文档内容
2022年湖北省仙桃市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个
答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均
为零分）
1．（3分）在1，﹣2，0， 这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
2．（3分）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
4．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线交CD
于点G．若∠EFG＝52°，则∠EGF＝（ ）
A．128° B．64° C．52° D．26°
5．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． + ＝ B．4 ﹣3 ＝1 C． × ＝ D． ÷2＝
6．（3分）一个扇形的弧长是10 cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
πA．30 cm2 B．60 cm2 C．120 cm2 D．180 cm2
7．（3分π）二次函数y＝（x+mπ）2+n的图象如图所示，π则一次函数y＝mx+n的π图象经过（
）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x ，x ，且
1 2
（x +2）（x +2）﹣2x x ＝17，则m＝（ ）
1 2 1 2
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
9．（3分）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格
点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正
方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t，大正方形的面积为
S ，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S ，若S＝S ﹣S ，则S随t变化的函数图象
1 2 1 2
大致为（ ）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分．请将答案直接填写在答题卡对
应的横线上）
11．（3分）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000103米，该直径用科学
记数法表示为 米．
12．（3分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与
2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
13．（3分）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生
中至少有1名女生的概率是 ．
14．（3分）在反比例函y＝ 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣
kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
15．（3分）如图，点P是 O上一点，AB是一条弦，点C是 上一点，与点D关于AB
⊙
对称，AD交 O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：
①CD平分∠⊙BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为 O的切线．
其中所有正确结论的序号是 ． ⊙三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．（10分）（1）化简：（ ﹣ ）÷ ；
（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（6分）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下
列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；
（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．
18．（6分）为了解我市中学生对疫情防控知识的掌握情况，在全市随机抽取了m名中学
生进行了一次测试，随后绘制成如下尚不完整的统计图表：（测试卷满分100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级）
等级 成绩x 频数
A 90≤x≤1 48
00
B 80≤x＜ n
90
C 70≤x＜ 32
80
D 0≤x＜70 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：①m＝ ，n＝ ，p＝ ；
②抽取的这m名中学生，其成绩的中位数落在 等级（填A，B，C或D）；
（2）我市约有5万名中学生，若全部参加这次测试，请你估计约有多少名中学生的成
绩能达到A等级．
19．（6分）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58
米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D
点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位）（参考
数据： ≈1.732）20．（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝ （x＞0）和y＝
（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k ，k 的值；
1 2
（2）若点C，D分别在函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上，且不与点
A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的
坐标；若不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，正方形ABCD内接于 O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，
⊙延长CE交 O于点G，连接BG．
（1）求证：⊙FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
22．（10分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售
量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千 … 20 22.5 25 37.5 40 …
克）
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知
识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
23．（10分）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5 ，则n＝ ，S＝ ；
②如图2，若∠B＝60°，m＝4 ，则n＝ ，S＝ ；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴
交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，
最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与
射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范
围．2022年湖北省仙桃市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个
答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均
为零分）
1．（3分）在1，﹣2，0， 这四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．0 D．
【分析】实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大．
【解答】解：∵ ＞1＞0＞﹣2，
∴最大的数是 ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则．
2．（3分）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱
【分析】根据三视图直接判断即可．
【解答】解：根据三视图可知，该立体图形是长方体，
故选：A．
【点评】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握基本图形的三视图是解题的关键．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
【分析】选项A根据抽样调查和全面调查的意义判断即可；选项B根据众数和平均数的
定义判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据随机事件的定义判断即
可．
【解答】解：A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查的方式，故本选项
不合题意；
B．数据1，2，5，5，5，3，3的众数是3．平均数为 ，故本选项不合题意；
C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，说法正
确，故本选项符合题意；
D．抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面向上”，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了方差，众数，平均数以及全面调查与抽样调查，掌握相关定义是解
答本题的关键．
4．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线交CD
于点G．若∠EFG＝52°，则∠EGF＝（ ）
A．128° B．64° C．52° D．26°
【分析】先根据平行线的性质得到∠FEB＝128°，再求出∠BEG＝64°，最后根据平行线
的性质即可求出∠EGF＝64°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FEB＝180°﹣∠EFG＝128°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝ ∠BEF＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠BEG＝64°．
故答案选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的三条性质并根据题意灵活应用是解题关键．
5．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． + ＝ B．4 ﹣3 ＝1 C． × ＝ D． ÷2＝
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝ ，不符合题意；
C、原式＝ ＝ ，符合题意；
D、原式＝2 ÷2＝ ，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）一个扇形的弧长是10 cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A．30 cm2 B．60 cπm2 C．120 cm2 D．180 cm2
【分析π】先根据题意可算出扇π形的半径，再根据扇形π面积公式即可得出答案π．
【解答】解：根据题意可得，
设扇形的半径为rcm，
则l＝ ，
即10 ＝ ，
解得：πr＝12，
∴S＝ ＝ ＝60 （cm2）．
故选：B． π
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解
决本题的关键．
7．（3分）二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（
）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【分析】由抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标，由图象可得m，n的符号，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x+m）2+n，
∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），
∵抛物线顶点在第四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴直线y＝mx+n经过第一，二，四象限，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数及一次函数图象与系数的
关系．
8．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x ，x ，且
1 2
（x +2）（x +2）﹣2x x ＝17，则m＝（ ）
1 2 1 2
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【分析】利用根与系数的关系表示出x x 与x +x ，已知等式整理后代入计算即可求出m
1 2 1 2
的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x ，x ，
1 2
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣ ，且x x ＝m2﹣4m﹣1，x +x ＝
1 2 1 2
2m，
∵（x +2）（x +2）﹣2x x ＝17，
1 2 1 2
∴x x +2（x +x ）+4﹣2x x ＝17，即2（x +x ）+4﹣x x ＝17，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判
别式与根与系数的关系是解本题的关键．
9．（3分）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格
点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】延长BC于点D，根据菱形的性质可得：△OBD是等边三角形，根据等边三角
形的性质可得BA⊥OD，∠ADB＝60°，进而可得∠ABC＝30°，进而可得tan∠ABC的
值．
【解答】解：如图，延长BC于点D，
∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，
∴OD＝OB，OA＝AD，
∵∠O＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BA⊥OD，∠ADB＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴tan∠ABC＝tan30°＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
10．（3分）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正
方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t，大正方形的面积为
S ，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S ，若S＝S ﹣S ，则S随t变化的函数图象
1 2 1 2
大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】随着t的增加，s由大变小，由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变
大，由于是匀速，所以就对称，即可求出答案．
【解答】解：随着t的增加，s由大变小，所以排除B；由于边长不同，不能是0，且恒
定，然后再逐渐变大，所以排除D；由于t是匀速，所以就对称，所以可以排除C；所
以只剩下选项A．
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分
析得出函数的变化趋势，结合实际情况采用排除法求解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分．请将答案直接填写在答题卡对
应的横线上）
11．（3分）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000103米，该直径用科学
记数法表示为 1.03×1 0 ﹣ 7 米．
【分析】把某种病毒的直径表示成科学记数法即可．
【解答】解：0.000000103米＝1.03×10﹣7米．故答案为：1.03×10﹣7．
【点评】此题考查了科学记数法﹣表示较小的数，弄清科学记数法的表示方法是解本题
的关键．
12．（3分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与
2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 23. 5 吨．
【分析】根据题意列二元一次方程组，并求解，再求有关代数式的值．
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：
（1）+（2）得和再除以2得：4x+3y＝23.5
故答案为：23.5．
【点评】本题考查得是二元一次方程得应用，审题、列方程是解决本题的关键．
13．（3分）从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生
中至少有1名女生的概率是 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得选出的 2名学生中至少有1
名女生的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有12种可能性，其中选出的2名学生中至少有1名女生的可能性有10
种，
∴选出的2名学生中至少有1名女生的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状
图．14．（3分）在反比例函y＝ 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣
kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 y ＝ ．
【分析】由整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，可得k＝±4，由反比例函y＝ 的图象
的每一支上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解得k＞1，则k＝4，即可得反比
例函数的解析式．
【解答】解：∵整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，
∴k＝±4，
∵反比例函y＝ 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
解得k＞1，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，熟练掌握反比例函数的图象
与性质、完全平方式是解答本题的关键．
15．（3分）如图，点P是 O上一点，AB是一条弦，点C是 上一点，与点D关于AB
⊙
对称，AD交 O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：
①CD平分∠⊙BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为 O的切线．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ． ⊙【分析】根据题意可得AB是CD的垂直平分线，从而可得AD＝DC，BD＝BC，再利用
等腰三角形和平行线的性质可得CD平分∠BCE，即可判断①；根据圆内接四边形对角
互补和平角定义可得∠DEB＝∠ACB，再利用SSS证明△ADB≌△ACB，然后利用全等
三角形的性质可得∠ADB＝∠ACB，从而可得∠DEB＝∠ADB，即可判断②；根据等弧
所对的圆周角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得△AEF与△ABE不相似，即可判断
③；连接OB，交EC于点H，利用①②的结论可得BE＝BC，从而可得 ＝ ，然
后利用垂径定理可得∠OHE＝90°，最后利用平行线的性质可求出∠OBD＝90°，即可解
答．
【解答】解：∵点C与点D关于AB对称，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AD＝DC，BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵BD∥CE，
∴∠BDC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠BCD，
∴CD平分∠BCE；
故①正确；
∵四边形ACBE是 O的内接四边形，
∴∠ACB+∠AEB＝⊙180°，
∵∠AEB+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝∠ACB，∵AD＝DC，BD＝BC，AB＝AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠ADB＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ADB，
∴BD＝BE，
故②正确；
∵AC≠AE，
∴ ≠ ，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，
故③不正确；
连接OB，交EC于点H，
∵BD＝BE，BD＝BC，
∴BE＝BC，
∴ ＝ ，
∴OB⊥CE，
∴∠OHE＝90°，
∵BD∥CE，
∴∠OHE＝∠OBD＝90°，
∵OB是 O的半径，
∴BD为⊙O的切线，
故④正确⊙；
所以给出上面四个结论，其中所有正确结论的序号是：①②④，
故答案为：①②④．【点评】本题考查了角平分线的定义，切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定
与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定，以
及圆周角定理，垂径定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16．（10分）（1）化简：（ ﹣ ）÷ ；
（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）原式括号中第一项约分后两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利
用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的
解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）原式＝[ ﹣ ]•
＝（ ﹣ ）•＝ •
＝ ；
（2）由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤4，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
表示在数轴上，如图所示：
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则及
不等式的解法是解本题的关键．
17．（6分）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下
列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；
（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．
【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；
（2）如图2中，同法作出直线OE，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于
点R，作直线OR即可．
【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；
（2）如图2中，直线n即为所求；【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
18．（6分）为了解我市中学生对疫情防控知识的掌握情况，在全市随机抽取了m名中学
生进行了一次测试，随后绘制成如下尚不完整的统计图表：（测试卷满分100分，按成
绩划分为A，B，C，D四个等级）
等级 成绩x 频数
A 90≤x≤1 48
00
B 80≤x＜ n
90
C 70≤x＜ 32
80
D 0≤x＜70 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：①m＝ 20 0 ，n＝ 11 2 ，p＝ 5 6 ；
②抽取的这m名中学生，其成绩的中位数落在 B 等级（填A，B，C或D）；
（2）我市约有5万名中学生，若全部参加这次测试，请你估计约有多少名中学生的成
绩能达到A等级．【分析】（1）①用C等级的频数除以16%即可得出m的值，用m的值分别减去其它等
级的频数即可得出n的值；用n除以m即可得出p的值；
②根据中位数的定义解答即可；
（2）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）①由题意得m＝32÷16%＝200，
故n＝200﹣48﹣32﹣8＝112，p%＝ ，
故答案为：200；112；56；
②把抽取的这200名中学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数均落在B等级，故
中位数落在B等级，
故答案为：B；
（2）5× ＝1.2（万名），
答：估计约有多1.2万名中学生的成绩能达到A等级．
【点评】本题考查了频数分布表，扇形统计图以及中位数，掌握“频率＝频数÷总
数”是解决问题的关键．
19．（6分）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58
米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D
点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位）（参考
数据： ≈1.732）
【分析】过点D作DG⊥EF于点G，则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD
＝FG＝1.58米，设DG＝x米，则AG＝（20+x）米，在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan60°＝ ，解得 EG＝ x，在 Rt△AEG 中，∠EAG＝30°，tan30°＝
＝ ，解得x＝10，则EG＝10 米，根据EF＝EG+FG可得出答案．
【解答】解：过点D作DG⊥EF于点G，
则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD＝FG＝1.58米，
设DG＝x米，则AG＝（20+x）米，
在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，
tan60°＝ ，
解得EG＝ x，
在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，
tan30°＝ ＝ ，
解得x＝10，
∴EG＝10 米，
∴EF＝EG+FG≈18.9米．
∴旗杆EF的高度约为18.9米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解答本题的关键．
20．（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝ （x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k ，k 的值；
1 2
（2）若点C，D分别在函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上，且不与点
A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的
坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；
（2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D
关于x轴对称，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，∵A（1，4），
∴k ＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，
1
∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠AOG＝∠OBH，
∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，
∴B（4，﹣1），
∴k ＝4×（﹣1）＝﹣4；
2
（2）如图2，∵△COD≌△AOB，∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，﹣4）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反
比例函数是轴对称图形是解本题的关键．
21．（8分）如图，正方形ABCD内接于 O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，
延长CE交 O于点G，连接BG． ⊙
（1）求证：⊙FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴ ．
∴∠DAB＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴ ，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝ ＝6 ．
∴OB＝ BD＝3 ．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝ AB．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴BF＝2 ；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝ ＝3 ．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝ ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解
题的关键．
22．（10分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售
量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千 … 20 22.5 25 37.5 40 …
克）
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知
识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数
法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即
可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得： ，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x ＝38，x ＝30，
1 2
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析
式及二次函数的性质．
23．（10分）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD
＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5 ，则n＝ 5 ，S＝ 2 5 ；②如图2，若∠B＝60°，m＝4 ，则n＝ 4 ，S＝ 8 ；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．
【分析】（1）①证明△ADE，△BDF都是等腰直角三角形即可解决问题；
②解直角三角形求出AE，DE，BF，DF可得结论；
（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．证明△DME≌△DNF
（ASA），推出S＝S△ADE +S△BDF ＝S△ADM +S△BDN ，把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到
右边△ADN，∠ADN＝90°，AD＝m，DN＝n，可得结论；
（3）如图4中，过点⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．证明△DME≌△DNF（AAS），
推出S＝S△ADE +S△BDF ＝S△ADM +S△BDN ，把△ADM绕点顺时针旋转120°得到△DNT，
∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，过点D作DN⊥BT于点N，解直角三角形求出BH，可
得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，
∴CA＝CB，
∵CD平分∠ACB，
∴AD＝DB＝5 ，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°，
∴△ADE，△BDF都是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝5，AE＝DE＝5，
∴S＝ ×5×5+ ×5×5＝25，
故答案为：5 ，25；②如图2中，
在Rt△ADE中，AD＝4 ，∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴DE＝ AD＝2 ，AE＝ DE＝6，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DE＝DF＝2 ，
∴BF＝2，BD＝2BF＝4，
∴n＝4，
∴S＝ ×2 ×6+ ×2 ×2＝8 ，
故答案为：4，8 ；
（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．
∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴DM＝DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN＝∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵∠DME＝∠DNF，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S＝S△ADE +S△BDF ＝S△ADM +S△BDN ，
把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADN，∠ADN＝90°，AD＝m，DN＝n，
∴S＝ mn；
（3）如图4中，过点⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．
∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝90°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠EDF＝∠MDN＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵∠DME＝∠DNF＝90°，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴S＝S△ADE +S△BDF ＝S△ADM +S△BDN ，把△ADM绕点顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，
过点D作DN⊥BT于点N，
∴BH＝BD×sin60°＝4× ＝2 ，
∴S＝S△CDT ＝ ×6×2 ＝6 ．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了特殊直角三角形，全等三角形的判定和性质，
解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
属于中考压轴题．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴
交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，
最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与
射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范
围．
【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝
2，解得m＝ （舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2
（m+2）+3＝2，解得 m＝﹣ （舍）；③当 m≤1≤m+1，即 0≤m≤1，p﹣q＝
（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝ ﹣1或m＝﹣ ﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝ +1（舍）或m＝﹣
+1；
（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后
的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程
组 ，由Δ＝0时，解得h＝ ，此时抛物线的顶点为（ ，﹣ ）
②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x
﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），则可求
≤n≤4．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，
∴B（2，﹣3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得 ，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝ （舍）；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣ （舍）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝ ﹣1或m＝﹣ ﹣1（舍）；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝ +1（舍）或m＝﹣ +1，
综上所述：m的值 ﹣1或 +1；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x﹣5，联立方程组 ，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝ ，
此时抛物线的顶点为（ ，﹣ ）
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），
∴ ≤n≤4．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象
平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/29 10:55:43；用户：王志彬；邮箱：orFmNt1fT0eE8mRV-0B0tMSg2LKY@weixin.jyeoo.com；学号：39822452
