文档内容
2025-2026 学年江苏省南京市、盐城市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，
请在答题纸的指定位置填涂答案选项。
1．（5分）已知集合A＝（﹣1，4]，B＝{x Z||x|≤3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3}∈ C．{0，1，2} D．（﹣1，3]
2．（5分）若复数z满足z•（1+i）＝5i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知随机变量X服从正态分布 ， ，且P（X＜1）＝0.3，则P（X＜2）＝（ ）
3 2
A．0.2 B．0.3 ( 2 C．) 0.4 D．0.7
4．（5分）已知直线y＝x﹣2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）相切，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3
5．（5分
2
）设x R，则“tanx＝1”是“cos2x＝0”的（ ）
A．充分不必∈要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知数列{an}满足a1 ＝1，a2 ＝2， ，记bn ＝log2 （anan+1 ），Sn 为数列{bn}
2
的前n项和，则S8 ＝（ ） +1 = ⋅ −1 ( ≥ 2)
A．63 B．127 C．255 D．256
7．（5分）在△ABC中， ，则tanA＝（ ）
→ → → →
3 2 2
⋅ = =
4
A． B． C．1 D．
3
8．（5分2）−已3知函数f（x）＝x
3
+ex，g（x）＝x+lnx，若f（x1 ）＝g（x2 ）＝t（3 t＞0），则x1+x2 ﹣lnt的取值
范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．[1，+∞） D．[e，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b＞0，c＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A． ＜ B． ＞
1 1 +
第1页（ 共+1 8页） C．ca＞cb D．
1 1
（多选）10．（6分）“水韵江苏•家门口享非遗”展示( 活+动
中)⋅，(
主+办 方)≥从4全省遴选70余项极具地方特色的
非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板
块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件A1 ＝“甲
体验指尖非遗”，A2 ＝“甲体验潮玩非遗”，A3 ＝“乙体验舌尖非遗”，则（ ）
A．A1 与A2 对立 B．
1
( 1)=
C．A1 与A3 相互独立 D． 3
5
( 3| 1)=
（多选）11．（6分）在直角△ABC 中，已知 ， ，1 D 2为斜边AB的中点，将△ACD 沿着CD
= 3 =
所在直线翻折，得到△PCD，记三棱锥P﹣BCD体积为V，6 则在翻折过程中（ ）
A．V的最大值为
9 3
B．存在某个位置，使得CP⊥BD
8
C．当V取最大值时，直线PC与平面BCD所成的角最大
D．当V取最大值时，三棱锥P﹣BCD外接球的半径为
13
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上。
2
12．（5分）若定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足f（x3）＝3f（x），请写出满足条件的一个函数f（x）
＝ ．
13．（5分）已知直线l：x+y﹣4＝0与圆C：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B两点，与y轴交于点P，H为AB
的中点，则PH的长为 ．
14．（5分）已知 ＞0，曲线y＝sin x与 相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，
ω ω = ( − )
则 ＝ ． 3
四、解ω答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内。
15．（13分）设等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知a4 ＝4，S6 ＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记 ，求数列{bn}的前2n项和T2n ．
2
16．（15分 ） 如=图(−，1在)四⋅ 棱 锥P﹣ABCD中，侧面PCD 是等边三角形，AB∥CD，且BC＝CD＝AD＝2，
AB＝4， ．
= 10
第2页（共18页）（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
=
（1）若 ，求A； 1+
2
=
（2）若△AB 3 C外接圆半径为1，当△ABC的面积取最大值时，求 ．
2
18．（17分）已知椭圆E： 1（a＞b＞0）的离心率为 ，且 过点 ， ．
2 2
3 1
（1）求椭圆E的标准方
程2 +；
2 =
2
( 3
2
)
（2）若 ， ， ， ，M，N为椭圆E上两点（均在x轴上方），且AN∥BM．
3 3
(− 0) ( 0)
①已知直线A 2 N的斜率为2 ，求直线MN的斜率；
2
②求四边形ABMN面积的
3
最大值．
19．（17分）设函数f（x）＝ex（sinx+cosx），其导函数记为g（x）．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）当 ， 时，求证： ；
3 3
∈[ ] ( )+ ( )( − )≥0
（3）设 xn 是2 f（x 4）＝1 在区间 ， 4 内的根，其中 n N，求证： ＜
3 3
(2 + 2 + ) ∈ 2 + − −
． 2 4 4
1 −2
( 0+1)
2
第3页（共18页）2025-2026 学年江苏省南京市、盐城市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D A C B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD BD BCD
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，
请在答题纸的指定位置填涂答案选项。
1．（5分）已知集合A＝（﹣1，4]，B＝{x Z||x|≤3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3}∈ C．{0，1，2} D．（﹣1，3]
【分析】由B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：集合A＝（﹣1，4]，B＝{x Z||x|≤3}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
所以A∩B＝{0，1，2，3}． ∈
故选：B．
2．（5分）若复数z满足z•（1+i）＝5i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出 ，根据复数的几何意义即可求出答案．
5 5
= +
【解答】解：由z•2（1 2 +i）＝5i，得z ，
5 5 (1− ) 5 +5 5 5
= = = = +
1+ (1+ )(1− ) 2 2 2
所以复数z在复平面内对应的点为 ， ，
5 5
所以z在复平面内所对应的点位于第( 2一象2限) ．
故选：A．
3．（5分）已知随机变量X服从正态分布 ， ，且P（X＜1）＝0.3，则P（X＜2）＝（ ）
3 2
A．0.2 B．0.3 ( 2 C．) 0.4 D．0.7
第4页（共18页）【分析】利用正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：由题可得：对称轴为 ，P（X＞2）＝P（X＜1）＝0.3，
3
所以P（X＜2）＝1﹣P（X＞2）＝ 1﹣= 02.3＝0.7．
故选：D．
4．（5分）已知直线y＝x﹣2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）相切，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3
【分
2
析】联立直线与抛物线方程，利用Δ＝0，列出方程，求得p＝4，结合抛物线的性质，即可求解．
【解答】解：联立 ，整理得x2﹣2px+4p＝0，
= −2
2
因为直线与抛物线相切，
=2
所以Δ＝（﹣2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4或p＝0，
因为p＞0，所以p＝4，
所以抛物线的焦点到准线的距离为4．
故选：D．
5．（5分）设x R，则“tanx＝1”是“cos2x＝0”的（ ）
A．充分不必∈要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合二倍角公式即可得解．
【解答】解：若tanx＝1，则 ，所以sin2x＝cos2x，
所以cos2x＝cos2x﹣sin2x＝co s 2 x ﹣= cos 12x ⇒＝0 ， 充=分 性 成 立；
若cos2x＝0，则cos2x﹣sin2x＝0，即cosx＝±sinx，
当cosx＝sinx，得tanx＝1；当cosx＝﹣sinx，得tanx＝﹣1，
所以cos2x＝0推不出tanx＝1，必要性不成立，
所以“tanx＝1”是“cos2x＝0”的充分不必要条件．
故选：A．
6．（5分）已知数列{an}满足a1 ＝1，a2 ＝2， ，记bn ＝log2 （anan+1 ），Sn 为数列{bn}
2
的前n项和，则S8 ＝（ ） +1 = ⋅ −1 ( ≥ 2)
第5页（共18页）A．63 B．127 C．255 D．256
【分析】由题意可得数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可
求解．
【解答】解：因为 ，所以 ，
2 2 2
又因为a1 ，a2 ＞0， 所 +以1 =a
n
＞ ⋅0 ， −1 +1⋅ = ⋅ −1
将 的两边同时取以 2 为底的对数得：
2 2 2 2
+1⋅ = ，⋅ −1 2( +1⋅ )= 2( ⋅ −1 )=
2即 b n 2＝( 2 b⋅ n﹣ 1 （−1 n)≥2），
又因为b1 ＝log2 （a1a2 ）＝log22＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ．
8
1×(1−2 ) 8
故选： 8 C =． 1−2 =2 −1=255
7．（5分）在△ABC中， ，则tanA＝（ ）
→ → → →
3 2 2
⋅ = =
4
A． B． C．1 D．
3
2− 3 3
【分析】设角A，B，C对边分3别为a，b，c，根据题意，得到 ，且 ，再由
→ → → →
3 3 2
= ⋅ = ⋅ =
，求得 ，得到 ，即可求解． 2 2
→
3 2 3
4
【 解 答】解： 设 角=A， 2B，C对 边=分
6
别为a，b，c，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
→ → → →
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
= | | = | | = =
又因为4 ，4且 4 2 ，
→ → → → → → →
3 2 3 2
⋅ = ⋅ =| || | = =
4 2
所以 ，即 ，
3 2 3 2 3
= =
因为A2 （0， ），4所以 ，所以2 ．
3
故选：∈B． π =
6
=
6
=
3
8．（5分）已知函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若f（x1 ）＝g（x2 ）＝t（t＞0），则x1+x2 ﹣lnt的取值
范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．[1，+∞） D．[e，+∞）
【分析】分析（f x），g（x）的单调性，确定x1 和x2 都是唯一的，化简g（x2 ）＝x2+lnx2 ＝t，得
− 2
，得x1+x2 ＝t，构造函数h（t）＝t﹣lnt，求导后即可求解． = +( −
2)= ( − 2) 第6页（共18页）【解答】解：由题f′（x）＝1+ex＞0，因此f（x）在R上单调递增，
由g（x）＝x+lnx，得x＞0，且 ＞，因此g（x）在（0，+∞）上单调递增，
1
因此，对任意t＞0，x1 和x2 都是′ 唯( 一)=的1，+ 0
由题意： ，
1
g（x2 ）＝ x( 2 + 1 l)nx= 2 ＝ 1 t，+即 ln=x2 ＝t﹣x2 ，则 ，
− 2
因此 ， 2 =
− 2
因此 = 2+( − 2)= +( −， 2根) 据 的x1 是唯一的，
− 2 1
得t﹣ x= 2 ＝ x1 ，+即( x1 −+x 2 2＝)t=， ( − 2) ( 1)= 1+ =
因此x1+x2 ﹣lnt＝t﹣lnt，t＞0，
令h（t）＝t﹣lnt，t＞0，则 ，
1 −1
由h′（t）＝0得t＝1， ′ℎ( )=1− =
当0＜t＜1时，h'（t）＜0，h（t）在（0，1）上单调递减；
当t＞1时，h'（t）＞0，h（t）在（1，+∞）上单调递增；
因此当t＝1时，h（t）取得最小值：h（1）＝1﹣ln1＝1，
因此h（t）≥1，即：x1+x2 ﹣lnt的取值范围为[1，+∞）．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b＞0，c＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A． ＜ B． ＞
1 1 +
C．c a＞c b D． +
1 1
【分析】利用作差法来比较大小可判断AB，利用指( 数+函
)数⋅单(
调+性 )可≥判4断C，利用基本不等式可判断D．
【解答】解：因为a＞b＞0，所以 ＜，即 ＜ ，故A正确；
1 1 − 1 1
− = 0
因为a＞b＞0，c＞0，所以 ＞，
+ + − − ( − )
− = = 0
即 ＞ ，故B正确； + ( + ) ( + )
+
当 1+ ＞ c＞ 0，ca＞cb不成立，故C错误；
因为a＞0，c＞0，所以 ，
1 1 1 1
( + )⋅( + )=2+ + ≥2+2 ⋅ =4
第7页（共18页）当且仅当ac＝1时取等号，即 ，故D正确．
1 1
故选：ABD． ( + )⋅( + )≥ 4
（多选）10．（6分）“水韵江苏•家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的
非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板
块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件A1 ＝“甲
体验指尖非遗”，A2 ＝“甲体验潮玩非遗”，A3 ＝“乙体验舌尖非遗”，则（ ）
A．A1 与A2 对立 B．
1
( 1)=
C．A1 与A3 相互独立 D． 3
5
【分析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择 一( 个 3|主 1 题)=体1验2且每个主题都恰有1人体验，则必有1
名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件A1 ，
A2 ，A3 ，A1 ∩A3 包含的样本点数，依次判断选项即可．
【解答】解：3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，
则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，
∴总的样本点总数为： ，
2 2 2
甲、乙、丙3名游客每人 3至 4少×从 2中=选3择6 一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，
记事件A1 ＝“甲体验指尖非遗”，A2 ＝“甲体验潮玩非遗”，A3 ＝“乙体验舌尖非遗”，
对于A，甲可能同时体验两个主题，∴事件A1 与A2 不对立，故A错误；
对于B，事件A1 ＝“甲体验指尖非遗”，分两种情况：
当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，
∴样本点数为： ，
1 2
当甲选两个主题， 2其×中 3一=个6是“指尖非遗”时，
则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，
∴样本点数为： ，
1 2
∴事件A1 包含的 样3×本 点2数=为6 12，
∴ ，故B正确；
12 1
( 1)= =
同理， 36 3，
1 1
对于C， (事 2 件)= A13∩A
3
(表 3 示)=甲3选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论：
当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，
第8页（共18页）此时的样本点数为： ，
1
当甲只选“指尖非遗 ”，2 =乙2选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，
此时的样本点数为： ，
1
当甲只选“指尖非遗 ”，2 =乙2只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，
此时样本点数为：1，
∴事件A1 ∩A3 包含的样本点数为：2+2+1＝5，
∴ ，
5
( 1∩ 3)=
∵ 36 ，
1 1 1 5
∴ A1 ( 与 1) A 3 ( 不 3 独)=立3，×故3 = C错9 ≠误 ；( 1∩ 3)= 36
对于D， ，故D正确．
5
( 1∩ 3) 36 5
( 3| 1)= = 1 =
( 1) 12
故选：BD． 3
（多选）11．（6分）在直角△ABC 中，已知 ， ，D为斜边AB的中点，将△ACD 沿着CD
= 3 =
所在直线翻折，得到△PCD，记三棱锥P﹣BCD体积为V，6 则在翻折过程中（ ）
A．V的最大值为
9 3
B．存在某个位置，使得CP⊥BD
8
C．当V取最大值时，直线PC与平面BCD所成的角最大
D．当V取最大值时，三棱锥P﹣BCD外接球的半径为
13
【分析】利用棱锥的体积公式结合翻折的性质确定面PCD垂直于底面BCD时V取得最值可确定A；以
2
， ， 为基底，利用空间向量的数量积公式计算可判定B；利用线面角的定义可判定C；建立空
→ → →
间 直角 坐标 系 ，利用空间两点距离公式计算可判定D．
【解答】解：在直角△ABC中，因为 ， ，AB为斜边，所以 ，CB＝3，
= 3 = =2 3
△ACD为正三角形，取CD的中点E，易知AE⊥EC，6 EP⊥EC，点P绕点E旋转，
对于A，易知当面PCD垂直于底面BCD时，此时P到底面BCD的距离最远为 ，
3
=
2
则 取得最大值，故A错误；
1 1 3 1 2 3 3
= ⋅ △ = × × ×( 3) × 120°=
对于B，以3 ， ， 为3空2间中2的一组基底， 8 ， ，
→ → → → → →
3 3
| |= | |= | |=
2 2
第9页（共18页）设∠AEP＝ ，有 ， ，
→ → → → → → → → →
α = − = = + = +
若CP⊥BD，则 ，
→ → → → → → →
2 9 3
− )⋅( + )= ⋅ − = − =0
此时 ，显然存在某个位置，使得CP⊥BD，故B 4正确； 4
1
对于 C ， 设= P3在底面BCD的投影为G，则直线PC与平面BCD所成的角为∠PCG，
易知G在AE上，PG≤PE，所以 ，
由正弦函数的单调性可知当G，E 重 合∠ 时 ∠= PC G 取≤得 最大值60°，
即此时V取得最大值，故C正确；
对于D，结合A知，V取最大值时PE⊥底面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，
3 3 3 3
设三棱 (锥0 P﹣
2
BC0D)外 接(0球的−半
2
径为0r)，球 (心0 O0（x，
2
)y， z）(，−
2
− 3 0)
2 2 3 2 2
=( −0) +( − ) +( −0) =0
则 2 ，解之得 1 ，即 ，故D正确．
2 2 3 2 2 =
=( −0) +( + ) +( −0) 2 13
2
3 =
2 2 2 3 2 =− 2
=( −0) +( −0) +( − ) 2
2 2 13
2 3 2 2 2 =
故选 ：=BC(D ．+ ) +( + 3) +( −0) 4
2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上。
12．（5分）若定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足f（x3）＝3f（x），请写出满足条件的一个函数f（x）
＝ （可以是f（x）＝logax，其中a （0，1）） ．
( )= 1 ∈
2 第10页（共18页）【分析】利用定义在（0，+∞）上的减函数，可得递减的对数函数满足题意．
【解答】解：由题意定义在（0，+∞）上的减函数f（x）满足f（x3）＝3f（x），
可令 ，
( )= 1
因为 2 ，满足题意，
3 3
( )= 1 =3 1 =3 ( )
故答案为： 2 （可2 以是f（x）＝logax，其中a （0，1））．
( )= 1 ∈
13．（5分）已知直线l：x2+y﹣4＝0与圆C：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B两点，与y轴交于点P，H为AB
的中点，则PH的长为 ．
7 2
【分析】由圆与直线相交可求解A，B，再由中点坐标公式求解H，令x＝0，求解P，再由两点间的距
2
离公式求解PH即可．
【解答】解：由题意直线l：x+y﹣4＝0与圆C：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B两点，
将直线与圆联立可得 ，2x2﹣14x+21＝0，解得 ，
+ −4=0 7± 7
2 2 =
所以 ， (， −3) + ，=4 ， 2
7+ 7 1− 7 7− 7 1+ 7
( ) ( )
则中点H 2横坐标为2 2 2 ，
7+ 7 7− 7 1 7
( + )× =
纵坐标为 2 2 ，所2以 2 ， ，
1− 7 1+ 7 1 1 7 1
当x＝0时(，y2 ＝4+，所
2
以)P×（ 20，=42 ）， (
2 2
)
所以 ．
7 2 1 2 7 2
= ( −0) +( −4) =
2 2 2
故答案为： ．
7 2
14．（5分）已知2＞0，曲线y＝sin x与 相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，
ω ω = ( − )
则 ＝ ． 3
【分ω析】利π 用三角恒等变换化简函数，并得到三个交点的坐标，结合直角三角形条件列出方程求解即可．
【解答】解：设三个交点分别为A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），C（x3 ，y3 ）．
因为 ，
3 1
= ( − )= −
3 2 2
整理得 ，即sin（ x ）＝0，
3 3
− = 0 ω −
令 2 2 ，解得 6 ，
− = ( ∈ ) = − ( ∈ )
令6 k＝﹣1，0，1，得到 6 ， ， ，
(−1) 7 5
1 = − = 2 = 3 = − =−
6 第61 1页（共186页 ） 6 6 代入y＝sin x中得到， ，
7 7 1
ω 1 = ( ⋅ )= =−
， 6 6 ，2
1 5 1
2 = ( ⋅ )= = 3 = (− )=−
因此三个交点6为 ，6 2 ， ， ，6 2 ， ．
7 1 1 5 1
( − ) ( ) (− − )
由勾股定理可得AB 62 +BC2＝2 AC2，代6 入得2 6 2 ，
2 2 2 2
( ) +1+( ) +1= ( )
化简 ，解得 ＝ （ ＞0）．
2 2
2 4
故答案2为+：2．= 2 ω π ω
四、解答题：本π大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内。
15．（13分）设等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知a4 ＝4，S6 ＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记 ，求数列{bn}的前2n项和T2n ．
2
【分析】 （ 1=）(设−出1)等差⋅ 数 列的首项与公差，根据已知条件列方程组求解即可得通项公式；
（2）首先写出数列{bn}的通项公式，得到T2n 的表达式，分组求和即可．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1 ＝2，公差为d，
由a4 ＝4，S6 ＝15得 ，解得 ，
1+3 =4
1 =−5
6×5
6 1+ =15 =3
∴an ＝a1+（n﹣1）d＝﹣5+3（2 n﹣1）＝3n﹣8，
即数列{an}的通项公式为an ＝3n﹣8．
（2）由（1）知an ＝3n﹣8，∴ ，
2 2
∵ =(−1) ⋅ =(−1)，⋅(3 −8)
2 2
∴ 数2 列−1 {b+ n} 的2 前=−2n(6项 和−T1 2 1 n )＝+（(b6 1 +b− 2 ）8)+（=b3 3+(1b4 2） +− ⋯ 19+)（b2n﹣1+b2n ）
＝3×（﹣7）+3×5+ +3（12n﹣19）
⋯
＝3×[（﹣7）+5+ +（12n﹣19）]
⋯
．
(−7+12 −19) 2
16．=（3 15 ×分）如图2，在四棱=锥18 P﹣− A 3 B 9 C D中，侧面PCD 是等边三角形，AB∥CD，且BC＝CD＝AD＝2，
AB＝4， ．
（1）求证 ：=平面10PCD⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值．
第12页（共18页）【分析】（1）分别取AB，CD的中点F，E，连接EF，PE，BE，根据等腰梯形的性质得EF⊥CD，根
据等边三角形的性质得PE⊥CD，根据勾股定理得PE⊥BE，进而可证PE⊥平面ABCD，从而可证平面
PCD⊥平面ABCD；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PBC的法向量，进而可求所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取AB，CD的中点F，E，连接EF，PE，BE，如图所示：
AB∥CD，BC＝CD＝AD＝2，AB＝4，故四边形ABCD为等腰梯形，
故EF⊥CD， ，
2 − 2
根据勾股定理 可 得= −( 2 ) = 4−1= ，3
2 2
= + = 3+4 = 7
由题易知PE⊥CD， ，
3
故可以得到BE2+PE2 ＝ P = B22，×则 2PE =⊥B 3 E，
又CD，BE 面ABCD，CD∩BE＝E，故PE⊥面ABCD，
又因为PE ⊂面PCD，故可以证得面PCD⊥面ABCD；
⊂
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：
，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，
(0 0 3) (0 −1 0) (0 1 0) ( 3 −2 0) ( 3 2 0)
，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，
→ → → →
=(0 1 3) =(− 3 2 3) =(0 −1 3) =(− 3 −2 3)
设平面PAD的法向量为 ，， ，
→
=( )
则 ， ，
→ →
→ ⋅ → =0 + 3 =0
− 3 +2 + 3 =0
⋅ =0
第13页（共18页）取z＝1，则 ， ， ，
→
=(−1 − 3 1)
同理可得平面PBC的一个为 ， ， ．
→
=(−1 3 1)
所以平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为 ，
→ →
⋅ |1−3+1| 1
| → → |= =
所以平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为 | || | 5× ．5 5
1 2 2 6
1−( ) =
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为5 a，b，5 c，已知 ．
=
（1）若 ，求A； 1+
2
=
（2）若△AB 3 C外接圆半径为1，当△ABC的面积取最大值时，求 ．
【分析】（1）由切化弦得到sinA＝cos（A+B），再结合A+B＝ ﹣C
，2 即可求解；
（2）由（1）sinA＝cos（A+B），得到 ， ，π 结合正弦定理与已得的角关系，可将面
= + = −2
2 2
积公式化为 ，得到 时面积最大，进而可求解．
1
△ = 4 =
【解答】解：（1）因2为 ，8
=
得 ， 1+
即 s in A（= 11++si n B ） ＝cosAcosB，
即sinA＝cosAcosB﹣sinAsinB＝cos（A+B），
又 ， ， ＜ ＜ ，
2
= + = − = 0
所以 3 ， 3 3
1
= =
故 ； 3 2
=
（2）由6（1）sinA＝cos（A+B），A+B＝ ﹣C，
得sinA＝﹣cosC，又A，C （0， ）， π
∈ π
所以cosC＜0， ＜ ＜ ，故 ＜ ＜ ，
0
又根据诱导公式2有 2，可得 ，
( + )=− = ( + )
所以 ，故 2 ， ， ， 2
= + = − − = −2 ∈ (0 )
因为△ABC外2接圆半径为1， 2 4
由正弦定理可得：a＝2sinA，b＝2sinB，c＝2sinC，
第14页（共18页）所以
1
△ = =2
2 ，
1
=2 ( −2 ) = 2 2 = 4
故当4A ，2即 时，△ABC的面积取最2 大值 ，
1
= =
此时B 2 2 8， 2
= − × =
2 8 4
可得
2
1．
2 2×2 2
2 = 2 = 1− 2 = 2 = 2 +
4 4× 2 2(1−2)
18．（17分）已知椭圆E： 1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点 ， ．
2 2
3 1
（1）求椭圆E的标准方
程2 +；
2 =
2
( 3
2
)
（2）若 ， ， ， ，M，N为椭圆E上两点（均在x轴上方），且AN∥BM．
3 3
(− 0) ( 0)
①已知直线A 2 N的斜率为2 ，求直线MN的斜率；
2
②求四边形ABMN面积的
3
最大值．
【分析】（1）由离心率和椭圆上的点坐标建立方程组，解得a2，b2，然后写出椭圆方程；
（2）①延长NA交椭圆E于点M′，延长MB交椭圆E于点N′，由对称性可知MNM′N′为平行四
边形，N，N′关于原点对称，设M（x1 ，y1 ），N（x2 ，y2 ），则N′（﹣x2 ，﹣y2 ），
2− 1 − 2− 1
′ = ⋅ =
2− 1 − 2− 1
，然后利用点差法求得 ，进而利用MN′∥AN得 ，即可求解；
2 2
2− 1 1 2
2 2 ′ =− ′ =
② 2−由 1平行四边形性质可知S 四边形ABMN ＝2S △ 4 OM′N ，设M′N的方程为 3 ，N（x2 ，y2 ），M′（x3 ，
3
= −
2
y3 ），与椭圆方程联立，韦达定理，求出|M′N|及点O到直线M′N的距离，从而得 ，
2
3 4 +7
最后利用换元法及二次函数性质求得S △OM′N 有最大值，即可得解． △ ′ = 2 ⋅ 2 +4
【解答】解：（1）由题意可知 2 ，解得 ，
3
= = 1− 2 = 2
2 =4
2 1 2 2
( 3) (2) =1
2 + 2 =1
所以椭圆E的标准方程 ．
2
2
（2）①延长NA交椭圆E+于 点=M′1 ，延长MB交椭圆E于点N′，
4
第15页（共18页）由对称性可知AM′＝BM，AN＝BN′，所以四边形MNM′N′为平行四边形，
因为A，B关于原点对称，所以N，N′关于原点对称，
设M（x1 ，y1 ），N（x2 ，y2 ），则N′（﹣x2 ，﹣y2 ），
所以 ，
2 2
2− 1 − 2− 1 2− 1
′ = ⋅ = 2 2
2− 1 − 2− 1 2− 1
又M，N为椭圆E上两点，可得 ， ，
2 2
1 2 2 2
+ 1 = 1 + 2 = 1
所以 ，化简4得 4，故 ，
2 2 2 2
2− 1 2 2 2− 1 1 1
+ 2 − 1 = 0 2 2 =− ′ =−
又因为4MN′∥AN，所以 2− 1，故 4 ； 4
2 3
②由①可知，在平行四边 形 ′ M = N M ′= N′3 中， A M ′=−＝8BM，
从而 ，
四边形 四边形
1
= ′ ′ =2 △ ′
因为构成四边形AB 2 MN，所以M′N的斜率必不为0，设M′N的方程为 ，
3
= −
2
N（x2 ，y2 ），M′（x3 ，y3 ），由
3
得 ，
= − 2 2 2 7
2 ( +4) −3 − =0
2 4
+ =1
Δ＝9m2+7（m2+4）＝16m2+28＞04， ， ，
7
3 −4
2+ 3 = 2 2 3 = 2
因为 +4 +4 ，
2
2 2 2 2 4 +7
| ′ |= +1| 2− 3|= +1 ( 2+ 3) −4 3 2 =2 +1⋅ 2
点O到直线M′N的距离为 ， +4
3
2
所以 2 +1 ，
2 2
1 2 4 +7 3 3 4 +7
令t＝ △ m 2 + ′ 4 （ = t≥ 2 4 ⋅ ） 2 ， 则 +1⋅ 2 +4 ⋅ 2 2 +1 = 2 ⋅ 2 +，4
3 4 −9 3 9 4
△ ′ = ⋅ 2 = ⋅ − 2+
2 2
所以当 ，即 时，S
△OM′N
有最大值为 ，
1 2 2 3 4 8
= =± ⋅ − + = 1
所以四边 形9 ABMN面积的 2 最大值为2（S
△OM′N
）
ma
2
x
＝2． 9 9
19．（17分）设函数f（x）＝ex（sinx+cosx），其导函数记为g（x）．
（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
第16页（共18页）（2）当 ， 时，求证： ；
3 3
∈[ ] ( )+ ( )( − )≥0
（3）设 xn 是2 f（x 4）＝1 在区间 ， 4 内的根，其中 n N，求证： ＜
3 3
(2 + 2 + ) ∈ 2 + − −
． 2 4 4
1 −2
2【 分析(】 （ 1 ） 0 先+求1)出切点坐标，后求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式即可求解；
（2）令 ，求导得其单调性即可证明；
3
（3）令ℎ y ( n ＝) x = n ﹣ ( 2 n )+， 证( 明)( f（4y − n ） )≤1＝f（x0 ），再求导得g′（x）＝2ex（cosx﹣sinx）＜0，利用单调
性即可证明． π
【解答】解：（1）已知函数f（x）＝ex（sinx+cosx），
因此f′（x）＝2excosx，
因为f′（0）＝2，f（0）＝1，
因此f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即y＝2x+1；
（2）证明：令 ，
3
ℎ( )= ( )+ ( )( − )
则 4 ，
3 3
′ℎ( )=′ ( )+′ ( )( − )+ ( )⋅(−1)=2 ( − )⋅( − )
因为 ， ，因此4 cosx﹣sinx＜0，可得h′（x）≤0， 4
3
∈[ ]
故h（x）在2 ，4 上单调递减．
3
[ ]
因此 2 4 ，不等式得证；
3
ℎ( )≥ℎ( )=0
（3）证明：令4 yn ＝xn ﹣2n ，则 ， ，
3
π ∈( )
由（2）得 ＞，2又 4 ＜，
3
( )+ ( )( − ) 0 ( )=2 0
因此 4 ＜ ．
3 3 ( )
由 4 − = 2 + 4 − − ( ) ，
−2 −2
因此 ( f （)y= n ） ≤1＝[f （ x( 0 ） ．−2 )+ ( −2 )]=
因为f′（x）＜0，因此yn ≥x0 ，
由g′（x）＝2ex（cosx﹣sinx）＜0，因此 ，
0
因为 ，因此 ( )≤ ( 0)=2 ， 0
0 0 2
( 0+ 0)=1 ( )≤2 =
因为 ， ，因此tanx0+1＜0，从而 0+ 0 ， 0+1
3 1 0+1
0 ∈( ) ≥
2 4 ( ) 2
第17页（共18页）因此 ，
( ) −2 0+1
− ≤− ⋅
( ) 2
故 ＜ ．
3 −2 0+1
2 + − − ⋅
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