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第 2 课时 勾股定理的应用
边移动的距离为(12－5)米．
方法总结：本题直接考查勾股定理在实
际生活中的运用，可建立合理的数学模型，
1．熟练运用勾股定理解决实际问题； 将已知条件转化到同一直角三角形中求解．
(重点) 【类型二】 利用勾股定理解 决方位角问
2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短 题
距离问题．(难点) 如图所示，在一次夏令营活动中，
小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方
向走了100km到达B点，然后再沿北偏西
30°方向走了100km到达目的地C点，求出
A、C两点之间的距离．
一、情境导入 解析：根据所走的方向可判断出△ABC
是直角三角形，根据勾股定理可求出解．
如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃
东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在
A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝
二、合作探究 60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－
探究点一：勾股定理的实际应用 ∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在
【类型一】 勾股定理在实际问题中的应 Rt△ABC中，AB＝100km，BC＝100km，
用 ∴AC＝＝＝200(km)，∴A、C两点之间的距
离为200km.
方法总结：先确定△ABC是直角三角形，
再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．
【类型三】 利用勾股定理解决立体图形
如图，在离水面高度为5米的岸 最短距离问题
上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC
的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．
问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子
始终是直的，结果保留根号)?
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，
即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度 如图，长方体的长BE＝15cm，宽
即可求得AB的值，然后解答即可． AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5 且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体
米，则 AB＝＝12 米.6 秒后，B′C＝13－ 的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距
0.5×6＝10米，则AB′＝＝5(米)，则船向岸 离是多少？
第 1 页 共 3 页解：分两种情况比较最短距离： 他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理
列方程解答．
【类型五】 勾股定理与方程思想、数形
结合思想的应用
如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为 如图，在树上距地面10m的D处
AM，AM＝＝5(cm)，如图②所示，蚂蚁爬行 有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一
最短路线为AM，AM＝＝25(cm)．∵5＞25， 筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，
∴第二种短些，此时最短距离为25cm. 然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另
答：需要爬行的最短距离是25cm. 一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到
方法总结：因为长方体的展开图不止一 C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求
种情况，故对长方体相邻的两个面展开时， 树高AB.
考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展 解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足
开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长 AB2＋BC2＝AC2.设BC＝am，AC＝bm，AD＝
方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨 xm，根据两只猴子经过的路程一样可列方
论三种情况：前面和右面展开，前面和上面 程组，从而求出x的值，即可计算树高．
展开，左面和上面展开，从而比较取其最小 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝
值即可． am，AC＝bm，AD＝xm.∵两猴子所经过的路
【类型四】 运用勾股定理解决折叠中的 程都是15m，则10＋a＝x＋b＝15m.∴a＝
有关计算 5，b＝15－x.又∵在Rt△ABC中，由勾股定
如图，四边形ABCD是边长为9 理得(10＋x)2＋a2＝b2，∴(10＋x)2＋52＝(15
的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落 －x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋
在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且 DB＝2＋10＝12(米)．
B′C＝3，则AM的长是( ) 答：树高AB为12米．
方法总结：勾股定理表达式中有三个量，
如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设
未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后
利用勾股定理列方程求解．
探究点二：勾股定理与数轴
A．1.5 B．2 C．2.25 如图所示，数轴上点A所表示的
D．2.5 数为a，则a的值是( )
解析：连接 BM，MB′.设AM＝x，在
Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′
中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝
BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2 A.＋1 B．－＋1
＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B. C.－1 D.
方法总结：解题的关键是设出适当的线 解析：先根据勾股定理求出三角形的斜
段的长度为x，然后用含有x的式子表示其 边长，再根据两点间的距离公式即可求出A
第 2 页 共 3 页点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为
1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是.
那么点A所表示的数为－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理及两
点间的距离公式，解答此题时要注意，确定
点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．
三、板书设计
1．勾股定理的应用
方位角问题；路程最短问题；折叠问题；
数形结合思想．
2．勾股定理与数轴
本节课充分锻炼了学生动手操作能力、
分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能
力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和
知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互
动，使学生真正成为主动学习者．
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