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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
要求的.
1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2=
(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i
2. 设集合A={x|1£ x£5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
3. 抛物线y2 =4x的焦点坐标是
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
4. 为了得到函数y =sin(x+ )的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点
3
(A)向左平行移动 个单位长度 (B) 向右平行移动 个单位长度
3 3
(C) 向上平行移动 个单位长度 (D) 向下平行移动 个单位长度
3 3
5. 设p:实数x，y满足x>1且y >1，q: 实数x，y满足x+ y >2，则p是q的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
6. 已知a函数 f(x)= x3-12x的极小值点，则a=
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基
础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网
(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式
求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一
个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为
第1页 | 共5页(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9
uuur uuur uuur uuur
2
9. 已知正三角形ABC的边长为2 3，平面ABC内的动点P，M满足 AP=1，PM =MC，则 BM 的最
大值是
43 49 37+6 3 37+2 33
(A) (B) (C) (D)
4 4 4 4
ì-lnx,0< x<1,
10. 设直线l ，l 分别是函数f(x)= í 图象上点P ，P 处的切线，l 与l 垂直相交于点P，
1 2 1 2 1 2
îlnx,x>1,
且l ，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
1 2
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．sin7500= .
12.已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 .
第2页 | 共5页侧视图
俯视图
13.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则log b为整数的概率= .
a
14. 已 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， f(x)=4x， 则
5
f(- )+ f(1)= .
2
y -x
15．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P'( , )；当P是
x2 + y2 x2 + y2
原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点A的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A.
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.学.科网
若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，
通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……
[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
第3页 | 共5页0.50
0.42
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.
17、（12分）
1
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC =CD= AD.
2
P
B C
A D
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.
18、（本题满分12分）
cosA cosB sinC
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 + = .
a b c
（I）证明：sinAsinB=sinC；
6
（II）若b2 +c2 -a2 = bc，求tanB.
5
19、（本小题满分12分）
[来源:Z§xx§k.Com]
已知数列{a }的首项为1，S 为数列{a }的前n项和，S =qS +1 ，其中q>0，nÎN* .
n n n n+1 n
第4页 | 共5页（Ⅰ）若a ,a ,a +a 成等差数列，求{a }的通项公式；
2 3 2 3 n
y2
（Ⅱ）设双曲线x2 - =1 的离心率为e ，且e =2 ，求e2 +e 2 +×××+e 2
a2 n 2 1 2 n
.
n
20、（本小题满分13分）
x2 y2 1
已知椭圆E： + =1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P( 3, )在
a2 b2 2
椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
1
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆
2
E交于C，D，证明： MA × MB = MC × MD ．
21、（本小题满分14分）
1 e
设函数 f(x)=ax2 -a-lnx，g(x)= - ，其中qÎR，e=2.718…为自然对数的底数.
x ex
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得 f(x)> g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.
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