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二模模拟卷02-新题型 数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为两个不同的平面， 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
3．设 是两个单位向量，其夹角为 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：
一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详
推.这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．9岁 C．11岁 D．12岁
5．已知 ，则 （ ）A． B．－1 C． D．
6．设函数 的定义域为R，若存在常数 ，使 对一切实数x均成立，则称 为
“倍约束函数”.现给出下列函数：① ；② ；③ ；④ 是定义在R
上的奇函数，且对一切 ， 均有 ．其中是“倍约束函数”的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项
比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳高比赛”，事件 “乙参加
跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
8．椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点 对两公共焦点 ， 张的角为 .椭圆与双曲线
的离心率分别为 ， ，则
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 为复数，且 为纯虚数，则（ ）
A． B． 的实部为0时，
C． 的最大值为3 D．
试卷第2页，共5页10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在 时刻相对于平衡位置的高度
可以田 确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的最高点与最低点的距离为
B．小球经过 往复运动一次
C． 时小球是自下往上运动
D．当 时，小球到达最低点
11．如图，正三棱柱 中， ，点P在线段 上（不含端点），则（ ）
A．不存在点P，使得
B． 面积的最小值为
C． 的最小值为
D．三棱锥 与三棱锥 的体积之和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知平面向量 与 的夹角 ，且 .若平面向量 满足 ，则 .
13．已知点 ，其中 ，且 ， ，
若四边形 是矩形，则此矩形绕 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ．
14．已知函数 ，若 ，则关于 的不
等式 的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在圆内接 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
（1）求 的大小；
（2）若点 是劣弧 上一点， ，求线段 长.
16．（15分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量其尺寸.
根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 .假设生产状
态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在 之外的零件数.
（1）求 值及 的数学期望 的值；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天
试卷第4页，共5页的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由.
附： .若 ，则 .
17．（15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，PA=AB，
E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.
18．（17分）
已知双曲线 的离心率 ，过点 ， 的直线到原点的距离是 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 交双曲线于不同的点 ，且 都在以 为圆心的圆上，求 的值.
19．（17分）
定义：对于数列 ，如果存在常数 ，使对任意正整数 ，总有 成立，那么我们称
数列 为“ ﹣摆动数列”．
（1）设 ， ， ，判断数列 、 是否为“ ﹣摆动数列”，并说明
理由；
（2）已知“ ﹣摆动数列” 满足： ， ．求常数 的值；（3）设 ， ，且数列 的前 项和为 ．求证：数列 是“ ﹣摆动数列”，
并求出常数 的取值范围．
试卷第6页，共5页
