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7.2.3 平行线的性质（七大类型提分练）
类型一、两直线平行同位角相等
1．（2024七年级上·全国·专题练习）把一把直尺与一块三角板如图放置，∠1=45°，∠2的度数为（ ）
A．150° B．135° C．120° D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，根据直角三角形两锐
角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】解：如图，
∵∠1=45°，
∴∠3=180°-90°-∠1=90°-45°=45°，
∴∠4=180°-45°=135°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠4=135°．
故选：B．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为
（ ）A．30° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：两直线平行，同位角相等．利用平角的定义求出
∠4=100°，再利用平行线的性质可得出结果．
【详解】解：如图，
∵∠1=50°，∠2=30°，
∴∠4=100°，
∵a∥b，
∴∠3=∠4=100°，
故选：D．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的直角顶点C在直线a上，若
∠1=35°，则∠2等于（ ）
A．65° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及互余定义、平行线性质等知识，如图所示，由互余定义“两个和
为90°的角互余”求出∠ACD，再由两直线平行同位角相等即可得到答案，熟记两直线平行同位角相等是
解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：∵ ∠ACB=90° ∠1=35°
， ，
∴ ∠ACD=90°-35°=55°，
∵ a∥b，
∴∠2=∠ACD=55°，
故选：C．
4．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知AB∥CD,EF∥GH，如果EF⊥CD，GH是否垂直
于AB，试说明理由．
【答案】垂直，理由见解析
【分析】本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂直的定义得出
∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等求解即可．
【详解】解：垂直，理由如下：
∵EF⊥CD，
∴∠1=90°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠1=90°，
∵EF∥GH，
∴∠2=∠3=90°，
∴GH⊥AB．
类型二、两直线平行内错角相等
5．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD,∠CDE=140°，那么∠A的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据图示可得∠CDA=40°，结合AB∥CD得到∠CDA=∠A，由此即可求解．
【详解】解：∵∠CDE+∠CDA=180°，∠CDE=140°，
∴∠CDA=40°，
∵AB∥CD，
∴∠CDA=∠A=40°，
故选：D ．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠1=35°，则∠B等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出∠ECB=90°，再利用平行线的性质得出
∠B的度数．
【详解】解：∵BC⊥AE于点C，
∴∠ECB=90°，
∵∠1=35°，
∴∠DCB=55°，
∵CD∥AB，
∴∠B=∠DCB=55°．
故选：C．
7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线m∥n，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直
线n上，若∠1=25°，则∠2的度数是（ ）A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平
行的技巧．
过点B作BD∥m，根据平行线的性质即可推出∠3=∠1=25°，∠2=∠4，从而求得∠2的度数．
【详解】解：过点B向左作BD∥m，
∵ m∥n
直线 ，
∴BD∥m∥n，
∴∠3=∠1=25°，∠2=∠4，
又∵∠ABC=45°，
∴∠4=∠ABC-∠3=45°-25°=20°，
∴∠2=∠4=20°，
故选：D．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，∠ABC=∠ADC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且
DE∥BF．那么直线DF与BE的位置关系是什么？请说明理由．
【答案】DF∥BE，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出∠EDF=∠EBF，再证明
∠AED=∠EDF即可得出结论．
【详解】解：DF∥BE．
理由为：因为DE, BF分别平分∠ADC和∠ABC，
1 1
所以∠EDF= ∠ADC，∠EBF= ∠ABC，
2 2因为∠ABC=∠ADC，
所以∠EDF=∠EBF，
因为DE∥BF，
所以∠AED=∠EBF，
所以∠AED=∠EDF，
所以DF∥BE．
类型三、两直线平行同旁内角互补
9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯
制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°,∠BCD=30°，则（ ）
A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键．根据
同旁内角互补，两直线平行即可解答．
【详解】解：∵∠ABC=150°,∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC．
故选C．
10．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2=64°，则∠3的
度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．116°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：
∠BDC=∠2=64°，由AB∥CD得∠ABD=180°-∠BDC=116°，根据BC是∠ABD的平分线得
1
∠3= ∠ABD=58°．
2
【详解】解：由题意得：∠BDC=∠2=64°，
∵AB∥CD，∴∠ABD=180°-∠BDC=116°，
∵BC是∠ABD的平分线，
1
∴∠3= ∠ABD=58°
2
故选：B
11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，OP∥QR∥ST，下列各式中正确的是（ ）
A．∠1+∠2+∠3=180° B．∠1+∠2-∠3=90°
C．∠1-∠2+∠3=90° D．∠2+∠3-∠1=180°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行
线的性质，即可得到∠3=∠QRS，∠2+∠QRP=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】解：∵OP∥QR∥ST，
∴∠3=∠QRS，
∴∠3-∠1=∠QRS-∠1=∠QRP，
∵OP∥QR∥ST，
∴∠2+∠QRP=180°，即∠2+∠3-∠1=180°．
故选：D．
12．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知∠1+∠2=180°，AD∥EF，试说明AC∥DG的理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得∠2+∠CAD=180°，进
而可得∠1=∠CAD，则问题得解．
【详解】∵AD∥EF，
∴∠2+∠CAD=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠CAD，
∴AC∥DG．类型四、平行线的判定与性质
13．（15-16七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，
∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内
错角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据平行线的性质可证得∠1=∠CFE=∠E，于是可得∠2=∠E，
进而可得结论．
【详解】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
14．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，DE⊥AE，垂足为E．
(1)若∠A=35°，求∠D的度数；
(2)直接写出图中与∠D互余的所有角．
【答案】(1)55°
(2)∠CFA，∠A，∠EFD
【分析】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，余角的定义，正确理解平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质求出∠EFD=∠A=35°，再利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数；
（2）根据（1）及对顶角相等的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠A=35°，
∵DE⊥AE，
∴∠≝=90°，
∴∠EFD+∠D=90°，∴∠D=90°-∠DFE=55°；
（2）∵∠CFA=∠EFD=∠A，∠EFD+∠D=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠CFA+∠D=90°，
即∠CFA，∠A，∠EFD都与∠D互余．
15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知如图，AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点E和点
F，其中∠1=∠2，求证：∠G=∠H．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．
首先根据AB∥CD得到∠AEM=∠CFE，然后证明出∠HFE=∠GEF，得到¿∥HF，进而可证明
∠G=∠H．
【详解】如图所示，
∵AB∥CD
∴∠AEM=∠CFE
∵∠1=∠2
∴∠AEM-∠1=∠CFE-∠2
∴∠PEM=∠HFE
∵∠PEM=∠GEF
∴∠HFE=∠GEF
∴¿∥HF
∴∠G=∠H．
16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，AD∥BC，∠C=∠BAD，AE⊥CD，交CD的延长线于
点E．(1)求证：AB∥CD．
(2)若∠EAD=30°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定定理是解题关
键．
（1）由平行线的性质可证∠C=∠ADE，结合题意得出∠ADE=∠BAD，再由平行线的判定定理证明
即可；
（2）根据垂线的定义得出∠AEC=90°，结合平行线的性质可得出∠BAE=90°，结合题意可求出
∠BAD=60°，最后再次利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠C=∠ADE．
∵∠C=∠BAD，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠BAE=180°-∠AEC=90°．
∴∠BAD=∠BAE-∠EAD=90°-30°=60°．
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠BAD=120°．
类型五、平行线的性质与实际生活应用
17．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改
为东偏南15°，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线．
【答案】见解析
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，以C为顶点作165°的角即可．【详解】解：如图，继续行驶的路线是按箭号方向行驶．
【点睛】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，是基础题．
18．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，
其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，
∠BAG=150°，∠AGC=80°，求∠≝¿的度数．
【答案】130°
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出
∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠≝¿．
【详解】解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD
，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠≝+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，
∴∠MFA=180°-∠BAG=180°-150°=30°．
∵CG∥EF，
∴∠EFA=∠AGC=80°．
∴∠EFM=∠EFA-∠MFA=80°-30°=50°．
∴∠≝=180°-∠EFM=180°-50°=130°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
19．（21-22七年级下·广西柳州·期中）如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐
75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次
是如何拐弯的？【答案】向左拐30°
【分析】过点B作BM∥OA，延长BC到点P．可得BM∥CN．从而得到∠ABM＝∠A＝105°．再由
∠ABC＝135°，可得∠MBC＝30°即可求解．
【详解】解：过点B作BM∥OA，延长BC到点P．
∵BM∥OA，OA∥CN，
∴BM∥CN．
∵第一次向右拐75°，即∠A＝105°，
∴∠ABM＝∠A＝105°．
∵∠ABC＝135°，
∴∠MBC＝30°
又∵BM∥CN，
∴∠NCP＝∠MBC＝30°．
答：第三次应向左拐30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
类型六、利用平行线的性质研究角之间的关系
20．（23-24七年级下·广西河池·期中）（1）如图，∠B=∠C，AD∥BC．判定∠1与∠2的数量关系，
并说明理由．
（2）如图，∠1=∠C，AC平分∠DAB，判定DC与AB的位置关系，并说明理由．（写出主要步骤的推理依据）
【答案】（1）∠1=∠2，理由见解析；（2）DC∥AB，理由见解析
【分析】本题考查平行线的性质和判定：
（1）根据平行线的性质，推出∠1=∠C，∠2=∠B，结合已知条件，推出∠1=∠2即可；
（2）根据角平分线的定义，结合已知条件推出∠2=∠C，即可得出结论．
【详解】（1）∵AD∥BC
∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等）
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠B=∠C
∴∠1=∠2；
（2）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2（角的平分线定义）
∵∠1=∠C
∴∠2=∠C
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）
21．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线l ∥l ，直线l 与直线l 、l 分别相交于C、D两点．
1 2 3 1 2
(1)如图a，有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，
∠1、∠2、∠3又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出
新的结论并说明理由．
【答案】(1)∠2=∠1+∠3，理由见解析
(2)不成立，∠2=∠1-∠3，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点P作PE∥l ，则l ∥PE∥l ，则∠1=∠APE，∠3=∠BPE，再根据角度和差计算求解即可；
1 1 2
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解：∠2=∠1+∠3，理由如下，过点P作PE∥l ，
1
∵l ∥l
1 2
，
∴l ∥PE∥l ，
1 2
∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠2=∠1+∠3．
（2）解：上述结论不成立．新结论：∠2=∠1-∠3，理由如下：
过点P作PE∥l ．
1
∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥PE∥l
1 2
∴∠APE=∠1，∠3=∠BPE
∵∠APE=∠2+∠BPE，
∴∠1=∠2+∠3，即∠2=∠1-∠3．
类型七、平行线的判定与性质的常见模型
22．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说
出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；
（3）图（3）∠BPD=∠D-∠B，图（4）∠BPD=∠B-∠D【分析】（1）过点P作EF∥AB，得到∠B+∠BPE=180°，由AB∥CD，EF∥AB，得到EF∥CD，
得到∠EPD+∠D=180°，由此得到∠B+∠BPD+∠D=360°；
（2）过点P作PE∥AB，由PE∥AB∥CD，得到∠1=∠B，∠2=∠D，从而得到结论
∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D
的关系．
【详解】（1）解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360°．
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°；
（2）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
（3）如图（3）：∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠P，
∴∠D=∠B+∠P，即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4）：∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠P，
∴∠B=∠D+∠P，
即∠BPD=∠B-∠D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解
题的关键．
23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知AB∥CD，E、F分别为CD，AB上一点，P，H分别在
EF，AB上，∠PFH=∠PHF，PG∥CD．
(1)如图1，求证：PG平分∠EPH；
(2)如图2，过点P作PM⊥PH，交CD于点M，作∠EPM的平分线交CD于点N，求∠NPG的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)45°
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得∠EPG=∠PFH，∠GPH=∠PHF，再由∠PFH=∠PHF得
∠EPG=∠GPH，即可得证；
（2）设∠EPN=x，则∠EPN=∠NPM=x，得出∠EPH=2x+90°，再由∠NPG=∠EPG-∠EPN
求出值即可．
【详解】（1）证明：∵PG∥CD,AB∥CD，
∴PG∥AB，
∴∠EPG=∠PFH，∠GPH=∠PHF，
∵∠PFH=∠PHF，
∴∠EPG=∠GPH∴PG平分∠EPH．
（2）设∠EPN=x，
∵PN平分∠EPM，
∴∠EPN=∠NPM=x，
∵PM⊥PH，
∴∠MPH=90°，
∴∠EPH=∠EPM+∠MPH=2x+90°，
∵PG平分∠EPH，
∴∠EPG=2∠EPH=x+45°，
∴∠NPG=∠EPG-∠EPN=x+45°-x=45°．
24．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，AB∥CD，点M在AB上，点N在
CD上．求证：∠MEN=∠BME+∠DNE．
【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知AB∥DE，∠BAC=120°，∠D=80°，则∠ACD= °．
【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】∠F=∠BMF-∠DNF；【结论应用】20
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可求解；
（2）如图②，过F作FH∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图③，过C作CG∥AB，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
则∠MEF=∠BME，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠NEF=∠DNE，
∴∠MEN=∠MEF+∠NEF，即∠MEN=∠BME+∠DNE；
（2）解：∠BMF=∠MFN+∠FND．
证明：如图②，过F作FK∥AB，
∴∠BMF=∠MFK
，
∵AB∥CD，
∴FK∥CD，
∴∠FND=∠KFN，
∴∠MFN=∠MFK-∠KFN=∠BMF-∠FND，
即：∠BMF=∠MFN+∠FND．
故答案为：∠BMF=∠MFN+∠FND；
（3）如图③，过C作CG∥AB，
∴∠GCA=180°-∠BAC=60°，
∵AB∥DE，
∴CG∥DE，
∴∠GCD=∠CDE=80°，
∴∠ACD=20°，
故答案为：20．
一、单选题
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，直线a∥b,∠1=50°,∠2=∠3，则∠2的度数为（ ）A．50° B．60° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据a∥b得到∠1=∠4=50°，再根据平角定义结合
∠2=∠3进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵a∥b
∴∠1=∠4=50°，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠4=180°，
1
∴∠2=∠3= (180°-∠4)=65°，
2
故选：C．
2．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板(∠BAC=30°)按如
图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键．
过点B向右作BD∥a，根据平行线的性质可得∠ABD=∠1，∠2=∠DBC，从而求出度数即可．
【详解】如图，过点B向右作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，
∵a∥b，∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
答案：A．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（
）
A．∠1=∠3 B．若∠2=30°，则有AC∥DE
C．若∠2=30°，则有BC∥AD D．若∠2=30°，必有∠4=∠C
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线判定与性质、余角和补角，根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判
定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【详解】解：A、∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，正确，不符合题意．
B、∵∠2=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，正确，不符合题意．
C、∵∠2=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∵∠B=45°，
∴BC不平行于AD，原来的结论错误，符合题意．
D、由AC∥DE可得∠4=∠C，正确，不符合题意．
故选：C．
4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，如图，BE平分∠ABF，BC平分∠ABD，∠1=∠2，
且∠4+∠2=90°，则下列结论①AB∥CD；②AC⊥BC；③CD平分∠BCG；④∠1=∠5．其中正确
的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活
运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的判定定理可判定①，根据三角形
的内角和定理可判定②，根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义可判定④．
【详解】∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故①正确；
∵∠4+∠2=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°，
∴AC⊥BC，故②正确；
∵BC平分∠ABD，
∴∠2=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠5，故④正确；
但不能得出∠1≠∠DCG，CD平分∠BCG，故③错误；
∴正确的有3个．
故选：C．
5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠ABE=125°，∠DCE=30°，则
∠BEC的度数等于（ ）
A．95° B．85° C．100° D．80°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
过点E作EF∥AB，首先求出∠FEB=180°-∠B=55°，然后证明出CD∥EF，得到
∠CEF=∠DCE=30°，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点E作EF∥AB∵∠ABE=125°
∴∠FEB=180°-∠B=55°
∵AB∥CD
∴CD∥EF
∵∠DCE=30°
∴∠CEF=∠DCE=30°
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=85°．
故选：B．
6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐
的角∠A=120°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的
道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质与判定．首先根据题意作辅助线：过点B作BD∥AE，即可得
AE∥BD∥CF，则可求得：∠A=∠ABD，∠DBC+∠C=180°，进而可得∠C的值．
【详解】解：过点B作BD∥AE，
∵ AE∥CF
，
∴ AE∥BD∥CF，
∴∠A=∠ABD，∠DBC+∠C=180°，
∵ ∠A=120°，∠ABD+∠DBC=∠ABC=150°，
∴∠DBC=ABC-ABD=30°，
∴∠C=180°-∠DBC=180°-30°=150°，
故选：D．7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别
为a和b．当（ ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积．
A．a=b B．2a=b C．a=2b D．a>2b
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角
形的面积=底×高÷2，平行四边形的面积=底×高，解答此题即可．
【详解】解：设两平行线间的距离为h，
∵三角形的面积大于平行四边形的面积
1
∴ ah>bh，
2
∴a>2b，
当a>2b时，三角形的面积大于平行四边形的面积．
故选：D．
8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ=180° B．α-β+γ=180°
C．α+β-γ=180° D．α+β+γ=360°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，
先根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠α+∠AFD=180°，再根据三角形外角的性质得
∠AFD=∠β-∠γ，然后代入即可得出答案.
【详解】解：如图，延长AE交直线CD于F，∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD=180°.
∵∠β是△≝¿的外角，
∴∠AFD=∠β-∠γ，
∴∠α+∠β-∠γ=180°.
故选：C．
二、填空题
9．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若AB∥DC，∠1=39°，∠C和∠D互余，则∠D=
，∠B= ．
【答案】 39° 129°
【分析】由平行线的性质可知∠D=∠1，根据∠C和∠D互余可求得∠C，最后根据平行线的性质可求
得∠B．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵AB∥DC，
∴∠D=∠1=39°．
∵∠C和∠D互余，
∴∠C+∠D=90°．
∴∠C=90°-39°=51°．
∵AB∥DC，
∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=180°-51°=129°．
故答案为：39°；129°．
10．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=65°，则∠2=
．
【答案】50°
【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据折叠宽度相等的长方形纸条，
得∠3=∠4，a∥b，
∴∠3=∠1，∵∠1=65°，
∴∠3=∠4=∠1=65°，
∴∠2=180°-∠4-∠3=50°，
故答案为：50°．
11．（2018·河南·一模）如图，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为 .
【答案】240°
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，
熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，由平行公理的推论可得AB∥EF∥CG∥DH，由两直线平
行内错角相等可得∠1=∠B=35°，∠2=∠E=25°，由两直线平行同旁内角互补可得
∠GCD+∠HDC=180°，然后根据∠BCD+∠CDE=∠1+∠GCD+∠HDC+∠2即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∵AB∥EF
，
∴AB∥EF∥CG∥DH，
∴∠1=∠B=35°，∠2=∠E=25°，∠GCD+∠HDC=180°，
∴∠BCD+∠CDE
=∠1+∠GCD+∠HDC+∠2
=35°+180°+25°
=240°，
故答案为：240°．
12．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，AB∥CD，∠A=105°，∠C=120°，则∠1=
．【答案】45°/45度
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点E作EF∥AB，分别得∠2=75°，∠3=60°，
再根据邻补角互补列式计算，即可作答．
【详解】解：过点E作EF∥AB，如图所示：
∵EF∥AB，
∴∠2+∠A=180°，
∵∠A=105°，
∴∠2=75°，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠3+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠3=60°，
∴∠1=180°-∠2-∠3=45°，
故答案为：45°．
13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知∠ABC与∠≝¿，若AB∥DE，BC⊥EF，若∠ABC
的补角比∠≝¿的余角的2倍大30°，则∠ABC的度数为 ．
【答案】50°
【分析】本题考查平行线的性质，和余角与补角的概念，掌握余角与补角的概念是解题的关键．根据
AB∥DE，BC⊥EF，得出∠ABC+∠≝=90°，再设∠ABC=x°，则∠≝=90°-x°，根据题意列式
得180-x=2x+30求解即可．
【详解】如图，AB∥DE，BC⊥EF，
，∴∠BFE+∠B=90°，
且∠BFE=∠≝¿，
∴∠≝+∠ABC=90°，
设∠ABC=x°，
则∠≝=90°-x°，
则∠ABC的补角为180°-x°，
∠≝¿的余角为x°，
∴180-x=2x+30，
解得x=50°，
∠ABC的度数为50°，
故答案为：50°．
三、解答题
14．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，连接ED,FG
交于点H，连接CE并延长到点M，∠CED=∠GHD,∠C=∠EFG．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若DE⊥GF，∠D=26°，求∠BEC的度数．
【答案】(1)见详解
(2)∠BEC=116°
【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得CE∥FG，从而得到∠C=∠DGF，可求得
∠DGF=∠EFG，即可判定AB∥CD；
（2）结合（1）可得∠CED=∠DHG=90°，∠BED=∠D=26°，从而可求∠BEG的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【详解】（1）证明：∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥GF，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD；
（2）解：∵DE⊥GF，
∴∠GHD=90°．由（1）可得：CE∥FG，AB∥CD，
∴∠CED=∠DHG=90°，∠BED=∠D=26°，
∴∠BEC=∠CED+∠BED=116°．
15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB、CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和
∠BOD，已知∠1+∠2=90°，且∠1:∠3=1:8．
(1)求∠AOF的度数；
(2)求证：AB∥EF．
【答案】(1)108°
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义和平角的定义即可求出∠EOF的角度，根据已知条件和平角定义即可
求出∠1的度数，最后利用角的运算即可求出∠AOF的度数．
（2）利用三角和定理和已知条件求出∠1=∠E，根据内错角相等，两直线平行即可证明AB∥EF．
【详解】（1）解：∵ OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，
1 1
∴ ∠1=∠EOD= ∠AOD，∠FOD=∠BOF= ∠BOD．
2 2
∵ ∠AOB=180°，
1 1
∴ ∠EOF=∠EOD+∠FOD= (∠AOD+∠BOD)= ∠AOB=90°．
2 2
∵ ∠1:∠3=1:8，
∴ ∠EOD:∠1:∠3=1:1:8．
∵ ∠1+∠3+∠EOD=180°，
1
∴ ∠1=180°× =18°．
1+1+8
∴ ∠AOF=∠AOE+∠EOF=18°+90°=108°．
故答案为：108°．
（2）证明：由（1）知∠EOF=90°，
∴ ∠2+∠E=90°．
∵ ∠1+∠2=90°，
∴ ∠1=∠E，
∴ AB∥EF．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，平角的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于
熟练掌握相关性质定理．16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，
AB∥CD,DE⊥EF,FG⊥EF,∠ABG=150°,∠CDE=140°，求∠BGF的度数．
【答案】70°
【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过，点G，F，E作GH∥AB,FM∥AB,EN∥AB，结合
垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，分别过点G，F，E作GH∥AB,FM∥AB,EN∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥FM∥EN∥CD．
∴∠ABG+∠BGH=180°,∠HGF=∠MFG,∠MFE=∠NEF,∠CDE+∠DEN=180°．
∵∠ABG=150°,∠CDE=140°，
∴∠BGH=30°,∠DEN=40°．
∵DE⊥EF,FG⊥EF，
∴∠GFE=∠MFG+∠MFE=90°,∠FED=∠NEF+∠DEN=90°．
∴∠MFG=90°-∠MFE,∠NEF=90°-∠DEN=50°=∠MFE．
∴∠MFG=40°=∠HGF，
∴∠BGF=∠BGH+∠HGF=30°+40°=70°．
17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED
的度数．
【答案】55°
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，由平行线的
性质可得∠ABE+∠BEF=180°，∠≝=∠CDE，代入数据计算即可得解．
【详解】解：如答图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠≝=∠CDE．
∵∠ABE=150°，∠CDE=85°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=30°，∠≝=∠CDE=85°，
∴∠BED=∠≝-∠BEF=55°．
18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠DEC+2∠ECD=180°；
(1)试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
(2)若∠FGB=∠EDC，且∠BFG=100°，求∠ADC的度数．
【答案】(1)DE∥BC，理由见解析
(2)80°
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形
的内角和定理是解决本题的关键．
（1）先说明∠ECD=∠BCD，再说明∠EDC=∠BCD，利用平行线的判定得结论；
（2）利用平行线的判定与性质求出∠BFG=∠BDC，利用邻补角求出∠ADC即可．
【详解】（1）解：DE与BC平行．
理由：∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠BCD．
∵∠DEC+2∠ECD=180°，
∠DEC+∠EDC+∠ECD=180°，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDC=∠BCD，
∴DE∥BC．
（2）解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD．
∵∠FGB=∠EDC，
∴∠FGB=∠BCD，
∴FG∥CD，
∴∠BFG=∠BDC=100°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=80°．
19．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知AB∥CD∥EF．
(1)∠x=60°,∠y=150°，求∠z的度数；
(2)猜想∠x,∠y、∠z三者之间的关系并加以说明．
【答案】(1)30度
(2)∠x+∠y-∠z=180°，见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用；
（1）由CD∥EF可得∠CEF=30°，由AB∥EF可得∠x=∠AEF，再进一步解答即可；
（2）由（1）可得∠CEF=180°-∠y,∠x=∠AEF=∠z+∠CEF，即∠CEF=∠x-∠z，再整理即
可．
【详解】（1）解： ∵CD∥EF,∠y=150°，
∴∠CEF=180°-∠y=30°．
∵AB∥EF，
∴∠x=∠AEF=∠z+∠CEF．
∵∠CEF=30°,∠x=60°，
∴∠z+30°=60°，
∴∠z=30°．
（2）解：∠x+∠y-∠z=180°．
理由如下：
由（1）可知，∠CEF=180°-∠y,∠x=∠AEF=∠z+∠CEF，
即∠CEF=∠x-∠z，
∴180°-∠y=∠x-∠z，
整理，得∠x+∠y-∠z=180°．
20．（24-25七年级上·河南南阳·期末）综合与实践
（1）如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠AMP=32°,∠DNP=128°，求∠MPN的度数．（2）如图2，若AB∥CD，点P在CD的下方，则∠AMP,∠CNP,∠MPN之间有何数量关系？并说明
理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，∠MPN=α,∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E，求∠MEN
的度数．（结果用含α的式子表示）
1
【答案】（1）84°；（2）∠AMP=∠MPN+∠CNP，理由见解析；（3） α
2
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行
线的性质．
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质得出∠MPE=∠AMP=32°，
∠EPN=180°-∠DNP=180°-128°=52°，最后求出结果即可；
（2）过点P作PQ∥CD，根据平行公理得出AB∥CD∥PQ，根据平行线的性质得出∠CNP=∠NPQ，
∠AMP=∠MPQ，最后求出结果即可；
（3）过点E作EF∥CD，根据平行线公理得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出
∠NEF=∠CNE,∠AME=∠MEF，根据角平分线定义得出
1 1
∠AME=∠MEF= ∠AMP,∠CNE=∠NEF= ∠CNP，根据解析（2），得出
2 2
∠AMP=∠MPN+∠CNP，最后得出结果即可．
【详解】解：（1）如图1，过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB
，
∴∠MPE=∠AMP=32°．∵AB∥CD，
∴CD∥PE，
∴∠EPN=180°-∠DNP=180°-128°=52°，
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=32°+52°=84°．
（2）∠AMP=∠MPN+∠CNP．
理由：如图2，过点P作PQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠CNP=∠NPQ，
∵∠MPQ=∠MPN+∠NPQ，
∴∠MPQ=∠MPN+∠CNP，
∵PQ∥AB，
∴∠AMP=∠MPQ，
∴∠AMP=∠MPN+∠CNP．
（3）如图3，过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠NEF=∠CNE,∠AME=∠MEF，
∵∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E．
1 1
∴∠AME=∠MEF= ∠AMP,∠CNE=∠NEF= ∠CNP，
2 2
由（2）得∠AMP=∠MPN+∠CNP，
∵∠MPN=α，
1 1 1 1
∴∠MEF=∠AME= (∠MPN+∠CNP)= α+ ∠CNP= α+∠NEF，
2 2 2 2
1 1
∴∠MEN=∠MEF-∠NEF= α+∠NEF-∠NEF= α．
2 2
