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专题22 函数及其性质（2020-2022年真题练）
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（理））函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，
则 ，所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.故选：A.
2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数
是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.故选：A.
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【解析】因为 ，令 可得， ，所以 ，
令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．
因为 ， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
4．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
5．（2021·天津·高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.故选：B.
6．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，若 在 上的最大值为 ，比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，故选：A.
7．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
8．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.故选：D.
9．（2021·全国·高考真题（文））设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得： ，
而 ，故 .故选：C.
10．（2021·全国·高考真题（理））设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
11．（2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.故选：B.
12．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
，所以 ．
思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．故选：D．
13．（2020·山东·高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有
成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【解析】对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 ，总有 .
所以函数 一定是增函数.故选：C
14．（2020·山东·高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题知： ，解得 且 .所以函数定义域为 .故选：B
15．（2020·山东·高考真题）已知函数 是偶函数，当 时， ，则该函数在
上的图像大致是（ ）A． B．
C． D．
【解析】当 时， ，所以 在 上递减，
是偶函数，所以 在 上递增.注意到 ，所以B选项符合.故选：B
16．（2020·天津·高考真题）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对
称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.故选：A.
17．（2020·北京·高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．C． D．
【解析】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .故选：D.
18．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且 时， ，据此可知选项B错误.故选：A.
19．（2020·全国·高考真题（文））设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【解析】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．故选：A．
20．（2020·海南·高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的
x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得： 或 或 ，解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，故选：D.
21．（2020·全国·高考真题（理））设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.故选：D.
二、多选题
22．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.故选：BC.
三、双空题
23．（2022·全国·高考真题（文））若 是奇函数，则 _____， ______．
【解析】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，
在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
24．（2022·浙江·高考真题）已知函数 则 ________；若当 时，
，则 的最大值是_________．
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
25．（2022·北京·高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
________；a的最大值为___________．【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，故 没有最小值，不符合
题目要求；
若 时，当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，解得 ，
综上可得 ；故答案为：0（答案不唯一），1
四、填空题
26．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是_________．
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，故函数的定义域为 ；
27．（2022·上海·高考真题）已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，
设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 ________
【解析】因为 为奇函数，所以 ，且 ，
又 关于直线 对称，所以 ，所以 ，
则 ，所以函数 是以4为周期的周期函数，
作出函数 和 的图像如图所示：
由 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，
则 的几何意义为函数 两条渐近线之间的距离为2，所以 .28．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【解析】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
29．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则
___________.
【解析】 ，故 ，
30．（2021·湖南·高考真题）已知函数 为奇函数， .若 ，则
____________
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
因为 为奇函数，所以 ，由 ，得 ，
因为 ，所以 .
31．（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.【解析】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，故 ，
32．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放
未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评
价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系
如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力
比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企
业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
五、解答题
33．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）函数 的图象如图所示：
（2） ，
当 时， ，可得： ，
当 ， ，可得： ，
所以 的解集为： ，
所以 的取值范围为 .34．（2021·江苏·高考真题）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
( ，且 ).又直线 恒过定点A，且点A在函数
的图像上.
(1) 求实数 的值；
(2) 求 的值；
(3) 求函数 的解析式.
【解析】(1) 由直线 过定点可得： ，由 ，解得 ，
所以直线 过定点 .又因为 时， ，
所以 ，有 ， .
(2) ，因为 为偶函数，所以 ，
所以 .
(3) 由(1)知，当 时， .
当 时， ， ，
又 为偶函数，所以 ，
综上可知， .
35．（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ．（1）画出 和 的图像；（2）若 ，求a的取值范围．
【解析】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2） ，如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
36．（2020·山东·高考真题）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，因为 ，
所以 .
（2）因为 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 .
