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第 4 课时 一次函数与实际问题
解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出
产的水果共140千克，进而利用该水果店预
1．根据问题及条件找出能反映出实际 计进货款为1000元，列出等式求出即可；(2)
问题的函数；(重点) 利用两种水果每千克的利润表示出总利润，
2．能利用一次函数图象解决简单的实 再利用一次函数增减性得出最大值即可．
际问题，能够将实际问题转化为一次函数的 解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进
问题．(重点) 乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋
9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝
75(千克)．
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75
千克；
(2)由图表可得甲种水果每千克利润为
一、情境导入 3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润
联通公司手机话费收费有A套餐(月租 为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x
费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月 ＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量不
租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 超过甲种水果的进货量的 3倍，∴140－
套餐每月话费为y(元)，B套餐每月话费为 x≤3x，解得x≥35.∵－1<0，∴W随x的增
1
y(元)，月通话时间为x(分钟)． 大而减小，则x越小W越大．∴当x＝35时，
2
(1)分别表示出y 与x，y 与x的函数关 W ＝－35＋560＝525(元)，140－35＝
1 2 最大
系式； 105(千克)．
(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐 答：当购进甲种水果35千克，购进乙种
收费一样？ 水果105千克时，此时利润最大为525元．
(3)什么情况下A套餐更省钱？ 方法总结：利用一次函数增减性得出函
二、合作探究 数最值是解题关键．
探究点：一次函数与实际问题 【类型二】 利用一次函数解决有关路程
【类型一】 利用一次函数解决最值问题 问题
广安某水果店计划购进甲、乙两
种新出产的水果共140千克，这两种水果的
进价、售价如表所示：
进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲种 5 8 为倡导低碳生活，绿色出行，某自
乙种 9 13
行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活
(1)若该水果店预计进货款为1000元，
动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休
则这两种水果各购进多少千克？
息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量
行车队出发1h后，恰有一辆邮政车从甲地
不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安
出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙
排进货才能使水果店在销售完这批水果时
地完成2h装卸工作后按原路返回甲地，自
获利最多？此时利润为多少元？
行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且
第 1 页 共 4 页邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5 如图①，底面积为30cm2的空圆
倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路 柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组
程y(km)与自行车队离开甲地的时间x(h)的 成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满
函数关系图象，请根据图象提供的信息解答 为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水
下列各题： 时间t(s)之间的关系如图②所示．
(1) 自 行 车 队 行 驶 的 速 度 是
________km/h；
(2)邮政车出发多久与自行车队首次相
遇？
(3)邮政车在返程途中与自行车队再次
相遇时的地点距离甲地多远？
解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可
以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出
邮政车的速度，再由追及问题设邮政车出发
ah与自行车队首次相遇建立方程求出其解
即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标
和C的坐标，由自行车的速度就可以求出D
的坐标，由待定系数法求出BC，ED的解析
式就可以求出结论． 请根据图中提供的信息，解答下列问题：
解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为 (1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水
72÷3＝24(km/h)． 的水流速度(单位：cm3/s)为多少？
(2)由题意得邮政车的速度为24×2.5＝ (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积
60(km/h)．设邮政车出发ah与自行车队首次 为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底
相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝. 面积．
答：邮政车出发h与自行车队首次相遇； 解析：(1)根据图象，分三个部分：注满
(3)由题意得邮政车到达丙地的时间为 “几何体”下方圆柱需 18s；注满“几何
135÷60＝(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲 体”上方圆柱需24－18＝6(s)，注满“几何
地前共用时为＋2＋1＝(h)，∴B(，135)， 体”上面的空圆柱形容器需 42－24＝
C(7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为 18(s)．再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，
135÷24＋0.5＝＋0.5＝(h)，∴D(，135)．设直 根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)
线BC的解析式为y＝k＋b，由题意得解得 由图②知几何体下方圆柱的高为acm，根据
1 1 1
∴y＝－60x＋450.设ED的解析式为y＝kx 圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得
1 2 2
＋b，由题意得解得∴y＝24x－12.当y＝y a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为
2 2 1 2
时，－60x＋450＝24x－12，解得x＝5.5.y＝ 5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为
1
－60×5.5＋450＝120. Scm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝
答：邮政车在返程途中与自行车队再次 5×(24－18)，再解方程即可．
相遇时的地点距离甲地120km. 解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的
方法总结：本题考查了行程问题的数量 高为 14cm，两个实心圆柱组成的“几何
关系的运用，待定系数法求一次函数的解析 体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实
式的运用，一次函数与一元一次方程的运用， 心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－
解答时求出函数的解析式是关键． 24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀
【类型三】 利用一次函数解决图形面积 速注水的水流速度为 xcm3/s，则 18·x＝
问题 30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度
第 2 页 共 4 页为5cm3/s； y 时，27x＋270＜30x＋240，得x＞10；∴当
B
(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高 2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x＝10
为acm，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6， 时，两家超市一样划算，当x＞10时，在A超
所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝ 市购买划算；
5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为 (3)由题意知x＝15，15＞10，∴只在一
Scm2，根据题意得 5×(30－S)＝5×(24－ 家超市购买时，选择 A 超市划算，y ＝
A
18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的 27×15＋270＝675(元)．在两家超市购买时，
底面积为24cm2. 先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个
方法总结：本题考查了一次函数的应用： 羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：
把分段函数图象中自变量与对应的函数值 (10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费
转化为实际问题中的数量关系，然后运用方 用10×30＋351＝651(元)．∵651元＜675
程的思想解决实际问题． 元，∴最佳方案是先选择B超市购买10副
【类型四】 利用一次函数解决销售问题 羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．
某社区活动中心准备购买 10副 方法总结：本题考查了一次函数的解析
某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2) 式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方
个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附 案设计的运用，解答时求出函数的解析式是
近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍 关键．
和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30 【类型五】 利用图表信息解决实际问题
元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超 某工厂生产甲、乙两种不同的产
市同时在做促销活动： 品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产
A超市：所有商品均打九折(按标价的 品所需原材料的数量和生产过程中投入的
90%)销售； 生产成本的关系如表所示：
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的 产 品 甲 乙
原材料数量(吨) 1 2
费用为y (元)，在B超市购买羽毛球拍和羽
A
生产成本(万元) 4 2
毛球的费用为y (元)．请解答下列问题：
B
(1)分别写出y 、y 与x之间的关系式；
A B
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你
认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮
助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
解析：(1)根据购买费用＝单价×数量建
立关系就可以表示出y 、y 的解析式；(2)分
A B
三种情况进行讨论，当y ＝y 时，当y ＞y
A B A B
若该工厂生产甲种产品m吨，乙种产品
时，当y ＜y 时，分别求出购买划算的方案；
A B
n吨，共用原材料160吨，销售甲、乙两种产
(3)分两种情况进行讨论计算求出需要的费
品的利润y(万元)与销售量x(吨)之间的函数
用，再进行比较就可以求出结论．
关系如图所示，全部销售后获得的总利润为
解 ： (1) 由 题 意 得 y ＝ (10×30 ＋
A
200万元．
3×10x)×0.9＝27x＋270；y ＝10×30＋
B
(1)求m、n的值；
3(10x－20)＝30x＋240；
(2)该工厂投入的生产成本是多少万元？
(2)当y ＝y 时，27x＋270＝30x＋240，
A B
解析：(1)求出甲、乙两种产品每吨的利
得x＝10；当y ＞y 时，27x＋270＞30x＋
A B
润，然后根据两种原材料的吨数和全部销售
240，得x＜10.∵x≥2，∴2≤x＜10；当y ＜
A
后的总利润，列出关于m、n的二元一次方程
第 3 页 共 4 页组，求解即可；(2)根据“生产成本＝甲的成
本＋乙的成本”，列式计算即可得解．
解：(1)由图可知，销售甲、乙两种产品
每吨分别获利6÷2＝3(万元)、6÷3＝2(万元)．
根据题意可得解得
(2)由(1)知，甲、乙两种产品分别生产20
吨、70吨，所以投入的生产成本为20×4＋
70×2＝220(万元)．
答：该工厂投入的生产成本为220万元．
方法总结：本题考查了一次函数的应用，
主要利用了列二元一次方程组解决实际问
题，根据表格求出两种产品每吨的利润，然
后列出方程组是解题的关键．
三、板书设计
1．利用一次函数解决最值问题
2．利用一次函数解决有关路程问题
3．利用一次函数解决图形面积问题
4．利用一次函数解决销售问题
5．利用图表信息解决实际问题
本节课的设计，力求体现新课程改革的
理念，结合学生自主探究的时间，为学生营
造宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、更
轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生
的探索能力和创新能力，激发学生学习的积
极性．在学生选择解决问题的诸多方法的过
程中，不过多地干涉学生的思维，而是通过
引导学生自己去探究来选择合适的办法解
决问题．
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