文档内容
专题 07 二次函数（2 个知识点 5 大题型 1 个易错点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1．二次函数的定义（重点）
知识点2．根据实际问题列二次函数关系式（重点）
【方法二】 实例探索法
题型一：根据二次函数的定义求参数的值
题型二：根据实际问题列二次函数的表达式
题型三：根据探究规律二次函数的表达式
题型四：待定系数法求二次函数解析式
题型五：根据动态问题列二次函数的表达式
【方法三】 差异对比法
易错点1根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而
导致错误
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式
2.能根据概念判断函数是不是二次函数
3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。
【知识导图】【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1．二次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中
x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是
常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的
取值范围还需使实际问题有意义．
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，
但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
【例1】（2022秋甘肃平凉阶段练习）下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A选项： 是一次函数，故此选项错误；
B选项： ，是二次函数，故此选项正确；
C选项： ，为一次函数，故此选项错误；
D选项： 是组合函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．知识点2．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【例2】（2022春•金东区校级月考）某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，
如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+a B．y＝a（x﹣1）2 C．y＝a（1﹣x）2 D．y＝a（1+x）2
【解答】解：依题意，
得y＝a（1+x）2．
故选：D．
【方法二】实例探索法
题型一：根据二次函数的定义求参数的值
1.（2023·上海假期作业）若函数 是关于 的二次函数，则 ____．
【答案】
【详解】解：∵函数 是关于 的二次函数，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
2.（2022秋•诸暨市期末）已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（ ）
A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1
【解答】解：由题意得：
|m|＝2且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，故选：C．
3．（2022春·全国·九年级专题练习）已知函数 是二次函数，求m的值．
【答案】
【详解】解： 是二次函数，得
，
解得： ．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）若 ．
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）解：(1)当 是二次函数时，
有 ，
解得 ，
∴当 时，此函数是二次函数；
（2）当 是一次函数时，
有 ，
解得 或 ，
∴ 或 时，此函数是一次函数．
题型二：根据实际问题列二次函数的表达式
5．（2022秋•萧山区月考）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式
正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（400﹣5x） B．y＝（x﹣35）（600﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
【解答】解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：y＝（x﹣35）（400﹣
5x），
故选：A．
6.（2022秋•桐庐县校级月考）某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞
0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为 ．
【解答】解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝100（1+x）2（x＞0）．
故答案为：y＝100（1+x）2（x＞0）．
7．（2021秋•拱墅区校级期中）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10
米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为
x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 ；自变量x的取值范围为
．
【解答】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：S＝（21﹣3x+3）x＝﹣3x2+24x；
由题意可得： ，
解得： ≤x＜6．
故答案为：S＝﹣3x2+24x， ≤x＜6．
8．（2022秋•义乌市月考）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜
园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围）
【解答】解：∵AB边长为x米，
而菜园ABCD是矩形菜园，
∴BC＝ （30﹣x），
菜园的面积＝AB×BC＝ （30﹣x）•x，
∴y＝﹣ x2+15x．
故填空答案：y＝﹣ x2+15x．
9．（2021春·九年级课时练习）如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积
S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．
【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30）
【详解】∵铁丝的长是60cm，一边长xcm，
∴另一边长是（30-x）cm，
∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）.
10．（2022秋·全国·九年级专题练习）某种产品现在的年产量是 ，计划今后两年增加产量．如果每年都
比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系
应怎样表示？
【答案】 ，y是x的函数
【详解】解：这种产品的原产量是 ，一年后的产量是 ，再经过一年后的产量是
，即两年后的产量 ，即 ①
①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y
是x的函数．
11．（2023·浙江·九年级假期作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽
相等，高比长多 ．
（1）长方体的长和宽用 表示，长方体的表面积 的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式
是什么？
【答案】（1） ；（2）
【详解】解：（1）
；
（2） ．
题型三：根据探究规律二次函数的表达式
12．（2021春·全国·九年级专题练习）下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角
形，它们的边长分别为1，2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律
推断 与 有怎样的关系．
【答案】S=n2(n 1)
【详解】当n=1⩾时，S=1；
当n=2时，S=4；
当n=3时，S=9；
当n=4时，S=16.….
依此类推,总数S与边长n的关系式S=n2(n 1).
故答案为S=n2(n 1) ⩾
题型四：待定系⩾数法求二次函数解析式13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）抛物线 经过 、 、 三点，
求抛物线解析式．
【答案】
【详解】∵抛物线 经过 、 、 三点，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
∴抛物线的解析式为： ．
题型五：根据动态问题列二次函数的表达式
14.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝
60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以
2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时
间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．
(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？
(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？
【答案】(1)5s(2)
【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C=30°，
∴CD=2DF，AC=2AB，
∵AC＝30cm，
∴AB=15cm，
根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，
∴DF=2tcm，
∴DF=AE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，
即30-4t=2t，解得：t=5；
（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，
∴ ， ，
由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，
∴ ．
15．（2021秋·吉林四平·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC= ．动点P
从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B
重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）．
（2）当点Q与点C重合时，求t的值．
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．【答案】（1） ；（2） ；（3）当0＜t≤1时， ，当1＜t＜2时， .
【详解】解：（1）∵PD⊥AC，
∴ ，
∵∠A=45°，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∵AC= ，
∴ ；
（2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°，
∴∠A=∠PQD=45°，
∴PA=PQ，
∴AD=DQ ，
∵点Q与点C重合，
∴AD+DQ=AC，
∴2AD=AC，
即 ，
解得 ；（3）①当0＜t≤1时，
，
②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ，
，
∴
∴ ．
【方法三】差异对比法
易错点1根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为 0这个条件而
导致错误
16.（2022秋•蜀山区校级月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
易错总结：求二次函数中字母参数的值，要根据二次函数定义，在保证二次函数中含自变量的代数式是整式的
前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0的条件。解此题时，容易忽略二次项次数不为0
这个条件，得出错解-5或-1.
【方法四】 成果评定法
一、单选题1．（2023·浙江·九年级假期作业）以下函数式二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、当 时， 不是二次函数，故本选项错误；
B、由 得到 ，是一次函数，故本选项错误；
C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D、由原函数解析式得到 ，符合二次函数的定义，故本选项正确．
应选：D．
2．（2023·全国·九年级假期作业）二次函数 的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：二次函数 的二次项系数是 ．
故选：B．
3．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）长方形的周长为 ，其中一边为 ，面
积为 ．那么 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意可得：
∵长方形的周长为 ，其中一边为 ，
∴长方形的另一边长为 ，
∴ ，
故选：D．4．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合
题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②．
故选：B．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百
分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ．
故选：B
6．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地 ，其中 ．计划在绿地上
建造一个矩形的休闲书吧 ，使点P，M，N分别在边 上．记 ，图中阴影部分的面积为 ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函
数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
二、填空题
7．（2023·上海·九年级假期作业）一台机器原价为 万元，如果每年的折旧率是 ，两年后这台机
器的价格为 万元，则 与 之间的函数关系式为 ．
【答案】
【详解】解：∵一台机器原价为 万元，每年的折旧率是 ，两年后这台机器的价格为 万元，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．故答案为： ．
8．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位
上的数的和等于10）： ．设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为 ，
则y关于x的函数关系式为 ．
【答案】 （ 的整数）
【详解】解：∵两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10，一个乘数为 ，则：另一个
乘数为 ，
∴ （ 的整数）；
9．（2023·全国·九年级假期作业）某化工厂 月份生产某种产品 ， 月份生产这种产品 ，则 与产
品产量的月平均增长率 之间的函数关系式是 ．
【答案】
10．（2022春·全国·九年级专题练习）二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是 ．
【答案】 3
【详解】解：二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是3，
故答案为： ；3．
11．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， ， ， ，四边形 是 的内接
矩形，如果 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 与 的函数关系式为 ．
【答案】
【详解】 ， ，．
四边形 是 的内接矩形，
， ， ，
，
．
， ，
∴ ，
，
．
12．（2023·湖北荆门·校联考模拟预测）我们发现： ， ， ，…，
，一般地，对于正整数 ， ，如果满足 时，
称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完美方根数对，则下面4个结论：① 是完美方根
数对；② 是完美方根数对；③若 是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则
点 在抛物线 上，其中正确的结论有 （填序号）
【答案】①③④
【详解】解：∵ ，
∴ 是完美方根数对；故①正确；
∵ ，
∴ 不是完美方根数对；故②不正确；
若 是完美方根数对，则 ，
即 ，
解得 或 ，∵ 是正整数，
则 ，故③正确；
若 是完美方根数对，则 ，
∴ ,
即 ，故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题
13．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的
关系式．
【答案】
【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
14．（2023·浙江·九年级假期作业）当 为何值时，函数 是二次函数．
【答案】
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ 且 ，
解得： ，
即当 为 时，函数 是二次函数．
15．（2022秋·九年级单元测试）已知点 为二次函数 图像上的点，求代数式的值．
【答案】25
【详解】∵点 在二次函数 图像上
∴
∴
∵
把 代入 得
16．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30
元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量
（千克）是销售单价 （元）的一次函数，且当 时， 时， ．在销售过程中，每
天还要支付其它费用450元．
(1)求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式．
【答案】(1) ( )；
(2) ( )
【详解】（1）设 与 的函数关系式为
．
时， ，
时， ，
，解得 ，
，
根据部门规定，得 ．
（2）
17．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知函数 ．
(1)当a为何值时，此函数是二次函数；
(2)当a为何值时，此函数是正比例函数．
【答案】(1) 时，此函数是二次函数；
(2) 或 或2，此函数是正比例函数．
【详解】（1）解：由题意得： 且 ，解得： ，
∴当 时，此函数是二次函数；
（2）解：由题意得： 且 ，或 ， 且 ，
解得： 或 或2，
当时 或 或2，此函数是正比例函数．
18．（2022春·全国·九年级专题练习）若函数 是关于x的二次函数，求m的值．
【答案】1
【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数，∴ ， ，
解得 ，
∴ 的值为1．
19．（2021春·九年级课时练习）如图，在 ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动
点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以△PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为 ，四边形CDPE的面积为 ，请直接写出 与 的函数解析式及自变量 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】
（1）在 ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
△
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，
∴∠EPB=30°，∴EB
（2）设AP= ，则BP=4— ，在两个含有30°的 中得出：AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得： ，
∵PD=PE，∴ 解得 即有AP=
（3）由（2）知：AP= ，
20．（2022·全国·九年级假期作业）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210
件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过
80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y
件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）当 时， ，即 ．
当 时， ，即 ，则
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为
21．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函
数的不动点．例如，点 是函数 的不动点．已知二次函数 （ 是实数）．
(1)若点 是该二次函数的一个不动点，求 的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求 的取值范围．【答案】(1) 或
(2)
【详解】（1）解：依题意把点 代入解析式 ，
得 ，化简得： ，解得： ；
（2）解：设点 是函数 的一个不动点，
则有 ，化简得， ，
关于 的方程有实数解，
，解得： ．
22．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，现有
一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度
沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts， 的面积为
S，求：
（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当 时，求线段PQ的长；
（3）当t为何值时， ？
【答案】（1） ；（2） ；（3）当t为2或3时， ．
【详解】解：（1）由条件可得： ， ，
∴ ，∴ ， ；
（2）当 时， ， ，
∴ ；
（3）由题意可得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
∴当t为2或3时， ．
23．（2021秋·内蒙古赤峰·九年级统考期中）作图并完成解答：
(1)在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作
线段M的垂直平分线 ，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的垂线 ，记 ， 的交点为P．②
在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．
(2)对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是 ，求y与x的函数关系式．
【详解】（1）解：如图所示：（2） ；
∵P在AM的垂直平分线上
∴ ，
∵P点坐标为 ， 轴
∴ ，
由勾股定理知： 或
∴ 或
∴关系式： ．
24．（2022春·九年级课时练习）已知：二次函数 的图象经过点 ．
(1)求 的值；
(2)设 、 、 均在该函数图象上，
①当 时， 、 、 能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当 取不小于5的任意实数时， 、 、 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①当 时， 、 、 不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析（1）解：把 代入二次函数 得： ，
．
（2）解：①答：当 时， 、 、 不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当 时， 、 、 ，
代入抛物线的解析式得： ， ， ，
，
当 时， 、 、 不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是： 把 、 、 代入 得：
， ， ，
，
， ， ， 都是大于的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当 取不小于5的任意实数时， 、 、 一定能作为同一个三角形三边的长．
25．（2023·广东云浮·统考一模）如图1，在 中， ， ， ．点D从A点
出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与 的直角边AC（或BC）相交于点E．设线
段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几
组数据：
变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐
标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当 时， ________；当 时， ________．
②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数 B．变量a是以h为自变量的函数
(2)如图3，记线段DE与 的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积 为s．
①分别求出当 和 时，s关于a的函数表达式；②当 时，求a的值．
【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A
(2)①当 时， ；当 时， ；② 或
【详解】（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当 时， 1.5；当 时，
1或3．
故答案为：1.5；1或3；
②连线如图2-1、图2-2所示：
③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，
故A选项符合，
故选：A.
（2）①如图3，当 时， ，
∴阴影部分的面积： ；
当 时， ，∴阴影部分的面积： ．
∴当 时， ；当 时， ．
②当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，舍去）．
当 时，令 ，解得 或 （不符合题意，含去）．
∴当 时， 或 ．
26．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）在矩形 中， ，E是AB边上一动点，
以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停
止运动．设动点运动的时间为t（s）， 的面积为S（cm2）
(1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围．
(2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积．【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）解： ，
，
，
根据题意得
，
解得： ；
（2）由勾股定理可得，
，
，
，
①当 为直角时， ，
即
解得 ，
；
②当 为直角时， ，
即 ，
解得 或 ，
，
都不符合；
③当 为直角时， ，
即 ，
解得 （舍）或 ，．
27．（2019·广东·统考模拟预测）如图①，等边三角形 的边长为2， 是 边上的任一点(与 不
重合)，设 ，连接 ，以 为边向两侧作等边三角形 和等边三角形 ，分别与边
交于点 ．
(1)求证： ；
(2)求四边形 与△ABC重叠部分的面积 与 之间的函数关系式及 的最小值；
(3)如图②，连接 ，分别与边 交于点 ．当 为何值时， ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ； 的最小值为 ；（3）当 时，
．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出 ，据此通过证明△ADM和△APN全等后利用全等
三角形性质证明结论即可；
（2）作 于点 ，首先结合（1）中结论得出四边形 与△ABC重叠部分四边形 的面
积 的面积，之后利用勾股定理以及三角函数的概念求出△ADP的面积，由此进一步分析求解即可；
（3）连接PG，利用菱形的性质以及等腰直角三角形的性质进一步进行计算即可.
【详解】(1)证明：∵△ABC，△APD，△APE都是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
在△ADM和△APN中，∵
∴△ADM △APN(ASA)，
∴ ≅ ；
(2)如图，作 于点 ．
∵△ADM △APN
∴四边形≅ 与△ABC重叠部分四边形 的面积 的面积．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
∵ 是等边三角形，
∴△ADP的面积= ，
即： ，
∴ 的最小值为 ；
(3)连接 ，如图：当 时，
∵ ，
∴ ．
易知四边形 是菱形，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
解得 ．
∴当 时， ．
