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2024-2025 学年七年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：相交线与平行线~不等式与不等式组（人教版2024）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（本题3分）下列各数：3.14， ，0.131 131 113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）， ， ，
中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．
【详解】解： ，
由定义可知无理数有： ，0.131 131 113…， ，一共三个．
故选：B．
2．（本题3分）如图，下列推理中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键；
根据平行线的判定定理逐项分析判断即可解答．
【详解】解：A、由 只能推出 ，故错误，不符合题意；
B、由 ，只能推出 ，故错误，不符合题意；
C、 ，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出 ，故正确；D、由 ，只能推出 ，故错误，不符合题意．
故选：C．
3．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键．
根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A． 若 ，则 ，故该选项错误，不符合题意；
B． 当 时， ， ，故该选项错误，不符合题意；
C． 若 ，当 时， ，故该选项错误，不符合题意；
D． 若 ，则 ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
4．（本题3分）一个正数 的两个不同的平方根是 和 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查数的平方根，解一元一次方程．根据一个数的两个平方根互为相反数即可求出a的值．
【详解】解：∵实数 的两个不同的平方根为 和 ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
5．（本题3分）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
根据不等式的基本性质即可求得 ，解答即可．
【详解】解： 关于 的不等式 的解集为 ，
，
，故选：B．
6．（本题3分）在平面直角坐标系中，已知点P坐标为 、点Q坐标为 ，连接PQ后平移得到
，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移和有理数的乘法，熟知平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质，建立关于m，n的等式，据此进行计算即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
解得 ，
所以 ．
故选：B．
7．（本题3分）某工厂的一条流水线匀速生产产品，在有一些产品积压的情况下，经过实验，若安排9人包
装，则需要 可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要 才能包装完所有产品．假设每个人包装速度
一样．现要在 内完成产品包装任务，则至少需要安排的人数是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，设每个人的包装速度为 件/小时，
每小时流水线生产产品 件，原有产品 件，根据“若安排9人包装，则需要 可以包装完所有产品；若安
排6人包装，则需要 才能包装完所有产品”列出方程组，解方程组得出 ，设需要 人在 内完成
产品包装任务，根据“现要在 内完成产品包装任务”列出不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：设每个人的包装速度为 件/小时，每小时流水线生产产品 件，原有产品 件，
由题意得： ，
解得： ，
设需要 人在 内完成产品包装任务，
由题意得： ，即 ，
解得： ，∴至少需要安排的人数是18，
故选：C．
8．（本题3分）规定 为不小于 的最小整数，例如 ， ，若 ， ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据规定 为不小于 的最小整数可得 ，然后求解
即可解答．理解规定 为不小于 的最小整数是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
又∵规定 为不小于 的最小整数，
∴ ，
解得： ．
故选：D．
9．（本题3分）下列命题中：
①若 ，则点 在原点处
②点 一定在第四象限
③已知点 与点 ， 均不为0，则直线 平行于 轴
④在平面直角坐标系中，二四象限角平分线上的点横纵坐标一定互为相反数
是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了判断命题的真假，坐标与图形，根据点的坐标特征逐项判断即可得出答案，熟练掌握各个
象限的点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：若 ，则点 在原点处或 轴上或 轴上，故①错误；
点 一定在第四象限或 轴上，故②错误；
已知点 与点 ， 均不为0，则直线 平行于 轴，故③正确；在平面直角坐标系中，二四象限角平分线上的点横纵坐标一定互为相反数，故④正确；
综上所述，正确的是③④，共 个，
故选：B．
10．（本题3分）若关于 ， 的两个方程组 与 有相同的解，则 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．先由方程组 求得
，结合 ，得到 ，解得 ，再分别求得x、y的值，即可求得b的值，
最后判断点 所在的象限．
【详解】解：方程组 ，
得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 即 在第一象限，
故选：A．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分） 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和平方根，对于两个实数a、b，若满足 ，那么a就叫做b的平方根，满足 ，那么a就叫做b的立方根，据此先求出 的结果， 再根据平方根的定义即可得到答
案．
【详解】解：∵ ，
∴ 的平方根是 ，
故答案为： ．
12．（本题3分）将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果 ，那么
．
【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等
【分析】本题考查了命题与定理，命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…，那么…”的形式，“如
果”后面接题设，“那么”后面接结论，由此即可得解．
【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角是同一个角的余
角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是同一个角的余角，这两个角相等．
13．（本题3分）若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
【答案】16
【分析】本题考查了实数的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键是求出 、 的值．
根据 ，可得出 ， ，代入运算即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∵ 的整数部分是 ，小数部分是 ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为：16．
14．（本题3分）若不等式 的解都能使不等式 成立，则实数a的取值范围是
．
【答案】
【分析】分别求解已知不等式及含参不等式，根据题意构建关于参数的不等式，求解．【详解】解： ，解得
解得
由题意知， ，解得
故答案为：
15．（本题3分）对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结
果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得， ，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
16．（本题3分）已知关于 的二元一次方程组 ，下列四个结论：①当 时，方程组的解
是 ；②无论 为何值，原方程组的解都是方程 的解；③方程组有非负整数解时， ；④若
都为正数， ，则 ，其中正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，将 和 代入方程组，即可判断①正确；解方程
组，即可判断②；由②可知当 时，根据题意得出 ，即可判断③；解方程组得 ，根
据 都为正数，可求出 ，进而即可求解．
【详解】解：由题意可知：
①当 时，关于x、y的方程组 ，
解得： 故①正确，符合题意；② ，
②-①得， ，
解得： ，
把 代入①得， ，
解得： ，
∴ 故②正确，符合题意；
③解方程组 可得： ，
若方程组有非负整数解时，
则 ，即 ，当 时，方程组均有非负整数解，
故③错误，不符合题意；
④
，
∵ 都为正数，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1） ；（2）【分析】（1）先计算立方根、平方根、绝对值，再进行加减计算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2） ，
由 得， ，
由 得， ，
解得 ，
把 代入②得， ，
解得 ，
∴ 是原方程的解．
【点睛】本题考查实数的混合运算、立方根、平方根、绝对值、解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解题
的关键．
18．（本题8分）解决下面问题
(1)解不等式 ；
(2)解下列不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1) ；
(2) ，数轴见解析．
【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次
不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组的解集．
（1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即
可．【详解】（1）解：将不等式 两边同乘以 得，
，
移项合并得 ，
解得 ；
（2）解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
则不等式组的解集为 ，
在数轴上表示：
19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 的三个顶点都
在格点（小正方形的顶点）上．
(1)请写出 、 、 的坐标： ， ， ， ， ， ．
(2)若将 平移得到 ， 中任一点 经过平移后的对应点 的坐标是 ，画出
平移后的 ，并直接写出 在平移过程中，线段 扫过的面积是________．
(3)已知点 ，请用无刻度直尺画出 轴上的点 ，使 ．
【答案】(1)3；5；2；2；5；1
(2)画图见解析；13
(3)画图见解析
【分析】本题考查作图 平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．（1）由图可直接得出答案．
（2）由题意知， 向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到 ，根据平移的性质作图
即可；利用割补法求出四边形 的面积即可．
（3）取点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解：由图可得， ， ， ．
故答案为：3；5；2；2；5；1；
（2）解：由题意知， 向左平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到 ，如图所示：
即为所求；
在平移过程中，线段 扫过的面积为
，
故答案为：13；
（3）解：取点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，如图所示：此时 ， ，
，则点 即为所求．
20．（本题8分）如图， ， ，求证： ． 完成下面的证明过程．
证明： ，
，
______ (______________________)．
(_______________________)．
______ (________________________)．
又 (已知)，
(________________________)．
______ (同位角相等，两直线平行)
(________________________)．
【答案】 ；等量代换；内错角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等；等量代换； ；
两直线平行，同位角相等．
【分析】本题考查了平行线的性质及判定，掌握平行线的性质及判定是解本题的关键．
利用平行线的性质及判定填空即可．【详解】证明： ，
，
（等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
又 (已知)，
（等量代换）．
(同位角相等，两直线平行)
（两直线平行，同位角相等）．
21．（本题8分）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一
次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元
一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解”
(1)组合 是 ；（填梦想解或无缘解）
(2)若关于x的组合 是“梦想解”，求a的取值范围；
(3)若关于x的 是“无缘解”则m的取值范围为 ．
【答案】(1)无缘解
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握求解方法，理解题意是解此题的关键．
（1）分别求出方程和不等式的解，再结合题意判断即可得解；
（2）分别求出方程和不等式的解，再结合“梦想解”的定义得出 ，求解即可；
（3）分别求出方程和不等式的解，再结合“无缘解”的定义得出 ，求解即可．
【详解】（1）解：解方程 得： ，
解不等式 得： ，
方程的解 不满足 ，故此组合为无缘解；（2）解：解方程 得： ，
解不等式 得： ，
∵关于x的组合 是“梦想解”，
∴ ，
解得： ；
（3）解：解方程 得： ，
解不等式 得： ，
∵关于x的 是“无缘解”，
∴ ，
解得： ．
22．（本题10分）四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织8名老师和
392名学生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A、B两种型号的客车可以租
用，已知1辆A型车可以载乘客55人，1辆B型车可以载乘客40人．其中租用3辆A型车和2辆B型车需要
1800元，租用4辆A型车和1辆B型车需要1900元，根据相关要求每辆客车上至少需要一名老师．
(1)求租用一辆A型车和一辆B型车的费用分别是多少？
(2)在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过3150元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费
用是多少？
(3)为响应国家重视教育的号召，租车公司决定降价出租，每辆A型车降价 元，每辆B型车降价m元，在
（2）的租车方案的前提下，若学校的最少租车费用为2650元，直接写出m的值．
【答案】(1)租用一辆A型客车需400元，租用一辆B型客车需300元
(2)学校可以选择2种租车方案．最少租车费用是3000元
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式
组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设租用一辆 型车的费用是 元，一辆 型车的费用是 元，根据“租用3辆 型车和2辆 型车需要1800元，租用4辆 型车和1辆 型车需要1900元”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出
结论；
（2）由师生人数及要求每辆客车上至少需要一名老师，可得出需租用8辆客车，设租用 辆 型车，则租用
辆 型车，根据租用的客车的总承载量不少于 人且租车费用不超过3150元，可列出关于 的一
元一次不等式组，解之可得出 的取值范围，结合 为正整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租
车费用，比较后即可得出结论；
（3）分租车方案1的费用最少及租车方案2的费用最少两种情况考虑，当租车方案1的费用最少时，由租车
方案1的租车费用为2650元，可列出关于 的一元一次方程，解之可得出 的值，求出此时租车方案2的租
车费用，比较后可得出 符合题意；当租车方案2的费用最少时，由租车方案2的租车费用为2650元，
可列出关于 的一元一次方程，解之可得出 的值，求出此时租车方案1的租车费用，比较后可得出
不符合题意．
【详解】（1）设租用一辆 型车的费用是 元，一辆 型车的费用是 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：租用一辆 型车的费用是400元，一辆 型车的费用是300元；
（2） （辆 （人 ， （辆 ，共有8名老师，且要求每辆客车上至少需要一名老
师，
需租用8辆客车．
设租用 辆 型车，则租用 辆 型车，
根据题意得： ，
解得： ，
又 为正整数，
可以为6，7，
学校共有2种租车方案，
方案1：租用6辆 型车，2辆 型车，租车费用为 （元 ；
方案2：租用7辆 型车，1辆 型车，租车费用为 （元 ．
，
最少租车费用是3000元．
答：学校共有2种租车方案，最少租车费用是3000元；（3）当租车方案1的费用最少时， ，
解得： ，
，
符合题意；
当租车方案2的费用最少时， ，
解得： ，
，
不符合题意．
答： 的值为25．
23．（本题10分）已知 ，E为直线 上一点．
(1)如图1，点G在直线 上，若 ， ，则 的度数是___________；
(2)如图2，Q为 上一点，连接 ．若 、 分别平分 、 ， 的延长线交 于点P，且
， ， ，求 的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，N为射线 上一点，连接 ，在直线 的下方作 ， 交
的延长线于点M．直接写出 与 之间的数量关系．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）过F点作直线 ，则 ．由平行线的性质可得 ，
，进而可求出 的度数．
（2）设 ，则 ， ．由平行线的性质和三角形外角定理可得
， ，由此可得 ，即可求出x的值，进而可得 的度数，由平
行线的性质可得 的度数，由 分别平分 即可求出 的度数．
（3）延长 交 于H ．然后分两种情况讨论：①当N点在H点左侧时， ②当N点在H点右侧时．设
，根据平行线的性质和三角形外角的性质将 和 用含有x的代数式表示出来，即
可得到 与 之间的数量关系．【详解】（1）解：过F点作直线 ，
，
，
， ，
，
，
．
故答案为：
（2）解： ，
∴设 ，则 ， ，
，
，
∵ 分别平分 ，
，
，
，
解得 ，
， ，
，
，
，
∵ 分别平分 ，
．
（3）解：延长 交 于H ．
①如图，当N点在H点左侧时，过F点作直线 ．，
，
， ，
设 ，
则 ，
，
又 ，
，
．
②如图，当N点在H点右侧时，过F点作直线 ．
，
，
，
，
设 ，
则 ，
，
，
，
．
综上， 与 之间的数量关系为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
24．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，且
， ，D为 的中点．
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)若点 在线段 的延长线上，请探究m，n的数量关系式；
(3)如图2，把点D向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度至点E．连接 ， ，若
的面积为23，求d的值；
(4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接 ， ，记 的面积为S，
当 时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得： ， ，再结合算术平方根的含义可得 ；
（2）由题意可得 与 是方程 的解；可得这个方程为： ，从而可得答案；
（3）求解 ， ，如图，过 作 轴的垂线，过 作 轴的垂线，交点为 ，再
利用面积建立方程求解即可；
（4）如图，当 在 的右边时，过 作 轴的垂线，过 作 轴的垂线，交点为 ， 与过 且平行于
轴的直线交于 ， ，如图，当 在 的右边时，过 作 轴的垂线与过 且平行于 轴的直线
交于 ， ，再建立不等式组解题即可；
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
综上： ， ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 与 是方程 的解；
∴ ，
解得： ，
∴这个方程为： ，
由题意可得： 是方程 的解，
∴ ；
（3）解：∵ ， ， D为 的中点．
∴ ，
把点D向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度至点E．
∴ 即 ，
如图，过 作 轴的垂线，过 作 轴的垂线，交点为 ，∴ ， ，而 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
，
，
∵ 的面积为23，
∴ ，
解得： ；
（4）解：如图，当 在 的右边时，过 作 轴的垂线，过 作 轴的垂线，交点为 ， 与过 且平行
于 轴的直线交于 ，
由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
如图，当 在 的右边时，过 作 轴的垂线与过 且平行于 轴的直线交于 ，由题意可得： ，
同理可得： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
综上： 或 ；
【点睛】本题考查的是坐标与图形面积，整式的乘法运算的应用，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组
的应用，平移的性质，本题难度大，计算量大，清晰的分类讨论是解本题的关键.
