，
因为，其中O′为A C中点，
1
那么A C＝2OO′，所以CO⊥OA ，则CO⊥平面ABB A ，
1 1 1 1
又CO 底面ABC，则平面ABB A ⊥底面ABC，故D正确；
1 1
所以，⊂
，而2a＞c，那么AC ＞c，
1
因此只可能有A C＝c，解得，故B错误；
1
侧棱与底面所成角的余弦值即为，
则正弦值为，
故正切值为，故C正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知等比数列{a }的前n项和，则{a }的公比为 1 ．
n n
【分析】根据题意，求出数列{a }的前3项，由等比数列的性质求出a的值，进而分析可得答案．
n
【解答】解：根据题意，数列{a }的前n项和，
n
则a ＝S ＝2a+b，a ＝S ﹣S ＝2a+b，
1 1 2 2 1
又由数列{a }为等比数列，而a ＝a ，
n 1 2
故该等比数列的公比为1．
故答案为：1．
13．（5分）若G为△ABC的重心，，则cosA的最小值为 ．
【分析】根据重心的定义和性质，利用基底，和，分别表示，，由向量数量积的运算律可得到，根据
向量数量积定义和余弦定理可化简得到，利用基本不等式可求得结果．
【解答】解：设D，E分别为AC，AB中点，则BD∩CE＝G，
第11页（共18页）因为G为△ABC 的重心，
所以C，
所以，
记，
则，即，
又a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以，
所以（当且仅当b＝c时取等号），
所以cosA的最小值为．
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝sin x（ ＞0），若 x [0， ]， x [ ，2 ]，使得f（x ）+f（x ）＝0，
1 2 1 2
则 的取值范围为 ． ω ω ∀ ∈ π ∃ ∈ π π
【分ω析】由题意若 x
1
[0， ]， x
2
[ ，2 ]，使得f（x
1
）+f（x
2
）＝0，即 t
1
[0， ]，t
2
[ ，
2 ]，使得g（t ）∀+g（∈t ）＝π0，∃分，∈ π ≥π2 ，，，结合函数性质讨论求解即∀可．∈ ωπ ∈ ωπ
1 2
【ω解π答】解：设 t
1
[0， ]，t
2
[ ，ω2π ]，π g（t）＝sint，
若 x
1
[0， ]，∀x 2∈[ ，ω2π]，使∈得ωf（π x
1
）ω+πf（x
2
）＝0，
即∀t 1∈[0，π ]，∃t 2∈[π ，π2 ]，使得g（t
1
）+g（t
2
）＝0，
即∀﹣g∈（t
1
）ω的π值域∈是ωgπ（t
2
）ω值π 域的子集，
①若，即，g（t ），g（t ）均大于0不符合题意；
1 2
②若 ≥2 ，即 ≥2时，g（t ），g（t ）的值域均为[﹣1，1]，符合题意；
1 2
③若，ωπ即，﹣π g（t 1ω）的值域为[﹣1，0]，g（t
2
）
max
＞0，
第12页（共18页）只需g（t ） ＝﹣1，即2 ，解得，
2 min
此时， ωπ
④若，即1，此时﹣g（t ）的值域为[﹣1，﹣sin ]，g（t ）的值域为[﹣1，sin2 ]，
1 2
2 ，，2 ﹣2 ＝2（ ﹣ ），， ﹣ ， ωπ ωπ
由ωyπ＝sinxω在π（0，π）上单ω调π 递π增， ωπ π
结合图象可知sin2 ＞﹣sin ，所以，此时满足题意；
ωπ ωπ
⑤若，即，此时g（t ）的值域为[﹣1，1]，满足题意；
2
⑥若，即，﹣g（t ）的值域为[﹣1，1]，
1
要使g（t ）的值域为[﹣1，1]，则，解得，即，
2
综上所述， 的取值范围为．
故答案为：ω．
四、本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列{a }，{b }满足a ＝0，1+a •a ＝﹣2a ，b ＝a +1．
n n 1 n n+1 n+1 n n
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列{ }的前n项和T ．
n n
【分析】（1）由数∁列的递推式和等差数列的定义，可得证明；
（2）由等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，结合错位相减法求和，计算可得所求和．
【解答】解：（1）证明：由a ＝0，1+a •a ＝﹣2a ，
1 n n+1 n+1
可得a ，
n+1
则a +1，
n+1
可得1，
由b ＝a +1，可得b ＝a +1，
n n n+1 n+1
则1，
可得数列是首项和公差均为1的等差数列；
（2）由（1）可得1+n﹣1＝n，
则n•（）2n+1，
T ＝1•（）3+2•（）5+...+n•（）2n+1，
n
第13页（共18页）T ＝1•（）5+2•（）7+...+n•（）2n+3，
n
上面两式相减可得T ＝（）3+（）5+...+（）2n+1﹣n•（）2n+3n•（）2n+3，
n
化为T •（）n．
n
16．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若，求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值．
【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得AD⊥平面PAB，再利用面面垂直判定定理即可得证；
（2）可建立适当空间直角坐标系，再求出平面BPD与平面CPD的法向量后，利用空间向量夹角公式
计算即可得．
【解答】解：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，故PA⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PA＝A，AB、PA 平面PAB， ⊂
故AD⊥平面PAB，由AD∥BC， ⊂
则BC⊥平面PAB，又BC 平面PBC，
故平面PAB⊥平面PBC；⊂
（2）由PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，故PA⊥AB，
故PA、AD、AB两两垂直， ⊂
故可以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝1，则A（0，0，0）、B（1，0，0）、P（0，0，1）、D（0，2，0）、C（1，1，0），
则、、，
设平面BPD与平面CPD法向量分别为、，
第14页（共18页）则有，，
取x ＝2，x ＝1，则y ＝1，z ＝2，y ＝1，z2＝2，
1 2 1 1 2
即、，
设平面BPD与平面CPD的夹角为 ，
则． θ
即平面BPD与平面CPD夹角的余弦值为．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设AB＝2，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时△ABC的面积．
【分析】（1）结合同角三角函数的平方关系与二倍角公式化简已知等式，可得，再利用两角差的正弦
公式，推出A＝B，得解；
（2）在△ACD中，结合余弦定理与基本不等式，推出∠CAD的最大值为，且此时，再利用余弦定理
与勾股定理证明AB＝AC，进而知△ABC为等边三角形，从而得解．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以，整理得，即，
因为A，B （0， ），
所以，即A∈＝B，π
故△ABC为等腰三角形．
（2）由题意知，AC＝BC＝2CD，
在△ACD中，由余弦定理知，
2，
所以，当且仅当时，等号成立，即∠CAD的最大值为，
此时不妨设AC＝2x，ADx，
由余弦定理知，CD2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠CAD＝4x2+3x2﹣2•2x•x•x2，
所以CD2+AD2＝AC2，即CD⊥AD，
又D为BC的中点，所以AB＝AC，
由（1）知AC＝BC，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以△ABC的面积．
18．（17分）已知函数f（x）＝ln（x+a）+e﹣bx﹣a（a，b R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）是否存在a，b，使得x＝0为f（x）的极值点？若∈存在，求a，b满足的条件，若不存在，请说明
第15页（共18页）理由；
（2）若1＜a＜2，b＝1，x 为f（x）最小的零点，证明：当x （﹣a，0）时，f（x）＜f′（x ）．
0 0
【分析】（1）根据题意，求导得f'（x），结合若x＝0为f（∈x）的极值点，则，再代入计算导函数恒
非负得出函数单调性即可判断；
（2）根据题意，将问题转化为x （﹣a，0）时，，令g（x）＝ex﹣x﹣a再用导数求其极值，结合隐
零点问题的求解方法即可得证． ∈
【解答】解：（1）当a≤0时，x＝0无意义；
当a＞0时，若x＝0为f（x）的极值点，
则，即，
，又，
令，
所以x （﹣a，0），t（x）＜0，t（x）单调递减；
x （0，∈ +∞），t′（x）＞0，t（x）单调递增；
所∈以t（x）≥t（0）＝ae0﹣0﹣a＝0，所以f'（x）≥0恒成立，所以f（x）单调递增，故x＝0不是极值
点，
综上所述，不存在a，b，使得x＝0为f（x）的极值点；
（2）证明：当1＜a＜2时，x （﹣a，+∞），，
要证：x （﹣a，0）时，， ∈
由于f（∈﹣a）→﹣∞，f（1﹣a）＝ea﹣1﹣a＞0 x
0
（﹣a，1﹣a），
， ⇒ ∈
令g（x）＝ex﹣x﹣a，g（﹣a）＝e﹣a＞0，g（0）＝1﹣a＜0，
则存在﹣a＜m＜0，使得f（x）在（﹣a，m）上单调递增，（m，0）上单调递减，且em＝m+a，
故f（x）≤f（m）＝ln（m+a）+e﹣m﹣a，
只要证：
，
记h（x）＝x+e﹣x，
只需证：h（m）＜h（ln（x +a）），
0
由于m＜0，ln（x+a）＜0，
当x＜0时，h'（x）＝1﹣e﹣x＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
于是只需证：m＞ln（x +a） m＞x f（m）＞0，
0 0
由f（m）＞f（1﹣a）＞0，得⇔证． ⇔
第16页（共18页）19．（17分）设n是正整数，有穷整数列A：a
1
，a 2⋯，a
n
（a
i
Z，1≤i≤n）．若存在正整数k（k≤n）
满足：对 1≤i≤n﹣k+1，都有a i +a i+1 +⋯+a i+k﹣1 ＞0恒成立，∈则称A为P（k）数列，数列A的所有项
之和记为∀S（A）．
（1）判断A：1，﹣1，3，﹣2，1是否为P（3）数列？是否为P（4）数列？请说明理由；
（2）若n＝9，A是P（2）数列，且a +a ＝5，求S（A）的最小值；
1 9
（3）若n＝11，A是P（3）数列，且a ＝1，若将A各项重新排列后能构成等差数列，求S（A）的最
1
小值．
【分析】（1）由n＝5，当k＝3时，得到1≤i≤3，验证a+a +a 的取值情况，可判断A是否为P
i i+1 i+2
（3）数列；当k＝4时，得到1≤i≤2，再验证a+a +a +a 的取值情况，可判断A是否为P（4）数
i i+1 i+2 i+3
列；
（2）根据n＝9，A是P（2）数列，得出1≤i≤8，恒有a+a ≥1，结合a +a ＝5可得a +a +...+a 的
i i+1 1 9 2 3 8
范围，进而得S（A）≥7，再构造和为7的满足条件的数列可得；
（3）根据n＝11，A为P（3）数列，得出对 1≤i≤9，都有a+a +a ＞0恒成立，利用该性质重组
i i+1 i+2
数列求和，可构造不等式S（A）≥4+a k ∀N，再假设重新排列后的等差数列为b ，b ，b ，…，
3k+2 1 2 3
b ，利用a +a +a +a 大于等于最小的连续4∈项和，得到不等式20m≥8﹣7d，进而利用a ＝1在重排
11 2 5 8 11 1
数列中的可能位置分析求解S（A）最小值可得．
【解答】解：（1）①判断A是否为P（3）数列：
当k＝3时，n﹣k+1＝5﹣3+1＝3，所以1≤i≤3；
当i＝2时，a+a +a ＝（﹣1）+3+（﹣2）＝0；
3 4
不满足对 1≤i≤n﹣k+1，都有a i +a i+1 +...+a i+k﹣1 ＞0恒成立，
所以A不∀是为P（3）数列；
②判断A是否为P（4）数列：
当 k＝4时，n﹣k+1＝5﹣4+1＝2，所以1≤i≤2，
根据P（k）数列的定义，需要判断 i＝1，i＝2时a+a +a +a 的取值情况．
i i+1 i+2 i+3
i＝1时，a +a+a +a ＝1+（﹣1）+3+（﹣2）＝1＞0；
1 3 4
i＝2时，a +a +a +a ＝（﹣1）+3+（﹣2）+1＝1＞0；
2 3 4 5
满足对 1≤i≤n﹣k+1，都有a i +a i+1 +...+a i+k﹣1 ＞0恒成立，
所以A∀为P（4）数列；
（2）因为n＝9，A为P（2）数列，所以对 1≤i≤8，都有a+a ＞0恒成立，
i i+1
又因为数列A为有穷整数列，所以a
i
+a
i+1
≥∀1；
则（a +a ）+（a +a ）+...+（a +a ）+（a +a ）≥8，
1 2 2 3 7 8 8 9
第17页（共18页）且由a +a ＝5可得a +2（a +a +...+a ）+a ＝5+2（a +a +...+a ）≥8，
1 9 1 2 3 5 9 2 3 8
解得，又各项为整数，则a +a +...+a ≥2，
2 3 8
所以S（A）＝a +a +...+a ＝（a +a ）+（a +a +...+a ）≥5+2＝7；
1 2 9 1 9 2 3 8
为使S（A）最小，令a ＝3，a ＝2，
1 9
构造数列 A：3，﹣1，2，﹣1，2，﹣1，2，﹣1，2．
由3+（﹣2）＝（﹣1）+2＝2+（﹣1）＝1＞0，可知满足 P（2）数列条件，此时 S（A）＝3+4×1＝
7，
所以S（A）的最小值为7；
（3）因为n＝11，所以数列A共11项．
设重排后所得等差数列的公差为d（不妨设d≥0），中间项为m（m Z），
设该等差数列b
1
，b
2
，b
3
，…，b
11
：m﹣5d，m﹣4d，…，m﹣d，m，∈m+d，..，m+4d，m+5d，
则S（A）＝11m（m Z）．
由A为P（3）数列，∈即 k＝3，则 n﹣k+1＝9，
所以对 1≤i≤9，都有a+a +a ＞0恒成立，
i i+1 i+2
又各项∀均为整数，则a
i
+a
i+1
+a
i+2
≥1，又a
1
＝1，
所以S（A）＝a +a +（a +a +a ）+（a +a +a ）+（a +a +a ）≥4+a ；
1 2 3 4 5 5 7 8 9 10 11 2
且S（A）＝a +（a +a +a ）+a +（a +a +a ）+（a +a +a ）≥4+a ；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5
同理可得S（A）≥4+a ；S（A）≥4+a ；
3 11
四式相加可得，4S（A）≥16+a +a +a +a ≥16+（b+b+b +ba）＝16+（m﹣5d）+（m﹣4d）+（m﹣
2 5 8 11 3
3d）+（m﹣2d）＝16+4m﹣14d，
则有44m≥16+4m﹣14d，化简得20m≥8﹣7d．
假设S（A）＝11m≤0，则m≤0，且b ≤b ≤...≤b ＝m≤b ≤...≤b ≤b ，
1 2 3 7 10 11
则由a ＝1＞0，可知b＝1＞m，j≥7，则d＝b ﹣b ≤b﹣b ＝1﹣m，则20m≥8﹣7d≥8﹣7（1﹣m）
1 j 7 6 j 6
＝1+7m，
故13m≥1，这与m≤0矛盾；
故S（A）＞0，又S（A）＝11m（m Z），则S（A）≥11．
显然，当d＝0时，数列A：1，1，1∈，…，1，满足题意，且S（A）＝11．
故S（A）的最小值为11．
综上所述：S（A）的最小值为11．
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