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专题 06 几何最值四大模型
模型一：轴对称最值模型 模型二：直角之最值模型
模型三：费马点最值模型 模型四：面积法求定值
模型一：将军饮马问题
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，
则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
模型二：费马点
【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
图文解析：
如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，
CP=PP′，PA=P′A′，
∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．
∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长
∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′
【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，
∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；
当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在
这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线
段.
【知识应用】两点之间线段最短.
模型一：轴对称最值模型
1.（春•庐江县期末）如图，在菱形 ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，
BD＝4 ，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则 EP+BP的最小值
为（ ）A．4 B．2 C．2 D．8
2.（2022•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，
E 为 AB 的中点，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+AP 的最小值为
（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
3.（2022春•裕华区校级期末）如图，在菱形 ABCD中，∠D＝135°，AD＝3
，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF
的最小值（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
4．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的 4 的正方形 ABCD 中，点
E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的
最小值为（ ）A． B． C． D．
5．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E在AD
上，点 F 在 BC 上，且 AE＝CF，连结 CE，DF，则 CE+DF 的最小值为（
）
A．26 B．25 C．24 D．22
模型二：直角之最值模型
6．（2023春•河东区期中）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，
AC＝8，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，
DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8
7．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，
BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若
∠B＝45°，BC＝2 ，则GH的最小值为（ ）A． B． C． D．
8．（2023秋•石景山区期末）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接
CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ．
9．（2023秋•洪洞县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是
AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（
）
A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
10．（2023秋•头屯河区期末）正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一
动点，且 BE＝CF，连结 AE，BF，两线交于点 P，连接 CP，则 CP 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．11．（2023秋•海珠区期末）如图，在矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的
动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个
端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，
则MN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
模型三：费马点最值模型
13.（2023秋•白银区期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一
动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6+ D．
14．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足
∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（ ）
A． B． C． D．
模型四：面积法求定值15．（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC
＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值
为（ ）
A． B． C． D．
16.（2023春•东昌府区期中）如图，菱形 ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，
M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023•深圳模拟）如图，点E是正方形ABCD内部一个动点，且AD＝EB＝8，BF＝
2，则DE+CF的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．
2．（2023春•邗江区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、
CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的
最小值为（ ）A． B． C． D．
3．（2023春•南谯区期末）如图，在矩形 ABCD中，边AB，AD的长分别为4和3，点E
在CD上，点F在AB的延长线上，且EC＝BF，连接FC，当点E在边CD上移动时，
AE+FC的最小值为（ ）
A．7 B． C．10 D．
4．（2023•德阳）如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过
点C，D作BD，AC的▱平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边
上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．3
5．（2023春•常州期末）如图，在菱形 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边
AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．6．（2023春•遵化市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一
动点P满足S△PAB ＝ S矩形ABCD ，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（
）
A．5 B． C． D．
7．（2023春•长丰县期末）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，
且 BE＝BC，点 P 是 CE 上一动点，则点 P 到边 BD，BC 的距离之和 PM+PN 的值
（ ）
A．是定值 B．是定值8
C．有最小值 D．有最大值8
8．（2023春•庐江县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q
在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．（2023•福田区校级三模）如图，点M是矩形ABCD内一个动点，AB＝AM＝6，BC＝
4，点N为线段AM上一点，且AN＝ AM，连接BN和CM，则BN+CM的最小值为（）
A． B．5 C． D．
10．（2023•河东区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上
的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
11．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F
为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
12．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE
＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为
（ ）A．8 B．8 C．8 D．12
13．（2023秋•莱西市期末）如图，在菱形 ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动
点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（
）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
14.（2022春•海口期末）如图，在菱形 ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，
点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在
PE+PF的最小值，则这个最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（2023春•孝南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝
4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则
PM的最小值为（ ）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
16．（2023•芜湖一模）如图，在正方形 ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC
边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称
点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
