2024-2025 学年七年级数学下学期期末测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：初一下全册（人教版2024版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．下列实数中，属于无理数的是（ ）
2
A．﹣3 B．3.14 C． D．❑√2
7
【答案】D
【分析】根据无理数的定义逐项判段即可．
【详解】解：A. −3是整数，是有理数，故A选项错误，不符合题意；
B. 3.14是小数，是有理数，故B选项错误，不符合题意；
2
C. 是无限循环小数，是有理数，故C选项错误，不符合题意；
7
D.❑√2 是无理数，故D选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是注意无理数的定义（无限不循环小数）．
2．下列图案中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大
小是解答此题的关键．
根据平移的定义:图形沿着一个方向平移一定的距离的变换叫图形平移，逐项判定即可得答案．【详解】解：A、不能通过基本图形平移得到，故此选项不符合题意；
B、能通过基本图形平移得到，故此选项符合题意；
C、不能通过基本图形平移得到，故此选项不符合题意；
D、不能通过基本图形平移得到，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．若点P的坐标是(2,1),则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点（2，1）所在的象限是第一象限．
故选A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．如图，已知l ∥l ，且∠1＝120°，则∠2＝（ ）
1 2
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】先利用平行线的性质求出∠3的度数，再利用邻补角的定义即可求出答案.
【详解】∵l∥l，
1 2
∴∠3＝∠1＝120°，
∴∠2＝180°－∠3＝60°，
故选C.
【点睛】本题考查了平行线的性质及邻补角的定义.通过添加∠3形成同位角是解题的关键.
5．若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
a b
A．a＋2＞b＋2 B． ＞
3 3C．a2＞b2 D．﹣2a＋1＜﹣2b＋1
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、∵a＞b，
∴a＋2＞b＋2，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
a b
∴ ＞ ，故本选项不符合题意；
3 3
C、由a＞b不一定能推出a2＞b2，
如a＝2，b＝﹣3，
a＞b，但a2＜b2，故本选项符合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴﹣2a＋1＜﹣2b＋1，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．在下列调查活动中，适合采取普查方式的是（ ）
A．了解中央电视台《新闻联播》栏目的收视率
B．了解一批洗衣机的使用寿命
C．了解某班学生对“本学校校训”的知晓率
D．了解渤海中鱼的种类
【答案】C
【分析】通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，对于精确度要求高
的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A．了解中央电视台《新闻联播》栏目的收视率，适合抽样调查；
B．了解一批洗衣机的使用寿命率，适合抽样调查；
C．了解某班学生对“本学校校训”的知晓率，适合普查；
D．了解渤海中鱼的种类，适合抽样调查；
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征
灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．{x=−1)
7．若 是方程2x+my=4的解，则m的值是（ ）
y=2
A．−1 B．1 C．−3 D．3
【答案】D
{x=−1)
【分析】本题考查二元一次方程的解，把 代入2x+my=4，进行求解即可．
y=2
{x=−1)
【详解】解：把 代入2x+my=4，得：2×(−1)+2m=4，
y=2
∴m=3；
故选D．
8．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小
器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，
是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少
斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程为（ ）
{5x+ y=3) {5x+ y=2) {5x= y−3) {5 y=3+x)
A． B． C． D．
x+5 y=2 x+5 y=3 x=2−5 y y=2−5x
【答案】A
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据5个
大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可．
【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意得：
{5x+ y=3)
，
x+5 y=2
故选：A．
9．64的立方根为（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】C
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵43=64，
∴64的立方根是4．
故选：C．
【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
10．如图是某班级的一次考试成绩（得分均为整数）的频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值），
则下列说法错误的是（ ）A．得分在70~79分的人数最多
B．该班的总人数为40
C．人数最少的分数段的频数为2
D．得分及格（≥60分）约有12人
【答案】D
【分析】观察条形图即可一一判断．
【详解】A、得分在70～79分的人数最多，故正确；
B、该班的总人数为40人，故正确；
C、人数最少的得分段的频数为2，故正确；
D、得分及格（≥60分）的有12+14+8+2=46人，故错误．
故选D．
【点睛】本题考查频数分布直方图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
11．如图，在平面直角坐标系A(1,0)上有点，点A第一次跳动至点A (−1,1)，第二次点A 向右跳到A (2,1)，
1 1 2
第三次点A 跳到A (−2,2)，第四次点A 向右跳动至点A (3,2)，……，依此规律跳动下去，则点A第
2 3 3 4
2022次跳动至点A 的坐标为（ ）
2022
A．(1012,1011) B．(1011,1010) C．(2022,2021) D．(1012,1010)
【答案】A
【分析】本题主要考查点的坐标规律，根据题意可以发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应
点的坐标的纵坐标比横坐标小1，A 的坐标为(n+1,n)，根据规律直接求解即可．
2n【详解】解：根据题意可以可知：A (2,1)，A (3,2)，A (4,3)，A (5,4)……
2 4 6 8
由此发现规律，顺序数为偶数的点都在第一象限，且对应点的坐标的纵坐标比横坐标小1，横坐标等于顺
序数的一半，
∴A (n+1,n)，
2n
∴A (1012,1011)，
2022
故选：A．
12．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在
科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用
光的反射定律改变光路的方法，即如图2，“反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面
镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角”．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他
借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置，已知法线OC⊥MN，反射光线AO与水平线的夹角
∠AOD=56°，则平面镜MN与水平线BD的夹角∠NOD的大小为（ ）
A．24° B．28° C．34° D．56°
【答案】B
【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．根据平面镜反射规律，由垂直的定义，
等角的余角相等以及对顶角相等进行计算即可．
【详解】解：∵OC⊥MN，
∴∠MOC=∠NOC=90°，
∵∠AOC=∠BOC，
∴∠MOC−∠BOC=∠NOC−∠AOC即∠BOM=∠AON，
∵∠BOM=∠DON，
1
∴∠AON=∠DON= ∠AOD=28°，
2
故选：B．
第Ⅱ卷
二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）16
13． 的算术平方根是 ．
25
4
【答案】 /0.8
5
【分析】本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a
的算术平方根，由此即可得答案．
16 4
【详解】解： 的算术平方根是 ．
25 5
4
故答案为： ．
5
14．若点P（m﹣2，2m+1）在x轴上，则m的值是 ．
1
【答案】﹣
2
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出2m＋1＝0，进而得出答案．
【详解】∵点P（m﹣2，2m+1）在x轴上，
∴2m+1＝0，
1
解得：m＝﹣ ，
2
1
故答案为：﹣ ．
2
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握x轴上点的纵坐标为0是解题关键．
15．已知关于x，y的二元一次方程ax+by=5的部分解如下表所示：
x 1 9 5
y 1 −1 0
则a−b的值为 ．
【答案】−3
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
在所给表格中选两组数值分别代入关于x，y的二元一次方程ax+by=5，得到关于a、b的方程组，解方
程组求出a、b可得答案．
【详解】解：把x=1，y=1；x=5，y=0；
{a+b=5①
)
5a=5②
由②得：a=1，
把a=1代入①得：1+b=5，
解得：b=4，∴a−b=1−4=−3，
故答案为：−3．
16．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a∗b=ab−2a．例如，2∗4=2×4−2×2=4，请根据上述定义
{3∗x<6)
解答如下问题：若关于x的不等式组 有3个整数解，则m的取值范围是
x∗3≥m
【答案】0<m≤1
【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数
解，确定出m的范围即可．
【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为：
{ 3x−6<6 )
，解得：m≤x<4，
3x−2x≥m
∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3，
∴0<m≤1
三、解答题（本题共7小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：−24+|−5)− [ −(−3)÷ 1 +2 )
6
{ 3x+ y=15 )
（2）解方程组：
5x−2y=14
{x=4)
【答案】（1）−31；（2）
y=3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）−24+|−5)− [ −(−3)÷ 1 +2 )
6
=−16+5−[−(−18)+2)
=−16+5−(18+2)
=−16+5−18−2
=−31；
{ 3x+ y=15① )
（2）
5x−2y=14②①×2+②得：11x=44，解得x=4，
把x=4代入①得：3×4+ y=15，解得y=3，
{x=4)
∴原方程组的解为 ．
y=3
18．如图，△ABC在建立了平面直角坐标系的方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的
正方形．
(1)请写出△ABC各顶点的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)把△ABC平移得到△A′B′C′，点B经过平移后对应点为B′ (6,5)，请在图中画出△A′B′C′，并写出A′、
C′的坐标．
【答案】(1)A(−1,−1)，B(4,2)，C(1,3)
(2)7
(3)图见解析，A′(1,2)，C′(3,6)
【分析】（1）利用坐标系可得答案；
（2）利用长方形面积减去周围多于三角形面积；
（3）根据B点平移后的对应点位置可得三角形向右平移2个单位，然后再向上平移3个单位，然后作出
图形即可．
【详解】（1）解：A(−1,−1)，B(4,2)，C(1,3)；
1 1 1
（2）解：S =5×4− ×4×2− ×1×3− ×5×3
△ABC 2 2 2
3 15
=20−4− −
2 2
=7；
（3）解：作图如下：C′、A′的坐标分别为：C′ (3,6)，A′ (1,2)，【点睛】此题主要考查了作图−−平移变换，解题的关键是掌握组成图形的关键点平移后的位置．
19．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日至2月20日在北京和张家
口举行．某校为调查学生对冬奥知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 n名学生进行测试，将测试成
绩进行整理后分成5 组，并绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中信息回答下列
问题：
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
1 4 5 6 6 5 7 6 8 3 9 8
(1)补全频数分布直方图．
(2)在扇形统计图中，“70~80分”这组的百分比 m
(3)已知“80~90分”这组的数据如上表所示：抽取的n名学生测试成绩的中位数是_____分．
(4)若成绩达到 80分以上(含 80分)为优秀，请你估计全校1 600 名学生对冬奥知识了解情况为优秀的
学生人数．
【答案】(1)见解析
(2)20%(3)84.5
(4)约有896人
【分析】
（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90~100”这组的频数，从而
补全频数直方图；
（2）用“70~80”这组的频数除以样本容量即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用1600乘以80分以上人数所占的比例即可．
【详解】（1）解：8÷16%=50（人），50−4−8−10−12=16（人），
补全频数直方图如图．
（2）
10
解：m= ×100%=20%；
50
（3）解：∵“50~80”分的人数已有22人，
∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，
84+85
∴中位数是 =84.5分；
2
故答案为：84.5；
10+12
（4）解：1600× =896（人）
50
答：约有896人．
【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图
获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估
计总体．20．已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠1=∠2．
（1）求证：DE//AC；
（2）若∠3=30°，∠B=25°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）95°．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出∠2=∠3，再由∠1=∠2可得出∠1=∠3，进而可得出结论；
（2）根据∠3=30°可得出∠ACB的度数，再由平行线的性质得出∠BED的度数，由三角形内角和定理即可
得出结论．
【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DE∥AC；
（2）解：∵CD平分∠ACB，∠3=30°，
∴∠ACB=2∠3=60°．
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠ACB=60°．
∵∠B=25°，
∴∠BDE=180°-60°-25°=95°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，难度适
中．
21．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是
小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数
部分．又例如：
∵❑√4<❑√7<❑√9，即2<❑√7<3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为（❑√7−2）．
请回答：
(1)❑√33的整数部分是________，小数部分是________．
(2)如果❑√143的小数部分为a，❑√43的整数部分为b，求a+|2b−❑√143)的值；(3)已知：10+❑√5=2x+ y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y的相反数．
【答案】(1)5，❑√33−5
(2)1
(3)❑√5−8
【分析】（1）确定5<❑√33<6即可解答；
（2）利用估算分别得到a=❑√143−11，b=6，再代入计算即可；
（3）利用估算方法得到12<2x+ y<13，确定10+❑√5的整数部分是12，小数部分是❑√5−2，由此得到
x=6,y=10+❑√5−12=❑√5−2，计算出x−y的值即可．
【详解】（1）解：∵❑√25<❑√33<❑√36，即5<❑√33<6，
∴❑√33的整数部分是5，小数部分是❑√33−5，
故答案为：5，❑√33−5；
（2）∵❑√121<❑√143<❑√144，即11<❑√143<12，
∴❑√143的小数部分a=❑√143−11，
∵❑√36<❑√43<❑√49，即6<❑√43<7，
∴❑√43的整数部分b=6，
∴a+|2b−❑√143)
=❑√143−11+|2×6−❑√143)
=❑√143−11+12−❑√143
=1；
（3）∵2<❑√5<3，
∴12<10+❑√5<13，即12<2x+ y<13，
∴10+❑√5的整数部分是12，小数部分是❑√5−2，
∵x是整数，且0<y<1，
∴x=6,y=10+❑√5−12=❑√5−2，
∴x−y =6−(❑√5−2)=8−❑√5，
∴x−y的相反数是❑√5−8．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数估算的方法是解题的关键．
22．某学校为庆祝办学50周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平
均单价计算，订购30本纪念册和50件纪念品共需2100元；订购20本纪念册比10件纪念品多花100元．
(1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元．
(2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过5000元，其中订购校庆纪念册大于115本，校庆纪念
册的数量比校庆纪念品的数量多30，请求出所有符合条件的订购方案．【答案】(1)平均每本校庆纪念册20元，平均每个校庆纪念品30元．
(2)①购买校庆纪念册116本，校庆纪念品86个；
②购买校庆纪念册117本，校庆纪念品87个；
③购买校庆纪念册118本，校庆纪念品88个．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是根据题意
列出方程组和不等式组．
(1)设每本纪念册x元，每件纪念品y元，根据订购30本纪念册和50件纪念品共需2100元；订购20本纪念
册比10件纪念品多花100元，列方程组求解即可；
(2)设订购了m本纪念册，(m−30)份校庆纪念品，根据订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过5000
元，其中订购校庆纪念册大于115本，列出关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据m
为整数求解即可．
【详解】（1）解：设每本纪念册x元，每件纪念品y元，
{30x+50 y=2100)
根据题意可得： 。
20x−10 y=100
{3x+5 y=210①)
整理得： ，
2x−y=10②
②×5得：10x−5 y=50③，
①+③得：13x=260，
解得：x=20，
把x=20代入方程②得：2×20−y=10，
解得：y=30，
{x=20)
∴方程组的解为 ，
y=30
答：平均每本校庆纪念册20元，平均每个校庆纪念品30元；
（2）解：设订购了m本纪念册，(m−30)份校庆纪念品，
{ m>115① )
根据题意可得： ，
20m+30(m−30)≤5000②
解不等式①得：m>115，
解不等式②得：m≤118，
∴不等式组的解集为115<m≤118，
又∵m为整数，
∴m=116或117或118，
当m=116时，m−30=116−30=86，当m=117时，m−30=117−30=87，
当m=118时，m−30=118−30=88，
∴订购方案有：
①购买校庆纪念册116本，校庆纪念品86个；
②购买校庆纪念册117本，校庆纪念品87个；
③购买校庆纪念册118本，校庆纪念品88个．
23．已知直线AB∥CD，E为平面内一点，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．
(1)如图1，若点E在直线AB，CD之间，试探究∠BPE,∠DQE,∠PEQ之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点E在直线AB，CD之间，PF平分∠APE，QF平分∠CQE，当∠PEQ=100°时，求
∠PFQ的度数．
(3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE，PH平分∠APE，PH的反向延长线交QF于点F，
当∠PEQ=50°时，求∠PFQ的度数．
【答案】(1)∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由见解析
(2)130°
(3)155°
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性
质是解题关键．
（1）过点E作EF∥AB，先根据平行线的性质可得∠BPE=∠PEF，再根据平行公理推论可得
CD∥EF，根据平行线的性质可得∠DQE=∠QEF，然后根据角的和差、等量代换即可得；
（2）过点F作FG∥AB，先根据（1）的结论可得∠BPE+∠DQE=100°，再根据角平分线的定义可得
∠APF+∠CQF=130°，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得∠PFQ=∠APF+∠CQF，由此
即可得；
（3）过点E作EG∥AB，先参考（1）的方法可得∠DQE−∠BPE=50°，再根据角平分线的定义可得
1 1 1
∠CQF= ∠CQE，∠HPE= ∠APE，从而可得∠APF=90°+ ∠BPE，
2 2 2
1
∠CQF=90°− ∠DQE，然后根据∠PFQ=∠APF+∠CQF代入计算即可得．
2
【详解】（1）解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由如下：如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠BPE=∠PEF，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠DQE=∠QEF，
∵∠PEQ=∠PEF+∠QEF，
∴∠PEQ=∠BPE+∠DQE．
（2）解：如图2，过点F作FG∥AB，
由（1）可知，∠PEQ=∠BPE+∠DQE，
∵∠PEQ=100°，
∴∠BPE+∠DQE=100°，
∵∠APE+∠BPE=180°,∠CQE+∠DQE=180°，
∴∠APE+∠CQE+(∠BPE+∠DQE)=360°，
∴∠APE+∠CQE=360°−100°=260°，
∵PF平分∠APE，QF平分∠CQE，
1 1
∴∠APF= ∠APE，∠CQF= ∠CQE，
2 2
1 1 1
∴∠APF+∠CQF= ∠APE+ ∠CQE= (∠APE+∠CQE)=130°，
2 2 2
∵FG∥AB，
∴∠PFG=∠APF，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴CD∥FG，
∴∠QFG=∠CQF，
∴∠PFQ=∠PFG+∠QFG=∠APF+∠CQF=130°．（3）解：如图3，过点E作EG∥AB，
∴∠PEG=∠BPE，
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴EG∥CD，
∴∠QEG=∠DQE，
∵∠QEG−∠PEG=∠PEQ=50°，
∴∠DQE−∠BPE=50°，
∵QF平分∠CQE，PH平分∠APE，
1 1
∴∠CQF= ∠CQE，∠HPE= ∠APE，
2 2
∵∠APE+∠BPE=180°,∠CQE+∠DQE=180°，
1 1
∴∠CQF= (180°−∠DQE)=90°− ∠DQE，
2 2
1 1
∠HPE= (180°−∠BPE)=90°− ∠BPE，
2 2
1
∴∠HPB=∠HPE+∠BPE=90°+ ∠BPE，
2
1
由对顶角相等得：∠APF=∠HPB=90°+ ∠BPE，
2
由（2）可知，∠PFQ=∠APF+∠CQF
1 1
=90°+ ∠BPE+90°− ∠DQE
2 2
1
=180°− (∠DQE−∠BPE)
2
1
=180°− ×50°
2
=155°，
所以∠PFQ的度数为155°．
