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四川省宜宾市四中高2023届高三上期末考试
理科数学
本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ， ，则 的真子集共有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．设 ，则 的虚部是
A．2 B．1 C． D．
3．设向量 ， ，若 ，则
A． B．-1 C． D．
4．已知点 是 所在平面内一点， 为 边的中点，且 ，则
A． B． C． D．
5．某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩 .若已知 ，
则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
6．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以
看出
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大一些
D．男生不喜欢理科的比为60%
7．已知 ， 则
A． B．4 C． D．
8．在 ，已知 ， ， ，则 边上的高等于
A． B． C． D．
9．若函数 ( )的图象向左平移 个单位后，所得图象关于原点对称，则 的最小值
为A． B． C． D．
10．已知 是函数 的零点，若 ，则 的值满足
A． B． C． D． 的符号不确定
11．设 为抛物线 的焦点，曲线 与 相交于点 ，直线 恰与曲线
相切于点 ， 交 的准线于点 ，则 等于
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 有四个不同的零点，则a的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数x，y满足约束条件 ，则 的最大值等于______.
14．已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 平行，则
__________.
15．已知 的展开式中 的系数为5，则 ________.
16．定义域为 的偶函数 满足 ，当 时， ，给出下列四个结
论：
① ；
②若 ，则 ；
③函数 在 内有且仅有3个零点；
④若 ，且 ，则 的最小值为4.
其中，正确结论的序号是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市
名农民工(其中技术工、非技术工各 名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在 (百元)内，
2且月工资收入在 (百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:
（1）求n的值；
（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名.
①完成如下所示 列联表
技术
非技术工 总计
工
月工资不高于平均数 50
月工资高于平均数 50
总计 50 50 100
②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
参考公式及数据: ，其中 .
18．（12分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量 、 满
足 ， ， ．
(1)求A；
(2)若 ， ，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，在三棱锥 中， 为 的中点.
（1）证明: ；（2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正
弦值为 ，求直线 与 所成角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆C： （ ）的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，椭圆C
上的一点P到 ， 的距离之和等于4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设 ，过椭圆C的右焦点 的直线与椭圆C交于A，B两点，若满足 恒成立，求m
的最小值.
21．（12分）已知函数 ， .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 ，讨论 的零点个数；
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．在平面直角坐标系x y中，曲线C的参数方程为 为参数），在以 为极点， 轴的
非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线 与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值.
23．已知 .
（1）求证： ；
（2）若对任意实数 都成立，求实数 的取值范围.
四川省宜宾市四中高2023届高三上期末考试
理科数学参考答案：
1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B 10．B 11．B 12．A
13． 14． 15．1 16．①③
417．解：（1） 月工资收入在 (百元)内的人数为
月工资收入在 (百元)内的频率为: ；
由频率分布直方图得:
（2）①根据题意得到列联表:
技术
非技术工 总计
工
月工资不高于平均数
月工资高于平均数
总计
不能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.
18解：（1）∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．∵ ，∴ ．
（2）在△ABD中，由 ， 和余弦定理，得
．
∵D是AC的中点，∴
∴ ，化简得 ，即 ．∵ ，
∴ ，解得 ．
∴ ．∴△ABC的面积为 ．
19．解：（1）因为 ，所以有 ，所以三角形 是直角三角形，而
为斜边 的中点.所以三角形 的外心为点 ，因为 ，所以点 在底面 的射影是
底面 的外心，因此 平面 ，而 平面 ，因此有 ；
（2）由（1）可知： 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，过 作 ，垂足为 ，因为平面 平面 ，所以 平面 ，因为直线 与平面 所成角的正
弦值为 ，所以 ，设 ，
所以 ，因此由 ，因此有
，根据 ，可得
或 （舍去），故 ，因此点 是线段 的中点，取
的中点 ，连接 ，则有 ，所以 是直线 与 所成角（或补
角），
因为 ， ，所以 ，由余弦定理可知：
.
20．解：（1）设椭圆的焦距为 ，由题意可得， ，解得 ，∴椭圆C的标准方程为：
；
（2）由（1）可知 ，设 ， ，则 ， ，
，
①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为 ，得 ，
代入得 ， ，或 ， ，则 ，
②当直线l不与x轴垂直时，设直线的方程为 ，
联立 ，得 ，由韦达定理得 ， ，
，
6令 ， ，则 ，
，
又因函数 在 上是减函数，
，综上：m的最小值为5.
21．解：∵ ∴ 为偶函数，只需先研究 ,
, ,
当 ， ，当 ， ，
所以 在 单调递增，在 ，单调递减,
所以根据偶函数图象关于 轴对称，
得 在 单调递增，在 单调递减，
故 单调递减区间为： ， ；单调递增区间为： ， .
（2） ,
① 时， 在 恒成立,
∴ 在 单调递增
又 ，所以 在 上无零点
② 时， ，使得 ，即 .
又 在 单调递减，所以 ， ， ，
所以 ， 单调递增， ， 单调递减，
又 ，
（i） ，即 时 在 上无零点，
又 为偶函数，所以 在 上无零点，
（ii） ，即 .
在 上有1个零点，又 为偶函数，所以 在 上有2个零点，
综上所述，当 时， 在 上有2个零点，
当 时， 在 上无零点.
22．（1）将方程 （ 为参数），消去参数 后可得 ，
∴曲线C的普通方程为 ， 将 ， 代入上式可得 ，
∴曲线C的极坐标方程为 ．
（2）设A，B两点的极坐标分别为 ， ，由 消去 整理得
，
根据题意可得 ， 是方程 的两根，∴ ， ，
∴ ．
∵直线l的普通方程为 ，∴圆C的圆心 到直线l的距离为 ，
又圆C的半径为 ， ∴ ．
23．（1） ， 的最小值为 .
（2）由（1）知: 的最大值等于 ,
,
当 ,“=” 成立,
即 当 时, 取得最小值 ,当 时, ,
又因为对任意实数 都成立, 所以 , 的取值范围 .
8
