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全国 100 所名校最新高考模拟示范卷·数学卷( 一)
(120分钟 150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合M,N是全集U的两个非空子集,且M⊆ N,则
U
A.M∩N=⌀ B.M⊆N
C.N⊆M D.N∪ M=U
U
2.若(x+i)2=3+yi,则实数x,y满足
A.2y=x B.y=2x C.x+2y=0 D.2x+y=0
3.为了庆祝中国共产党成立100周年,讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干
部职工对党史的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,将本单位全体党员党史知识竞赛的成
绩(均位于[60,100]之内)整理,得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下列结
论中不正确的是
A.本次成绩不低于80分的人数的占比为75%
B.本次成绩低于70分的人数的占比为5%
C.估计本次成绩的平均分不高于85分
D.本次成绩位于[70,90)的人数是其他人数的3倍
sin2α
4.已知tan α=3,则 =
sin2α
3 2 1
A. B. C. D.6
2 3 6
5.已知命题p:回归直线至少经过一个样本点;命题q:∀a,b∈R,a4+b2>2a2b.则下列命题中为真命题
的是
A.p∧q B.p∧q
C.p∧q D.(p∨q)6.《九章算术》是中国古代的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,成于公元一世纪
左右.《九章算术》中将圆台型建筑称为圆亭.某圆亭的三视图如图所示,图中小正方形的边长
均为1,则该圆亭的侧面积为
A.12π B.6 π
√13
C.18π D.24π
a 15
7.若(x2- )6的展开式中常数项为 ,则实数a=
x 16
1 1
A.± B.±2 C. D.2
2 2
8.已知函数f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0,0<φ<π),若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示,则
2π
A.f(x)=3cos(2x+ )-1
3
π
B.f(x)=2cos(2x+ )-1
3
2π
C.f(x)=2cos(2x+ )-1
3
5π
D.f(x)=2cos(2x+ )-1
6
9.已知抛物线y2=4x,点P(3,0)与抛物线上一点A的距离的最小值为
A.2 B.2 C.3 D.2
√3 √2
10.已知log 6>log 3>log 4,则
3 2 3
√5+1
A.√20),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与椭圆C交于A、B两点,
4b2 b2
线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(2)若直线l的方程为y=x-1,延长线段OM与椭圆C交于点P,四边形OAPB为平行四边形,求椭
圆C的方程.
21.(12分)
1
已知函数f(x)=aln x+ (x>0).
x
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若存在x,x 满足01或x<-1},B={x|-5<3x-2<7},则A∩B=
A.{x|1 35”是“a> 25”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离与半焦距之比为1∶3,则双曲线的离心率为
3 3√2 3√2 4
A. B. C. D.
2 4 2 3
7.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习,若甲、乙不能同时选生物,
则甲、乙总的选法种数有
A.27 B.36 C.18 D.24
8.已知定义域为R的函数f(x)在[3,+∞)上单调递减,且y=f(x+3)为偶函数,则关于x的不等式
f(x2)>f(4)的解集为
A.(-2,- )∪( ,2) B.(-∞,-2)∪(- , )∪(2,+∞)
√2 √2 √2√2
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2)
π
9.已知函数f(x)=asin x+√3cos x在[0, ]内的最小值为√3,则实数a的取值范围是
3
A.[1,+∞) B.(0,1] C.(0, ] D.[ ,+∞)
√3 √3
(t+2)x
10.已知定义在R上的函数f(x)= 的部分图象如图所示,其中x,x 为其两个极值点,
x2-t 1 2
且x<-1<1b>0)的左、右焦点分别为F、F,离心率小于√2,点A在y轴的右
1 1 2
a2 b2 2
侧,且|OA|=b,直线l与点A的轨迹C 相切于点M,且交椭圆C 于P,Q两点,若|PF |+|QF |=|PQ|
2 1 1 1
+10,曲线C 上的点到F 的最小距离为1,则b=
2 2
A.3 B.4 C.3或4 D.8
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
1
13.在区间[0,4]上任取一实数x,使得 3)上一点P(t,2√2)到焦点F的距离为3,过点T(a,0)作直线l,l 与抛物线
1 2
E相交,交点分别为A、B和D、C.如图,连接AD和BC分别交x轴于M(2,0),N,直线AD的斜率
为k,直线BC的斜率为k.
1 2
(1)求抛物线E的方程.
(2)若k=3k,求a的值.
1 2
21.(12分)
已知函数f(x)=(1+x)ex-a(x2+4x).
e
(1)当a= 时,求函数f(x)的极值;
2
(2)当a>e2时,证明关于x的方程f(x)+4ax+a=0存在三个实数根x,x,x,且当x1,则abc>bac
D.若c>1,则alog c0,|φ|< ),直线x=-π为f(x)图象的一条对称轴,( ,0)为f(x)图象
2 2
π
的一个对称中心,且f(x)在区间[-π,- ]上单调递增,给出下述四个结论:
2
1 π
①ω= ;②φ= ;③f(x)在区间[-π,π]上的最大值为2;④若f(x+δ)为偶函数,则δ=2π+3kπ(k∈Z).
3 6
其中所有正确结论的编号是
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
12.若关于x的方程x2-ax-ln x=0在x∈(0,+∞)内有两个不同的实数根,则实数a的取值范围为
A.(0,1) B.[e2,+∞) C.(1,e2] D.(1,+∞)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
1
13.命题p:∃x∈Z,|x|- =0的否定为 .
2
14.若双曲线C:x2-y2
=1(b>0)的离心率为2,则双曲线C的焦距为 ,渐近线方程为
b2
.
8
15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2= ab,c=6,则△ABC外接圆的半径
5
为 .16.如图所示,四边形ABCD为菱形,BG=CF=DE=AB=2,CF∥DE∥BG,BG⊥平面ABCD,M,P,Q分别
为BG,BA,EF的中点,N为平面EFG内一点,且直线AN∥平面MPQ.当△FCN的面积最小时,三棱
锥C-BFN的外接球的体积为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试
题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
2021年8月5日,在东京奥运会乒乓球女团决赛中,中国队3-0战胜日本队,获得金牌.2021年8
月6日,在东京奥运会乒乓球男团决赛中,中国队3-0战胜德国队,获得冠军.某乒乓球业余爱好
者协会为了解某社区青少年喜欢打乒乓球是否与性别有关,做了相关调查,制成如下2×2列联表.
喜欢 不喜欢 总计
男 80 20 100
女 70 30 100
总计 150 50 200
(1)男、女青少年喜欢乒乓球的频率分别为多少?
(2)能否有95%的把握认为喜欢乒乓球与性别有关?
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18.(12分)
已知正项数列{a}的前n项和为S,且满足 +a =2S.
n n a2 n n
n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若T=2n-1a+2n-2a+…+2a +a ,求T.
n 1 2 n-1 n n19.(12分)
1 π
如图,在圆锥PO中,A,B,C,D四点在底面圆O上,且AB=CD= AD=1,∠ADB= .
2 6
(1)证明:PC⊥BD.
5
(2)若平面PAB与平面PCD的交线为l,且二面角A-l-D的余弦值为 ,求圆锥PO的体积.
19
20.(12分)
bx
已知直线y=ax+b是曲线f(x)=ex- 在x=0处的切线.
2
(1)求a,b的值;
3 1
(2)证明:f(x)> ln x- x2+2.
2 2
21.(12分)
x2
已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F、F,点E为椭圆C上一动点,O为坐标原点.
1 2
4
π
(1)若∠FEF= ,求△FEF 的面积;
1 2 1 2
3
(2)若过点E的斜率为k的直线l与椭圆C相交于另一点F,OE⊥OF,M为线段EF的中点,射线
OM与椭圆C相交于点N,△NMF与△EMO的面积分别为s
1
、s
2
,求 s
1
的取值范围.
s
2
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分){ x=2+√sinαcosα
在直角坐标系xOy中,曲线C 的参数方程为 (α为参数).在以原点为极
1 √2
y= (sinα-cosα)
2
π
点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ )=t.
2
4
(1)求曲线C 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
1 2
(2)若曲线C 与曲线C 有两个公共点,求实数t的取值范围.
1 2
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
1 1
已知a,b为正实数,且 + =3.
a b
2a+1 25
(1)证明: ≤ .
ab 4
1 1 3
(2)证明: + ≥ .
a+2a2 b+b2 2
