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专题 07 数据的分析 （知识串讲+热考题型）
一．调查收集数据的过程与方法（共4小题） 二．算术平均数（共4小题）
三．加权平均数（共3小题） 四．中位数（共5小题）
五．众数（共3小题） 六．极差（共4小题）
七．方差（共12小题） 八．统计量的选择（共5小题）
一．调查收集数据的过程与方法
（1）在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析
表和图来了解情况．
（2）统计图通常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图．
（3）设计调查问卷分以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题．
（4）统计调查的一般过程：
①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集数据；
②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；
③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
二．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x ，x ，…，x ，则 ＝ （x +x +…+x ）就叫做这n个数的算术平均数．
1 2 n 1 2 n
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等
时，就是算术平均数．
三．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x ，x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，w ，…，w ，则x1w1+x2w2+…
1 2 3 n 1 2 3 n
+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占
30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差
异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
四．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是
这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据
中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
五．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数
就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数
可作为描述一组数据集中趋势的量．．
六．极差
（1）极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
极差＝最大值﹣最小值．
（2）极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它只能反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情
况．
（3）极差的优势在于计算简单，但它受极端值的影响较大．
七．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个
结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
1 2 n
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；
反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．八．统计量的选择
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多
数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从
而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数
据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较
两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述
一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，
描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，
则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越
大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
一．调查收集数据的过程与方法（共4小题）
1．（2022春•东城区期末）为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满
意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案：
方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游；
方案二：在恭王府景区随机调查400名游客；
方案三：在北京动物园景区随机调查400名游客；
方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客．
在这四种调查方案中，最合理的是（ ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．方案四
【分析】根据调查收集数据应注重代表性以及全面性，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，
应在上述四个景区各随机调查400名游客．
故选：D．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握数据收集的方式是解题关键．
2．（2022春•永年区月考）某校八年级共有5个班级，每个班的人数在50人左右．为了了解该校八年级
学生最喜欢的体育项目，八年级（二）班的四位同学各自设计了如下的调查方案：
甲：我准备给八年级每班的学习委员都发一份问卷，由学习委员代表班级填写完成．乙：我准备给八年级所有女生都发一份问卷，填写完成．
丙：我准备在八年级每个班随机抽取10名同学各发一份问卷，填写完成．
丁：我准备在八年级随机抽取一个班，给这个班所有的学生每人发一份问卷，填写完成．则四位同学的
调查方案中，能更好地获得该校学生最喜欢的体育项目的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果
比较近似．
【解答】解：甲的调查方案不足之处：抽样调查所抽取的学生数量太少；
乙的调查方案的不足之处：抽样调查所抽取的样本的代表性不够好；
丁的调查方案的不足之处：抽样调查所抽取的样本的代表性不够好；
故选：C．
【点评】本题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确理解抽样调查的随机性是解题关键．
3．（2023春•襄都区月考）某商场为了解用户最喜欢的家用电器，设计了如下尚不完整的调查问卷：
该商场准备在“①制冷电器，②微波炉，③冰箱，④电饭锅，⑥空调，⑥厨房电器”中选取四个作
为问卷问题的备选项目，你认为最合理的是（ ）
A．①②③④ B．①③⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤
【分析】根据调查问卷设置选项的不重复性，不包含性，即可解答．
【解答】解：该商场准备在“①制冷电器，②微波炉，③冰箱，④电饭锅，⑥空调，⑥厨房电器”
中选取四个作为问卷问题的备选项目，我认为最合理的是：②③④⑤，
故选：D．
【点评】本题考查了调查收集数据的过程与方法，熟练掌握设置问卷的原则和方法是解题的关键．
4．（2022春•广平县校级月考）已知某校共有七，八，九三个年级，每个年级有 4个班，每个班的人数在
20～30之间，为了解该校学生家庭的教育消费情况，现设计了如下的调查方案．
方案一：给全校每个班都发一份问卷，由班长填写完成；
方案二：把问卷发送到随机抽取的七年级某个班的家长微信群里，通过网络提交完成：
方案三：给每个班学号分别为1，5，10，15，20的同学各发一份问卷，填写完成．以上哪种调查方案
能较好的获得该校学生家庭的教育消费情况，并说明其他两个调查方案的不足之处．【分析】在随机抽取样本时，不要偏向总体中的某些个体，选取的样本既要有随机性，又要有代表性，
且数量不能太少；结合以上条件试着判断三个调查方案是否合理．
【解答】解：方案三的调查方案能较好地获得该校学生家庭的教育消费情况．
方案一的调查方案的不足之处：所抽取的对象数量太少；
方案二的调查方案的不足之处：所抽取的样本的代表性不够好．
【点评】本题考查了调查收集数据的过程与方法，正确理解抽样调查的随机性是解题的关键．
二．算术平均数（共4小题）
5．（2023春•临平区期中）已知一组数据，前8个数据的平均数是x，还有两个数据的分别为84，84，则
这组数据的平均数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平均数＝总数÷个数计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数＝（8x+84+84）÷（8+2）＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查的是算术平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
6．（2023•潮南区模拟）一组数据﹣2，1，3，x的平均数是2，则x是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．7
【分析】由数据﹣2，1，3，x的平均数是2，知 ＝2，解之即可得出答案．
【解答】解：∵数据﹣2，1，3，x的平均数是2，
∴ ＝2，
解得x＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
7．（2023春•温州期中）已知数据x ，x 的平均数是2，数据x ，x ，x 的平均数是4，则x ，x ，x ，x ，
1 2 3 4 5 1 2 3 4
x 这组数据的平均数是 3. 2 ．
5
【分析】根据加权平均数的定义分别求出两组数的和，再按照加权平均数的计算方法计算即可解答．
【解答】解：∵数据x ，x ，x 的平均数是2，
1 2 3
数据x ，x 的平均数是4，
4 5∴数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数是 ＝3.2．
1 2 3 4 5
故答案为：3.2．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．求出5个数的总和，掌握加权平均数的求法是解答本题的关
键．
8．（2023春•下城区校级期中）一组数据为：1、2、3、4、5、6、7，则这组数据的平均数是 4 ．
【分析】先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数．
【解答】解：（1+2+3+4+5+6+7）÷7＝28÷7＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平均数，解题时牢记公式是关键．
三．加权平均数（共3小题）
9．（2023春•萧山区期中）双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体
育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按 5：3：2计入综合评价，若宸宸学习成绩为90分，
体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为（ ）
A．84 B．85 C．86 D．87
【分析】根据加权平均数的计算方法即可求解．
【解答】解：根据题意，他的综合评价得分为 ＝86（分）．
故他的总成绩是86分．
故选：C．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．
10．（2023•平谷区一模）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活
动，该社区的10名中学生参与了该项活动，回收的旧电池数量如表：
电池数量（节） 2 5 6 8 10
人数 1 4 2 2 1
根据以上数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 6 ．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：这10名中学生收集废旧电池的平均数为 ＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
11．（2023•东城区校级模拟）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时） 5 6 7 8
人数 10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6. 4 小时 ．若该中学共有2000名学生，请你估计
这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有 20 0 名．
【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算；再用 2000乘
以8小时所占样本的比例即可．
【解答】解： ，
∴这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时， ，
∴这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有200名，
故答案为：6.4小时，200．
【点评】此题考查了加权平均数，样本估计总体，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平
均数的计算公式列出算式是解题的关键．
四．中位数（共5小题）
12．（2023•天府新区模拟）2023年春节前夕，天府新区师生以“绘天府•迎新春”为主题，创作上万件艺
术作品，在约8.8公里的兴隆湖环湖跑道上进行展览，某校九年级 5个班提供的艺术作品数（单位：
件）分别为：13，21，27，27，23，则这组数据的中位数是（ ）
A．23 B．21 C．26 D．27
【分析】根据中位数的意义，找到排序后处在中间位置的数即可．
【解答】解：将这五个数据从小到大排列：13，21，23，27，27，
∴中位数是23．
故选：A．
【点评】本题考查中位数的意义，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数
是中位数．
13．（2023•东莞市校级一模）数据2、3、3、5、4的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位
数．
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：2、3、3、4、5．位于最中间的数是3，
所以这组数的中位数是3．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺
序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶
数个则找中间两位数的平均数．
14．（2023•黑龙江一模）一组数据按从小到大排列为2，4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为9，则
x是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．13
【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值．
【解答】解：由题意得，（6+x）÷2＝9，
解得：x＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是关键．
15．（2022秋•泰山区校级期末）某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的
平均数是4，则这组数据的中位数是 4 ．
【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
【解答】解：x＝4×7﹣3﹣3﹣4﹣5﹣5﹣6＝2，按从小到大排列为2，3，3，4，5，5，6，
所以中位数为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是中位数和平均数的定义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据
分成了相同数目的两部分．
16．（2023•武汉模拟）在“4•23世界读书日”来临之际，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，
为了解学生的参与程度，从全校随机抽取a名学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t（单
位：分钟），将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整放计图表．
平均每天阅读时间统计表
等级 人数
A（t＜20） 5
B（20≤t＜30） 10C（30≤t＜40） b
D（40≤t＜50） 80
E（t≥50） c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b的值；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 D 等级 ；
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校学生以2000人计算，
估计可评为“阅读达人”的学生人数．
【分析】（1）根据样本容量＝频数÷所占百分数，合理选择计算即可．
（2）根据中位数的定义计算即可．
（3）利用样本估计总体的思想计算即可．
【解答】解：（1）∵D级的人数为80人，占比为40%，
∴40%×a＝80，
∴a＝200，
∵C级人数的占比为20%，
∴b＝20%×200＝40．
∴a＝200，b＝40；
（2）∵c＝200﹣5﹣10﹣40﹣80＝65，
根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在
D等级，它们的平均数也在D等级，
故答案为：D等级．
（3）∵统计表中平均每天阅读时间不低于50分钟的学生人数为65人，
∴E级的比例为： ，
当总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为：32.5%×2000＝650人．【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体的思想，中位数，熟练掌握统计图的意义，
中位数的计算是解题的关键．
五．众数（共3小题）
17．（2023•锦江区模拟）某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这
组数据，以下说法正确的是（ ）
劳动时间 3 4 5 6
（小时）
人数 3 2 1 1
A．中位数是4，平均数是3 B．众数是3，平均数是3
C．中位数是4，平均数是4 D．众数是6，平均数是4
【分析】根据中位数和众数、平均数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的中位数为4，众数为3，平均数为 ＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数和众数、平均数的定义．
18．（2023•昌江县校级模拟）某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：
85，88，90，92，93，93，95则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．93，92 B．93，93 C．95，92 D．95，93
【分析】将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就是这组数据的
中位数．
【解答】解：这组数据的众数是93，中位数是92．
故选：A．
【点评】本题考查了众数，中位数，掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数
据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两
个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
19．（2023•碑林区校级模拟）共享单车是高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使
用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某
天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表．
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 11 15 24 27 18 5
（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是 2. 5 ，众数是 3 ；
（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？（结果保留整数）（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上的学生有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中使用共享单车次数在3次以上的学生所占的百分比，进而估计总体中使用共享单车次
数在3次以上的学生所占的百分比，由频率＝ 进行计算即可．
【解答】解：（1）将调查的100人共享单车的使用次数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均
数为 ＝2.5，即中位数是2.5，
被调查的100名学生共享单车的使用次数出现次数最多的是3次，共出现27次，因此众数是3，
故答案为：2.5，3；
（2） ≈2（次），
答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车约为2次；
（3）1500× ＝345（人），
答：该校某天出行的1500名学生中，使用共享单车次数在3次以上的学生大约有345人．
【点评】本题考查众数、中位数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握
平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
六．极差（共4小题）
20．（2023•龙泉驿区模拟）在一次体育考试中，六名男生引体向上的成绩如表，对于这组数据，下列说
法不正确的是（ ）
成绩（个次） 10 11 13 17 23
人数 2 1 1 1 1
A．极差是13 B．众数是10 C．中位数是15 D．平均数是14
【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可．
【解答】解：极差为23﹣10＝13，平均数＝ ＝14，众数是10，中位数是
＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了极差、平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．
21．（2023•紫金县校级开学）已知一组数据：4，﹣1，5，9，7，则这组数据的极差是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
【分析】根据极差的定义即极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
【解答】解：这组数据的极差是：9﹣（﹣1）＝10；
故选：A．
【点评】本题考查了极差，掌握极差的定义是关键，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；
注意：极差的单位与原数据单位一致．
22．（2023•东明县一模）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新冠肺炎疫情发生后，某班学生积极参加
献爱心活动，该班40名学生的捐款统计情况如表，关于捐款金额，下列说法错误的是（ ）
金额/元 10 20 30 50 100
人数 2 18 10 8 2
A．平均数为32元 B．众数为20元
C．中位数为20元 D．极差为90元
【分析】根据加权平均数、众数、中位数、极差的定义，分别求出，就可以进行判断．
【解答】解：平均数为： ＝32（元），故A不符合题意；
捐款数中最多的是20元，因而众数为20元，故B不符合题意；
将捐款数从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数为 20元，30元，中位数为（20+30）÷2＝25
（元），故C符合题意；
极差为：100﹣10＝90（元），故D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查加权平均数、中位数和众数、极差的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
23．（2022春•通海县期末）在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所
示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中不正确的是（ ）A．中位数是80 B．众数是80 C．平均数是82 D．极差是40
【分析】根据中位数、众数、平均数以及极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：∵共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（80+80）÷2＝80，
故选项A正确，不合题意；
∵80出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是80；
故选项B正确，不合题意；
故B正确，不符合题意；
∵平均数是（60×1+70×1+80×5+90×2+100×1）÷10＝81；
故选项C结论错误，符合题意；
最大值与最小值的差为100﹣60＝40，
故选项D正确，不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数以及极差，关键是能从统计图
中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数和极差．
七．方差（共12小题）
24．（2023春•九龙坡区校级期中）初二年级的甲、乙、丙、丁四位同学进行跳绳练习，每人的 10次跳绳
练习的平均成绩均是186个/分钟，但四人的成绩方差分别是S甲 2＝0.25，S乙 2＝0.32，S丙 2＝0.5，S丁 2
＝0.15，成绩最稳定的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲 2＝0.25，S乙 2＝0.32，S丙 2＝0.5，S丁 2＝0.15，
∴S丁 2＜S甲 2＜S乙 2＜S丙 2，
∴成绩最稳定的同学是丁，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
25．（2023春•温州期中）已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S
甲
2＝0.06，乙同学1分钟跳绳的方差到S乙 2＝0.35，则（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩更稳定B．乙的成绩比甲的成绩更稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越
小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲 2＝0.06，
乙同学1分钟跳绳成绩的方差S乙 2＝0.35，
∴S甲 2＜S乙 2，
∴甲的成绩比乙的成绩更稳定．
故选：A．
【点评】本题考查了方差、算术平均数等知识，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越
小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．
26．（2023春•滨江区校级期中）若样本x +1，x +1，…，x +1的平均数是5，方差是2，则样本2x +2，
1 2 n 1
2x +2，…，2x +2的平均数、方差分别是（ ）
2 n
A．5，2 B．10，2 C．10，4 D．10，8
【分析】由数据2x +2，2x +2，…，2x +2是将原数据分别乘以2所得，其平均数是原平均数的2倍，
1 2 n
方差是原方差的22倍，据此可得答案．
【解答】解：∵样本x
1
+1，x
2
+1，…，x
n
+1⋅的平均数是5，方差是2，
∴2x +2，2x +2，…，2x +2的平均数是2×5＝10，方差是22×2＝8，
1 2 n
故选：D．
【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是熟练掌握方差和平均数的性质．
27．（2023春•西湖区校级期中）杭州市之江实验中学七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，
若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（ ）
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为15岁，方差改变
C．平均年龄为15岁，方差不变
D．平均年龄为13岁，方差不变
【分析】根据两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变知平均年龄为15岁，方
差不变．
【解答】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，
所以平均年龄为15岁，方差不变．故选：C．
【点评】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
28．（2023春•瑞安市校级期中）下表记录了四名运动员几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳
定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（秒） 12.2 12.1 12.2 12.1
方差 6.3 5.2 5.8 6.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先从平均数可判断乙运动员和丁运动员的成绩较好，然后根据方差的意义可判断乙运动员比丁
运动员发挥稳定．
【解答】解：由表中数据得到乙运动员和丁运动员的成绩较好，
因为5.2＜6.1，
所以乙运动员比丁运动员发挥稳定，
所以应该选择乙运动员参加市运动会．
故选：B．
【点评】本题考查方差：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
29．（2023春•余姚市校级期中）为了提高体育中考成绩，体育老师组织同学们进行了跳绳项目的训练．
小明和小聪最近8次一分钟跳绳的成绩如下：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
小明 200 180 195 196 182 174 190 195
小聪 190 189 190 192 192 187 192 180
（1）分别求出小明、小聪跳绳的中位数、众数．
（2）通过计算说明，哪位同学的跳绳成绩比较稳定？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义分别求出小明、小聪跳绳的中位数、众数；
（2）先分别求出小明、小聪的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）把小明的8次成绩从小到大排列为：174，180，182，190，195，195，196，200，
中位数是： ＝192.5，
众数是195；
把小聪的8次成绩从小到大排列为：180，187，189，190，190，192，192，192，
中位数是： ＝190，众数是192；
（2）小明的平均成绩是：（200+180+195+196+182+174+190+195）÷8＝189，
方差是： ×[（200﹣189）2+（180﹣189）2+（195﹣189）2+（196﹣189）2+（182﹣189）2+（174﹣
189）2+（190﹣189）2+（195﹣189）2]＝74.75；
小聪的平均成绩是：（180+187+189+190+190+192+192+192）÷8＝189，
方差是： ×[（180﹣189）2+（187﹣189）2+（189﹣189）2+2×（190﹣189）2+3×（192﹣189）2]＝
14.25，
∵74.75＞14.25，
∴小聪同学的跳绳成绩比较稳定．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中
位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；
众数是一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
30．（2023春•渝北区校级期中）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全
防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了
20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共
分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，
87，90，93，100，100．
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：
80，80，80，80，82．
根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
八年 71 a 70 30%
九年级 71 80 b c%
（1）请填空：a＝ 7 0 ，b＝ 8 0 ，c＝ 5 5 ；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理
由（写出一条理由即可）；（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1200人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩
为优秀．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值，用优秀的人数除以总人数求c即可；
（2）可从平均数、众数、中位数和优秀率角度分析求解；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是70分，故众数a＝70；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为 80、80，故中位数为b＝ ＝
80，
九年级的优秀率为 ×100%＝55%，
故答案为：70，80，55；
（2）九年级成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级；
（3）1200× ＝510（人），
答：估计该校八、九两个年级大约共有510人成绩为优秀．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数以及平均数的定义
和优秀率的意义是解题的关键．
31．（2023春•九龙坡区校级期中）四月，正是春暖花开、草长莺飞的时节．“时光花店”里各类鲜花的
销量都逐步增长，其中大家最喜欢购买的品种是香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花．店主对最近 10天香槟玫
瑰和铃兰这两种鲜花的销售额进行统计，记录下两种鲜花的销售额（单位：元），并作了整理、描述和
分析（每天的销售额用x表示，共分为三个等级，其中A：400≤x＜500，B：300≤x＜400，C：200≤x
＜300），下面给出了部分信息：
10天里香槟玫瑰的销售额：500，430，370，290，300，360，260，280，360，450．10天里铃兰的销售额中“B”等级包含的所有数据为：360，370，370，370．
10天里香槟政瑰和铃兰销售额的统计表
品种 平均数 中位数 众数 方差
香槟政瑰 360 360 a 5760
铃兰 365 b 370 4160
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 36 0 ，b＝ 36 5 ；
（2）若四月除去休息日，共开店25天，估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A”等级的天数；
（3）根据以上数据，你认为四月里香摈玫瑰和铃兰两种鲜花的销售情况哪种更好？请说明理由（写出
一条理由即可）．
【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）用25乘样本中铃兰销售额达到“A”等级的天数所占比例即可；
（3）根据统计表平均数、中位数、众数和方差的值解答即可．
【解答】解：（1）10天里香槟玫瑰的销售额中360出现的次数最多，故众数a＝360；
把10天里铃兰的销售额从小到大排列，排在中间的两个数是 360、370，故中位数b＝ ＝
365．
故答案为：360；365；
（2）25× ＝10（天），
答：估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A”等级的天数约10天；
（3）铃兰的销售情况更好，理由如下：
因为铃兰销售额的平均数、中位数，众数均大于香摈玫瑰，铃兰销售额的方差小于香摈玫瑰，所以铃兰
的销售情况更好．
【点评】本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整
理的相关概念．32．（2023春•滨江区校级期中）某区举办中学生科普知识竞赛，各学校分别派出一支代表队参赛．知识
竞赛满分为100分，规定85分及以上为“合格”，95分及以上为“优秀”．现将A，B两个代表队的竞
赛成绩分布图及统计表展示如下：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
A队 88 90 61 70% 30%
B队 a b 71 75% 25%
（1）成绩统计表中，a＝ 8 7 ，b＝ 8 5 ．
（2）小明的成绩虽然在本队排名属中游，但是竞赛成绩低于本队的平均分，那么小明应属于哪个队？
（3）哪一个队成绩比较稳定，请选择一个恰当的统计角度进行分析．
【分析】（1）结合条形图中的数据，根据平均数和中位数的概念求解即可；
（2）由A队的中位数为90分高于平均分88分，B队的中位数85分低于平均数87分可得答案；
（3）从平均分、合格率、优秀率及方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）B队成绩的平均分a＝ ＝87，中位数
b＝ ＝85．
故答案为：87；85；
（2）∵A队的中位数为90分高于平均分88分，B队的中位数85分低于平均数87分，
∴小明应该属于B队；
（3）A队成绩比较稳定，理由如下：
①A组的平均数和中位数高于B队，优秀率也高于B队，说明A队的总体平均水平高于B队；②A队的中位数高于B队，说明A队高分段学生较多；
③虽然B队合格率高于A队，但A队方差低于B队，即A队的成绩比B队的成绩整齐，
所以A队成绩比较稳定．
【点评】此题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．
33．（2023春•镇海区校级期中）为积极准备初三体育中考，某学校从报考“引体向上”项目的男生中选
取了若干同学，随机分成甲、乙两个小组，每组人数相同，进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩
绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数/人 1 9 5 5
（1）m＝ 3 ；甲组成绩的中位数 ＞ 乙组成绩的中位数（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求甲组的平均成绩；
（3）计算出甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，则成绩更加稳定的是 乙 组（填
“甲”或“乙”）．
【分析】（1）由各分数人数之和等于40可得m的值，根据中位数的定义求出甲、乙组中位数即可得出
答案；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）根据方差的意义求解即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：1+9+5+5+2+9+6+m＝40，
解得m＝3，
甲组成绩一共有20个，从小到大最中间为8和9，则中位数为 ＝8.5，
乙组成绩的中位数为 ＝8，
所以甲组成绩的中位数＞乙组成绩的中位数，
故答案为：3，＞；（2）甲组的平均成绩为 ×（7×1+8×9+9×5+10×5）＝8.7，
（3）∵ ，
∴乙组的成绩更加稳定．
故答案为：乙．
【点评】此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．
34．（2023春•东阳市期中）某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”
比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为100分．现将测试结果绘制成如下统计图
表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）表中a＝ 77. 5 ；b＝ 8 5 ．
（2）求出乙得分的方差．
（3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由．
平均（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2）
甲 75 a b 93.75
乙 75 75 80，75，70 S乙 2
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出b、c的值；
（2）根据方差的定义列式计算即可；
（3）答案不唯一，根据平均数，方差，中位数，众数，可得答案．
【解答】解：（1）甲的成绩从小到大排列为：60，65，65，75，80，85，85，85，
∴甲的中位数a＝ （75+80）＝77.5，
∵85出现了3次，出现的次数最多，∴众数b是85，
故答案为：77.5，85；
（2）乙的方差为： ×[2×（75﹣75）2+2×（80﹣75）2+2×（70﹣75）2+（85﹣75）2+（65﹣75）2]＝
37.5；
（3）应选甲参赛较好（答案不唯一），
理由：①从平均数和方差相结合看，甲、乙的平均数相等，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比
甲的成绩稳定；
②从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
【点评】本题考查了折线统计图，方差，中位数，利用方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题
关键．
35．（2023春•上城区期中）某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派
出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 8 5 85 8 5
B校 85 8 0 100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
（3）分别求出A校、B校的方差即可．【解答】解：（1）A校平均数为： ×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；
B校中位数80（分）．
填表如下：
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 85 85 85
B校 85 80 100
故答案为：85；85；80．
（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．
（3）B校的方差 ＝ ×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝
160．
∴ ＜ ，
因此，A校代表队选手成绩较为稳定．
【点评】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺
序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注
意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
八．统计量的选择（共5小题）
36．（2023•江北区一模）某鞋店对某款女鞋一周的销售情况进行统计，结果如下：
尺码 35 36 37 38 39 40
销售量 6 18 33 12 2 1
（双）
根据上表信息，该店主决定下周多进一些37码的鞋子，影响店主进货决策的统计量是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统
计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：A．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
37．（2023•双流区模拟）某同学对七个数据42，35，46，3■，46，37，52进行统计分析，发现第四个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，被污染的数字是十位数字是3的数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列，42永远占据7个数的中间位置，
∴不受影响的是中位数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大
到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数
据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
38．（2023春•慈溪市校级期中）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表
所示：
鞋的尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量双 1 2 5 11 7 3 1
若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店
为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售
数据是众数．
故选：A．
【点评】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．
根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主
最应关注的销售数据是众数．
39．（2023春•瑞安市校级期中）某快递公司有20名快递员，调查得到每个快递员的日均运送单数如表：
日均运送单数（单） 49 50 51 54 56 58 60 62
人数 1 2 1 6 5 1 3 1
（1）求这20名快递员日均运送单数的平均数，众数和中位数；
（2）若要使80%的快递员都能完成任务，应选什么统计量（平均数，中位数，众数）作为日均运送单
数的定额？
【分析】（1）根据加权平均数、众数和中位数的定义解答即可．（2）应根据平均数、中位数和众数和本题的80%可知选择哪个统计量比较合适．
【解答】解：（1）由表格可得，
平均数为： ×（49×1+50×2+51×1+54×6+56×5+58×1+60×3+62×1）＝55.2；
众数为54；
中位数是 ＝55；
（2）由题意可得，若要使占80%的工人都能完成任务，应选中位数作为日生产件数的定额．
【点评】本题考查统计量的选择、平均数、中位数和众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件．
40．（2023春•温州期中）某工艺品厂草编车间共有16名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据
如下表：
日均生产能 10 11 12 13 14 16
力（件）
人数 1 2 6 4 2 1
（1）这16名工人日均生产件数的平均数＝ 12. 5 件，众数＝ 1 2 件，中位数＝ 1 2 件；
（2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，如果
你是管理者，应选择什么统计量作为日生产件数的定额？
【分析】（1）平均数＝加工零件总数÷总人数，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数
就是中间两个数的平均数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；
（2）分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．
【解答】解：（1）由表格可得，
平均数为： ×（10+11×2+12×6+13×4+14×2+16）＝12.5（件），
12出现的次数最多，故众数是12，
16名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为12、12，故中位数是 ＝12（件）；
故答案为：12.5，12，12；
（2）当定额为13个时，有13人达标，3人获奖，不利于提高工人的积极性，
当定额为12个时，有9人达标，7人获奖，利于提高大多数工人的积极性，
∴定额为12个时，有利于提高大多数工人的积极性，
故应选择中位数作为日生产件数的定额．【点评】本题考查了统计量的选择，平均数、众数、中位数的意义，掌握平均数、众数、中位数的定义
是关键．
