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专题 06 二次函数中面积问题的两种考法
类型一、面积最值问题
例．抛物线 交x轴于点 ，交y轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；
(2)直接写出当 时，x的取值范围．
(3)如图，点P是线段 上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时， 的面积
最大．
【变式训练1】如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点
．
(1)求抛物线的对称轴及 值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点 ，使得 的值最小，求此时点 的坐标；
(3)点 是抛物线上一动点，且在第三象限，当 点运动到何处时，四边形 的面积
最大？求出四边形 的最大面积．【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交与 ， 两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使 的面积最大？若存在，求出点P
的坐标及 的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交
于点 和点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求 周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
类型二、求面积问题
例．已知： ， 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线 的
图象经过点 ．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线与 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求 的面积；
(3) 是线段 上的一点，过点 作 轴，与抛物线交于 点，若直线 把
分成面积之比为 的两部分，请求出 点的坐标．
【变式训练1】如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为 ，连接 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若 ，
①求m的值；②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结 ．设 的面积为S．若S为正偶
数，试求点P的坐标．
【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与 轴
交于点 ，点 是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在直线 下方运动，且满足 时，求点 的坐标；
(3)设 的面积为 ，当 为某值时，满足条件的点 有且只有三个，不妨设为 ， ，
，求 的面积．
课后训练
1．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于 ，
两点，其中点 在原点左侧，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线顶点为 ，点 在第三象限的抛物线上，
①若直线 与直线 关于直线 对称，求点 的坐标；
②如图2，若直线 与抛物线交于点 ， ， ，与抛物线线的对称轴 交于点 ，若 ，连接 ， ，求 的取值范围．
2．已知： 关于 的函数 ．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于
点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
说明理由．
3．如图1，经过原点O的抛物线 （a、b为常数， ）与x轴相交于另一
点 ．在第一象限内与直线 交于点 ，抛物线的顶点为C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点D，使得 ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存
在，请说明理由；(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，
EF与直线OB交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值．
