文档内容
人教版初中数学八年级下册
17.1.1 勾股定理 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2
【答案】C
【分析】利用勾股定理即可得到结果．
【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
则根据勾股定理得： ．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】根据 ，利用勾股定理可得 ，据此求解即可．
【详解】解：如图示，
∴在 中，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长 ， ， 满足
是解题的关键．
3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，
12．则图中阴影部分的面积是（ ）A．16 B．25 C．144 D．1
【答案】B
【分析】根据勾股定理可进行求解
【详解】解：如图所示：
根据勾股定理得出： ，
，
阴影部分面积是 ，
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于 的平方．
4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．不能确定
【答案】C
【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为 ，
当4为斜边时，第三边的长为 ，
则第三边的长为 或 ，
故选：C
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边
的平方，注意分类讨论．5．如图，在 中， ， ，垂足为D．若 ， ，则 的长为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【分析】先由勾股定理求出 的长，再运用等面积法求得 的长即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．
6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）
A．24 B．20 C．15 D．12
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可知 上的中线 ，同时也是 边上的高线，根据勾股定理求出
的长即可求得．
【详解】解：如图所示，
∵等腰三角形 中， ， 是 上的中线，
， 同时也是 上的高线，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线 是 上的高线．
7．在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
【答案】A
【分析】在 中，已知 与 的长，利用勾股定理求出 的长即可；
【详解】解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
∴ 的长为3；
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．
二、填空题：
8．在 中， ， ， ，则 ____．
【答案】4
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平
方是解答此题的关键．
9．一直角三角形的两直角边长 满足 ，则该直角三角形的斜边长为________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出 的值，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ，
∴该直角三角形的斜边长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出 的值是解题的关键．
10．在 中， ， ．则 的面积为______．
【答案】60
【分析】画出图形，过点 作 于 ，利用等腰三角形的三线合一性质得到 ，再利用
勾股定理求得 即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为：60．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性
质解答的关键．
11．如图，在 中， ．以 、 为边的正方形的面积分别为 、 ．若 ，
，则 的长为______．【答案】3
【分析】根据正方形的面积求得 ， ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵以 、 为边的正方形的面积分别为 、 ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足 ，则该直角三角形的斜边长
的平方为_____．
【答案】25或16##16或25
【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长 、 ，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【详解】解： ，
，解得： ，
，
， ，
解得 ， ，
①当a，b为直角边，
该直角三角形的斜边长的平方为 ，
②4也可能为斜边，
该直角三角形的斜边长的平方为16，
故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的
关键．
13．如图， 为 中斜边 上的一点，且 ，过 作 的垂线，交 于 ，若
， ，则 的长为________ ．
【答案】
【分析】连接 ，根据已知条件，先证明 ，再根据全等三角形的性质，求得 的长度，
进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 为 中斜边 上的一点，且 ，过 作 的垂线，交 于 ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（ ）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接 是解决本题的关键．
14．如图，Rt 中， ，现将 沿 进行翻折，使点A刚好落在 上，
则 _____．
【答案】 ##2.5
【分析】设 ，将 沿 进行翻折，使点A刚好落在 上，则 ．则直角
中根据勾股定理，即可得到一个关于 的方程，即可求得．
【详解】解：设 ，则
在Rt 中， ．则 ．
在Rt 中： ．
即： ．
解得：
【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关
键．
三、解答题：
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt ABD中，AB＝3，BD＝2，
由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.
△
在Rt ACD中，CD＝1，
△
由勾股定理得
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．
解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
在Rt BCD中，
设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.
△
在Rt ACD中，AC2＝AD2＋CD2，
△
即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝ ，即AC的长为 .
17． 、 、 是 的三边，且有 ．若 是直角三角形，求 的值．
【答案】 或
【分析】先根据完全平方公式把原式变形为 ，可得 ， ，再分两种情况讨论，
即可求解．
【详解】解：∵
∴∴
∴
∴ ， ，
解得： ， ，
当 ， 为直角边时， ；
当 为斜边时， ；
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利
用分类讨论思想解答是解题的关键．
18．已知：如图，在 中， ，点 是 中点， 于点 ，求证：
．
【答案】见解析
【分析】在 、 、 中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．
【详解】证明：在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
又∵ 是 中点，
∴ ，
∴
，
即： ．
【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．
能力提升篇
一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC
交AC于点E，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，根据含 角的直角三角形的性质可得 的长，再求出
的长，即可确定 的长．
【详解】解： ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理，可得 ，
解得 或 （舍去），
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理，得 ，
或 （舍去），
，，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
2．如图，在四边形 中， ， ，点 是边 上一点， ， ，
．下列结论：① ；② ；③四边形 的面积是 ；④
；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】利用 可证 ，故①正确；由全等三角形的性质可得出 ，
，求出 ，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据
列式，可得④正确；整理后可得 ，即⑤正确．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，故①正确；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；∵ ， ，
∴梯形 的面积是 ，故③正确；
∵ ，
∴ ，故④正确；
整理得： ，
∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；
正确的结论个数是5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等
知识，解答时证明三角形全等是关键．
3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小
正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：① ；②x﹣y＝
2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③
【答案】C
【分析】由题意知 ，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到 ，由此即可判
断．
【详解】解：由题意知 ，
①﹣②可得2xy＝45记为③，
①+③得到 ，∴ ，
∴ ．
∵x＞y，由②可得x-y=2
由③得2xy+4＝49
∴结论①②③正确，④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个
式子的关系是解题的关键．
二、填空题：
4．如图，点 在边长为5的正方形 内，满足 ，若 ，则图中阴影部分的面积为
______．
【答案】19
【分析】根据勾股定理求出 ，分别求出 和正方形 的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
∴正方形的面积是 ，
∵ 的面积是 ，
∴阴影部分的面积是 ，
故答案为：19．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能
力．
5．如图，在 中， ，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若
， ，则EC的长为______．【答案】
【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质得出 ，再由勾股定理确定 ，设 ，则
，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 的垂直平分线交 于点D，交 的延长线于点E，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
，即 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题
关键．6．如图，已知直角三角形 的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边 的长为______．
【答案】10
【分析】根据阴影部分面积等于以 为直径的半圆面积之和加上 的面积减去以 为直径的半
圆面积进行求解即可 ．
【详解】解；∵直角三角形 的周长为24，
∴ ， ,
∴ ，
∵阴影部分的面积为24，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．
三、解答题：
7．已知：在 中， ， 、 、 所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以
的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作 、 、 ，则有 ，(1)如图2，分别以 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分 、 、 ，请问
与 有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据
（2）中的探索，直接回答 与 有怎样的数量关系；
(3)若 中， ， ，求出图4中阴影部分的面积．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）由扇形的面积公式可知 ， ， ，在Rt△ABC中，由勾股
定理得AC2＋BC2＝AB2，即S＋S＝S；
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（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
（1）
解：① ，
根据勾股定理可知： ，
；
（2）
解：由（1）知，同理根据根据勾股定理： ，从而可得 ；
（3）解：由（2）知 ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
