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专题第 01 讲 与旋转有关的计算
1．（2023春•秦都区期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，将BE绕点B逆时针
旋转60°得到BD，连接DE、AD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周长．
2．（2023春•北林区期末）如图，在正方形 ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将
△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．
（1）求证：EF＝EQ；
（2）求证：EF2＝BE2+DF2．
3．（2022秋•同心县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：△CDE是等边三角形；
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
4．（2023春•清远期末）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的
位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．
5．（2023春•白银期中）如图，在四边形 ABCD中，∠BCD＝120°，BC＝CD，AC⊥BD，点E在对角线BD上，将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到线段CF，连接DF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若EB＝EC，求证：AC⊥CF．
6．（2023春•南城县期中）如图，点 O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到
CD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：BO＝AD；
（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．
7．（2023春•罗源县校级期中）如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点
D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4．（1）若∠ABC＝135°．B、E、D三点在同一条直线上，求BG的长；
（2）若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值．
8．（2023春•成武县期中）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．
（1）如图（1），CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图（2），将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相
交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明．
9．（2023春•九江期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，
分别延长BC与ED交于点F，连接AF、CE．
（1）求证：FA平分∠CFE；（2）若S四边形ABFD ＝12，AC＝4，求CE的长．
10．（2023春•盱眙县期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交
FG于点H．连接BE、CH．
（1）四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
（2）若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC
为菱形．
11．（2023春•平山县期末）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线
AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕
点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a
﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之
前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
12．（2023春•振兴区校级期中）如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，射线BM⊥BC于
点C，动点D从点B出发沿射线BM方向运动；以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒；
（1）以点A为旋转中心，将AD逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BE，BE是否存在最小值，不存
在，则说明理由，存在则求出BE最小时的t值及BE的最小值；
（2）若射线BN为∠ABM的平分线，当点D从B点出发时，点F从点A向B点与点D同时同速运动（0≤t≤2），连接FD交BN于点G，当△BGF为等腰三角形时，直接写出所有可能的t值．
13．（2023春•迁安市期中）老师在黑板上出示题目：
如图1，在△ABC中，∠A＝32°，∠C＝55°，线段CB′与CB边重合，CB′从现
在的位置绕着点C按逆时针方向旋转一周
回到原来的位置是否有一位置使
CB′∥AB？如果有这样的位置，请画出示
意图，并求出∠BCB′的度数，如果没有
说明理由
（1）（如图2）嘉嘉认为：有这样一个位置，使得 CB′∥AB，如图．请你按照嘉嘉的做法，求出
∠BCB′的度数．
（2）（如图3）琪琪认为：嘉嘉的想法不全面，还存在另外一种情况使得CB′∥AB你是否同意琪琪的
说法？如果同意，请画出图形，并求出此时∠BCB′的度数；如果不同意，请说明理由．14．（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利
用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝
BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，
CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
15．（2023春•清江浦区期末）如图1，MN∥PQ，点A在直线MN上，点B在直线PQ上，射线AC绕点A顺时针从射线AM旋转至射线AN后便立即回转；射线BD绕点B顺时针从射线BP旋转至射线BQ后便
立即回转：射线AC、射线BD不停地来回旋转．若射线AC转动的速度是a度/秒，射线BD转动的速度
是b度/秒，且a、b是方程a+3b＝6的正整数解．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）如图2，若∠BAN＝45°，两条射线同时转动，在射线AC到达AN之前，若两条射线交于点E，过
E作EF⊥AC交PQ于F，若∠BEF＝20°，求∠BAC的度数；
（3）若射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，在射线BD到达BQ之前，射线AC转动几秒，射
线AC与射线BD互相平行？
16．（2023春•蒸湘区期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB
与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）在图1中，∠DPC＝ ；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三
角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时
三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两
三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？
17．（2023春•雄县期中）教材中有这样一道题：如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，
DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：AF﹣BF＝EF．小明通过证明△AED≌△BFA解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下以下回题，请你解答．
（1）若图1中的点G为CB延长线上一点，其余条件不变，如图 2所示，猜想此时AF，BF，EF之间
的数量关系，并证明你的结论．
（2）将图1中的△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F'，如图3
所示，若正方形的边长为3，求EF'的长度．
18．（2023春•长垣市期末）综合与实践
数学社团的同学以“两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°）”为主题开
展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线AB和CD之间．探究：（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，求∠FGC
的度数；
类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，
且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，若存在∠FGC＝5∠DGE
（∠DGE＜45°），直接写出射线GF与AB所夹锐角的度数．
19．（2023春•阳城县期末）如图 1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，其中∠ONM＝30°，
∠ OCD ＝ 45° ．（1）观察猜想：将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD
与MN相交于点E，则∠CEN＝ ；
（2）操作探究：将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如
图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展：将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC
旋转多少度时，边CD恰好与边MN平行？
20．（2023春•岱岳区期末）知识探究：如图1，点E是正方形ABCD对角线AC上任意一点，以点E为直
角顶点的直角△EFG两边EF，EG分别角与AD，AB相交于M点，N点．当EF⊥AD时，请探究EM与EN的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当△EFG绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究EM与EN的数量关系，
并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作EH⊥AB于点H，如图3，证明H是线段BN的中点．
21．（2023春•顺平县期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶
点，且这两个正方形边长相等．OE与BC相交于点M，OG与CD相交于点N．
（1）求证：△OBM≌△OCN；（2）嘉琪说：当正方形EFGO绕点O转动，且OE与BC垂直时，四边形OMCN的面积最小．你同意
嘉琪的说法吗？请说明理由；
（3）若正方形ABCD的边长为a，用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为 ．
22．（2023春•沈丘县期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝
60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．
（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，则∠AOE＝ ；
（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．
23．（2023春•东昌府区期末）在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD
逆时针旋转630°得到HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连
接AD″，DD″．
（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：D′A＝DC；（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．
24．（2022秋•河口区期末）感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝
90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．
探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转 （0＜ ＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然
成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，
α α
使得点D落在BC的延长线上，连结CE．求：
①∠ACE的度数；②若AB＝AC＝2 ，CD＝2，则线段DE的长是多少？
25．（2023春•内乡县期末）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角
板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板
ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板 ABC的其中一边平行于三角板 EDC的某一边时，求此时 t等于
（直接写出答案即可）．26．（2023春•衡山县期末）一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在
BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D
落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒．
（1）当t＝ 秒时，DE∥AB；当t＝ 秒时，DE⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，连接AE，设∠BAE＝x°，∠AED＝y°，
∠DFB＝z°，试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．27．（2023春•太原期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D是平面内一点，将线段
AD绕点A按逆时针方向旋转100°得到线段AE．
（1）当点D在△ABC内部时，连接BD，CE．请判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
（2）请从A，B两题中任选一题作答．
A．当点D在△ABC内部时，若直线DE恰好经过点B，直接写出∠BEC的度数．
B．当点D在△ABC外部时，若直线DE恰好经过点C，直接写出∠BDC的度数．28．（2023春•遂平县期末）如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°．
（1）如图1，求∠EFB的度数；
（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．
①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为 °；
②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一
边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理
由．29．（2023•碑林区校级模拟）似曾相识
（1）如图①，正方形ABCD的边长等于4，中心为O，正方形OA′B′C′的边长也等于4，在正方形
OA′B′C′绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？
若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围．
类比探索
（2）如图②，等边△ABC 的边长等于 4，中心为 O，等边△OA′B′的边长也等于 4，在等边
△OA′B′绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？
若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．30．（2023•青山湖区模拟）●问题发现
如图1，△ABC和△DEF都是等边三角形，边BC和EF在同一直线上，O是边BC的中点，BE＝CF，
连接AD，则下列结论正确的是 ．（填序号即可）①OE＝OF；
②AD＝BE；
③AD⊥BE；
④整个图形是轴对称图形．
●数学思考
将图1中的△DEF绕着点O旋转，△ABC不动，连接AD和BE，如图2，则AD和BE具有怎样的数量
和位置关系？请给出证明过程；
●拓展应用
已知AB＝8cm，DE＝4cm，在图1中的△DEF绕着点O旋转的过程中，当BE⊥DF时，求线段AD的长
度．#ZZA0
