全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·数学卷( 一)
(120分钟 150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合M,N是全集U的两个非空子集,且M⊆ N,则
U
A.M∩N=⌀ B.M⊆N
C.N⊆M D.N∪ M=U
U
2.若(x+i)2=3+yi,则实数x,y满足
A.2y=x B.y=2x C.x+2y=0 D.2x+y=0
3.为了庆祝中国共产党成立100周年,讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干
部职工对党史的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,将本单位全体党员党史知识竞赛的成
绩(均位于[60,100]之内)整理,得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下列结
论中不正确的是
A.本次成绩不低于80分的人数的占比为75%
B.本次成绩低于70分的人数的占比为5%
C.估计本次成绩的平均分不高于85分
D.本次成绩位于[70,90)的人数是其他人数的3倍
sin2α
4.已知tan α=3,则 =
sin2α
3 2 1
A. B. C. D.6
2 3 6
5.已知命题p:回归直线至少经过一个样本点;命题q:∀a,b∈R,a4+b2>2a2b.则下列命题中为真命题
的是
A.p∧q B.p∧q
C.p∧q D.(p∨q)6.《九章算术》是中国古代的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,成于公元一世纪
左右.《九章算术》中将圆台型建筑称为圆亭.某圆亭的三视图如图所示,图中小正方形的边长
均为1,则该圆亭的侧面积为
A.12π B.6 π
√13
C.18π D.24π
a 15
7.若(x2- )6的展开式中常数项为 ,则实数a=
x 16
1 1
A.± B.±2 C. D.2
2 2
8.已知函数f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0,0<φ<π),若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,则
2π
A.f(x)=3cos(2x+ )-1
3
π
B.f(x)=2cos(2x+ )-1
3
2π
C.f(x)=2cos(2x+ )-1
3
5π
D.f(x)=2cos(2x+ )-1
6
9.已知抛物线y2=4x,点P(3,0)与抛物线上一点A的距离的最小值为
A.2 B.2 C.3 D.2
√3 √2
10.已知log 6>log 3>log 4,则
3 2 3
√5+1
A.√2<log 3< B.1<log 3<√2
2 2 2
3 √5+1
C.1<log 3< D. <log 3<√3
2 2 2 2
1
11.已知函数f(x)=ln x- ,直线y=mx-3是曲线y=f(x)的一条切线,则m=
x
e+1 3
A.1 B.2 C. D.
e2 4
12.现有一个底面边长为4 ,高为2的正三棱柱形密闭容器,在容器内有一个半径为1的小球,
√3
小球可在正三棱柱形容器内任意运动,则小球能到达的空间的体积为
4+9√3 4+3√3
A.6√3+ π B.6√3+ π
6 64+9√3 4+√3
C.6√3+ π D.6√3+ π
3 3
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
ex-ae-x
13.已知函数f(x)= 为偶函数,则实数a= .
x
14.写出一个同时满足下列条件①②的向量a= .
①|a|=1;②向量a的坐标在第四象限.
15.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,点E在边CD上,∠C=∠AEB=120°,CE=1,AB=7,则BC=
.
x2 y2
16.已知F,F 分别是双曲线C: - =1的左、右焦点,P为双曲线C在第一象限上的一点,
1 2
4 5
△PFF 的内切圆的半径为√14-3,O为坐标原点,则|OP|= .
1 2
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试
题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
如图,在长方体ABCD-A BC D 中,点E,F分别在AA,BB 上,AD=AB=AE=BF=1,AA=3.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)证明:AF∥平面EBD.
1 1
(2)求二面角B-D E-A 的余弦值.
1 1 1
18.(12分)
已知数列 满足2n-1a+2n-2a+…+a =n.
{a } 1 2 n
n
(1)求数列 的通项公式;
{a }
n(2)对任意正整数n,设b n
={a
n
,n为奇数
,求数列 {b } 的前2n项和S 2n .
2a n,n为偶数 n
19.(12分)
《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出,支
持脱贫地区乡村特色产业发展壮大,加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设,
支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接.当前,脱贫地区相关设施建设
情况如何?怎样实现精准对接?未来如何进一步补齐发展短板?针对上述问题,假定有A、B、C
1 1 1
三个解决方案,通过调查发现有 的受调查者赞成方案A,有 的受调查者赞成方案B,有 的受
2 3 6
调查者赞成方案C,现有甲、乙、丙三人独立参加投票(以频率作为概率).
(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率;
(2)若某人选择方案A或方案B,则对应方案可获得2票,选择方案C,则方案C获得1票,设X是
甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和,求X的分布列和数学期望.
20.(12分)
已知椭圆C:
x2 +y2
=1(b>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与椭圆C交于A、B两点,
4b2 b2
线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(2)若直线l的方程为y=x-1,延长线段OM与椭圆C交于点P,四边形OAPB为平行四边形,求椭
圆C的方程.
21.(12分)
1
已知函数f(x)=aln x+ (x>0).
x
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若存在x,x 满足0<x <x ,且x+x =1,f(x)=f(x),求实数a的取值范围.
1 2 1 2 1 2 1 2
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
如图,在极坐标系中,O为极点,边长为2的等边三角形OAB的顶点B在极轴上.
(1)分别求△OAB的三条边所在直线的极坐标方程;
(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,使得点A位于第一象限,求△OAB
内切圆的参数方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f =|2x-2|+|x+1|,x∈R.
(x)
(1)在图中画出y=f(x)的图象;
(2)若方程f(x)-1-kx=0的解集为空集,求实数k的取值范围.
全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·数学卷( 二)
(120分钟 150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合A={x|x>1或x<-1},B={x|-5<3x-2<7},则A∩B=
A.{x|1<x<2} B.{x|1<x<3}
C.{x|-3<x<-1} D.{x|2<x<3}
-1-3i
2. =
1-3i
3 4 4 3 3 4 4 3
A. + i B. + i C. - iD. - i
5 5 5 5 5 5 5 5
1
3.已知{a}是等比数列,a=2,a= ,则a=
n 2 5 4 7
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 8 16 32
{x-3y≤6
4.已知x,y满足约束条件 2x- y≥0,则z=2y-x的最大值为
x+ y≤4
A.2 B.3 C.4 D.51 2
5.“a> 35”是“a> 25”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离与半焦距之比为1∶3,则双曲线的离心率为
3 3√2 3√2 4
A. B. C. D.
2 4 2 3
7.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习,若甲、乙不能同时选生物,
则甲、乙总的选法种数有
A.27 B.36 C.18 D.24
8.已知定义域为R的函数f(x)在[3,+∞)上单调递减,且y=f(x+3)为偶函数,则关于x的不等式
f(x2)>f(4)的解集为
A.(-2,- )∪( ,2) B.(-∞,-2)∪(- , )∪(2,+∞)
√2 √2 √2√2
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)
π
9.已知函数f(x)=asin x+√3cos x在[0, ]内的最小值为√3,则实数a的取值范围是
3
A.[1,+∞) B.(0,1] C.(0, ] D.[ ,+∞)
√3 √3
(t+2)x
10.已知定义在R上的函数f(x)= 的部分图象如图所示,其中x,x 为其两个极值点,
x2-t 1 2
且x<-1<1<x ,则实数t的取值范围是
1 2
1
A.(-1,0) B.(-1,- )
2
C.(-2,-1) D.(-2,0)
11.已知点A,B分别是相互垂直的两条异面直线a,b上的点,且直线AB与a,b均垂直,动点P,Q分
别位于直线a,b上,直线PQ与直线AB所成锐角为30°,AB=2√3,点M为线段PQ的中点,给出下
列四个结论:①PQ=4;②连接点P,Q,A,B构成的几何体的体积为定值;
③点M的轨迹是以线段AB的中点为圆心,半径为√2的圆;
④若连接点P,Q,A,B构成三棱锥P-QAB,其表面积可以为51.
其中所有不正确结论的序号为
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④
12.已知椭圆C :x2 +y2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,离心率小于√2,点A在y轴的右
1 1 2
a2 b2 2
侧,且|OA|=b,直线l与点A的轨迹C 相切于点M,且交椭圆C 于P,Q两点,若|PF |+|QF |=|PQ|
2 1 1 1
+10,曲线C 上的点到F 的最小距离为1,则b=
2 2
A.3 B.4 C.3或4 D.8
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
1
13.在区间[0,4]上任取一实数x,使得 <x≤1的概率为 .
2
14.向量a=(√3,1),|b|=1,若a⊥b,则|a-√3b|= .
15.已知圆柱上、下底面圆周均在球面上,正视图、侧视图如下图,则该球与圆柱的体积的比值
为 .
第15题图
第16题图
16.“四龟问题”是一个古老的数学趣味问题,涉及到对数螺线问题.若四只乌龟在边长为3米的
正方形四个角上,以每秒1厘米的速度同时匀速爬行,每只乌龟爬行的方向都是追击其右邻角上
的乌龟,即时速度正交分解为一个向正方形中心的速度和向前的速度,每一个时刻,四只乌龟所
在四点总是圆的四等分点,(如图)此圆的半径不断缩小,最终300秒后它们在正方形的中心碰头.若开始运动计时,每过30秒计算一次四只乌龟所在四点构成的正方形的周长(以开始运动30秒
为第1次),则前9次的正方形周长之和为 米.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试
题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
如图,在四边形ABCD中,∠BCD=120°.若CD=2√6,AD=8, ,求AB的长.从
3
①BD=6,∠ADC=75°;②cos∠ADB= ,∠CBD=45°;③S =12√3,∠CBD=45°这三个条件中任选
△ABD
5
一个,补充在上面的问题中并作答.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
18.(12分)
如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A、B的任意一点,BE垂直☉O所在的平面,四边形
DCBE为平行四边形.
(1)求证:平面ADE⊥平面CAD.
(2)若AB=2,CD=√3,BC=1,求直线AB与平面ADE所成角的正弦值.19.(12分)
党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位,确保发展经济着力点
放在实体经济上.为促进经济活力,拉动市场经济快速发展,必须大力推进大众创业、万众创新.
某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司,该公司提供A、B两种民生消费产品(人们购
买时每次只买其中一种)服务,他们经过统计分析发现:第一次购买产品的人购买A产品的概率
2 1 1
为 ,购买B产品的概率为 ,而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为 ,购买B
3 3 4
3 1
产品的概率为 ,前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为 ,购买B产品的概率也
4 2
1
是 ,如此往复.记某人第n次来购买A产品的概率为P.
n
2
(1)求P;
2
(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品,3人是否购买A产品相互独立,求
X的分布列和数学期望.
20.(12分)
已知抛物线E:y2=2px(p>3)上一点P(t,2√2)到焦点F的距离为3,过点T(a,0)作直线l,l 与抛物线
1 2
E相交,交点分别为A、B和D、C.如图,连接AD和BC分别交x轴于M(2,0),N,直线AD的斜率
为k,直线BC的斜率为k.
1 2
(1)求抛物线E的方程.
(2)若k=3k,求a的值.
1 2
21.(12分)
已知函数f(x)=(1+x)ex-a(x2+4x).
e
(1)当a= 时,求函数f(x)的极值;
2
(2)当a>e2时,证明关于x的方程f(x)+4ax+a=0存在三个实数根x,x,x,且当x<x <x 时,(x+x )
1 2 3 1 2 3 2 1
(x+x )<1.
3 1(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
1
{ x=- t
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 2 (t为参数,a∈R),以坐标原点为极点,x轴
√3
y=a+ t
2
π
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,射线θ= (ρ≥0)与曲线C交于
3
O,P两点,直线l与曲线C交于A,B两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)当|AB|=|OP|时,求a的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
2
设函数f(x)=|x+1|+|x-2|+1,g(x)=|x-m|+|x+ |,其中m≠0.
m
(1)解不等式f(x)≤6;
(2)设t(x)=f(x)-1,t(x),g(x)的值域分别为A,B,若A⊆B,求实数m的取值范围.
全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·数学卷( 三)
(120分钟 150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.集合A={x|(x-1)(x-5)<0,x∈Z}中元素的个数为
A.5 B.4 C.3 D.2
1+i
−
2.若复数z= ,则 =
1-i zA.iB.-i C.1-i D.1+i
3.已知向量a=(1,1),b=(2,λ),若a∥b,则实数λ=
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
4.有一组样本数据x,x,…,x,它们的平均数、众数和中位数均为3,方差为2,由这组数据得到新
1 2 n
样本数据2x+1,2x+1,…,2x+1的平均数、众数、中位数及方差分别为a、b、c及d,则
1 2 n
A.a=6 B.b≠c C.bd=28 D.d=8
5.2cos238°-sin 14°=
3
A.2 B.√3 C.1 D.
2
1
6.(√x+ )6的展开式中,常数项为
x
A.15 B.6
C.20 D.49
7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算
法,至今仍是比较先进的算法.右图是应用秦九韶算法的一个程序框图.执行该程序框图,若输入
x,n的值分别为3,4,则输出s的值为
A.160
B.484
C.1456
D.4808.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,AP⊥AB,AP⊥AD,E、F分别是线段BC、CD
的中点,若AB=4,AP=√5,则直线PE与AF所成角的余弦值为
8√5 9√5
A. B.
25 25
2√5 6√5
C. D.
5 25
9.若log 3<log 3<0(a,b∈(0,1)∪(1,+∞)),则下列说法一定正确的是
a b
A.3a-b<1
B.log (a+b)<0
3
C.若c>1,则abc>bac
D.若c>1,则alog c<blog c
a b
10.已知动点M(x,y)到直线x=2的距离的平方比到坐标原点O的距离的平方大4,若动点Q满足|
MQ|=|3-x|,且存在定点P,使得|MQ|-|MP|为定值s,则s=
A.1 B.2 C.3 D.4
π π
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),直线x=-π为f(x)图象的一条对称轴,( ,0)为f(x)图象
2 2
π
的一个对称中心,且f(x)在区间[-π,- ]上单调递增,给出下述四个结论:
2
1 π
①ω= ;②φ= ;③f(x)在区间[-π,π]上的最大值为2;④若f(x+δ)为偶函数,则δ=2π+3kπ(k∈Z).
3 6
其中所有正确结论的编号是
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
12.若关于x的方程x2-ax-ln x=0在x∈(0,+∞)内有两个不同的实数根,则实数a的取值范围为
A.(0,1) B.[e2,+∞) C.(1,e2] D.(1,+∞)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
1
13.命题p:∃x∈Z,|x|- =0的否定为 .
2
14.若双曲线C:x2-y2
=1(b>0)的离心率为2,则双曲线C的焦距为 ,渐近线方程为
b2
.
8
15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2= ab,c=6,则△ABC外接圆的半径
5
为 .16.如图所示,四边形ABCD为菱形,BG=CF=DE=AB=2,CF∥DE∥BG,BG⊥平面ABCD,M,P,Q分别
为BG,BA,EF的中点,N为平面EFG内一点,且直线AN∥平面MPQ.当△FCN的面积最小时,三棱
锥C-BFN的外接球的体积为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试
题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
2021年8月5日,在东京奥运会乒乓球女团决赛中,中国队3-0战胜日本队,获得金牌.2021年8
月6日,在东京奥运会乒乓球男团决赛中,中国队3-0战胜德国队,获得冠军.某乒乓球业余爱好
者协会为了解某社区青少年喜欢打乒乓球是否与性别有关,做了相关调查,制成如下2×2列联表.
喜欢 不喜欢 总计
男 80 20 100
女 70 30 100
总计 150 50 200
(1)男、女青少年喜欢乒乓球的频率分别为多少?
(2)能否有95%的把握认为喜欢乒乓球与性别有关?
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.(12分)
已知正项数列{a}的前n项和为S,且满足 +a =2S.
n n a2 n n
n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若T=2n-1a+2n-2a+…+2a +a ,求T.
n 1 2 n-1 n n19.(12分)
1 π
如图,在圆锥PO中,A,B,C,D四点在底面圆O上,且AB=CD= AD=1,∠ADB= .
2 6
(1)证明:PC⊥BD.
5
(2)若平面PAB与平面PCD的交线为l,且二面角A-l-D的余弦值为 ,求圆锥PO的体积.
19
20.(12分)
bx
已知直线y=ax+b是曲线f(x)=ex- 在x=0处的切线.
2
(1)求a,b的值;
3 1
(2)证明:f(x)> ln x- x2+2.
2 2
21.(12分)
x2
已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F、F,点E为椭圆C上一动点,O为坐标原点.
1 2
4
π
(1)若∠FEF= ,求△FEF 的面积;
1 2 1 2
3
(2)若过点E的斜率为k的直线l与椭圆C相交于另一点F,OE⊥OF,M为线段EF的中点,射线
OM与椭圆C相交于点N,△NMF与△EMO的面积分别为s
1
、s
2
,求 s
1
的取值范围.
s
2
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分){ x=2+√sinαcosα
在直角坐标系xOy中,曲线C 的参数方程为 (α为参数).在以原点为极
1 √2
y= (sinα-cosα)
2
π
点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ )=t.
2
4
(1)求曲线C 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
1 2
(2)若曲线C 与曲线C 有两个公共点,求实数t的取值范围.
1 2
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
1 1
已知a,b为正实数,且 + =3.
a b
2a+1 25
(1)证明: ≤ .
ab 4
1 1 3
(2)证明: + ≥ .
a+2a2 b+b2 2
