文档内容
专题 08 矩形的性质和判定六种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、利用矩形的性质求角度.......................................................................................................................1
类型二、利用矩形的性质求线段长...................................................................................................................3
类型三、利用矩形的性质求面积.......................................................................................................................5
类型四、斜边的中线等于斜边的一半................................................................................................................8
类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题...........................................................................................10
类型六、矩形的性质与判定的综合问题..........................................................................................................15
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................18
解题知识必备
1.矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四
边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
压轴题型讲练
类型一、利用矩形的性质求角度
例题：（24-25九年级上·宁夏银川·期中）矩形 的对角线相交于点O，且 ，则
．
【答案】 /120度
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度
【分析】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定与性质，解题关键是根据矩形的性质得出 是等
边三角形．
根据矩形的对角线互相平分且相等可得 ，然后判断出 是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，
又 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为∶ ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形 中，点 在边 上，且 平分 ，若
，则 的度数为 ．
【答案】60°/60度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度
【分析】先证明 ，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案．本题考查的是等
腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运
用．
【详解】解： 矩形 中， ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
；
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， 平分 交 于点 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、利用矩形的性质求角度
【分析】此题考查了矩形的性质，三角形外角性质，根据矩形的性质得到 ，根据角平
分线求出 ，由此得到 ，再根据三角形外角性质求出答案．
【详解】解：在矩形 中， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为 ．
类型二、利用矩形的性质求线段长
例题：（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形 中，若对角线 ，则 ．
【答案】4
【知识点】根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
根据矩形的对角线相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
，
，
，
故答案为：4．
【变式训练】1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别是
、 的中点，若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
根据勾股定理求出 ，根据矩形性质得出 ， ， ，求出 、 ，根据三
角形中位线求出即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，
∵点 、 分别是 、 的中点，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O， 垂直平分
，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求
线段长
【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形
是等边三角形是解决问题的关键．由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出 ，推出
是等边三角形，得出 ，由勾股定理求出 即可．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ，，
垂直平分 ，
， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
类型三、利用矩形的性质求面积
例题：（24-25八年级上·江西·开学考试）如图， 过长方形 （即 ， ）对角线的
交点 ，且分别交 、 于点 、点 ，如果长方形 的面积是 ，那么阴影部分的面积是
．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积
【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根
据矩形的性质得出 ， ，推出 ，然后证明 ，利用全等三角
形性质得出 ，从而进一步求解即可．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
在 和 中，，
，
等底同高的三角形面积相等，
，
．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 的直线分别交
、 于点 、 ，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ．
【答案】28
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形 的面积
的面积，证明 ．
由矩形的性质推出矩形 的面积 的面积，证明 ，得到 ，进而
得到 求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
在 和 中∴ (AAS)，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：28．
2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方
法．如图1， 是矩形 的对角线，将 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按
照图2重新摆放，观察两图，若 ，则矩形 的面积是 ．
【答案】64
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、根据矩形的性质求面积
【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为 ，得到矩形的长为 ，宽为
．列得 ，将 代入即可求．
【详解】解：设小正方形的边长为 ，
矩形的长为 ，宽为 ．
由图1、图2可得 ，
整理得 ．
， ，
，
，
矩形的面积为 ，
故答案为64．类型四、斜边的中线等于斜边的一半
例题：（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在 中， ， 是 边上中线，E是 上
一点，且 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】此题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识．由等腰
三角形的性质得到 ， ， 是直角三角形，由 得到 ，则
，得到 ，根据直角三角形斜边中线性质得到 ．
【详解】解：∵ ， ， 是 边上中线，
∴ ， ，
∴ 是直角三角形，
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：2
【变式训练】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ，D，E，F分别是 的中
点．若 ，则 ．
【答案】2【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形中位线的性质是
解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，然后根据三角形中位线的性质即可解答．
【详解】解：∵ ，D是AB的中点，
∴ ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ ．
故答案为2．
2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图， 是 的高， ， 是 ， 的中点，若 ，
，则四边形 的周长为 ．
【答案】22
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一
半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出 、 ，根据线段中点的概念分别求出 、 ，进而
求出四边形 的周长．
【详解】解：∵ 是 的高，
∴ ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 的周长 ，
故答案为：22．
类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
例题：（2024·福建三明·二模）如图，在 中， ， ，把 绕点A逆时针旋转
得到 ，点D与点B对应，点D恰好落在 上，过E作 交 的延长线于点F，连接 并延长交 于点G，连接 交 于点H．下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】连接 ，可证四边形 是矩形， ，即可判断①③；根据①③的结论
可推出 垂直平分 ，进而可得 是等腰直角三角形，从而可判断②；证明 ，推出
，设 ，推出 ， ，判断④即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴
由题意得：
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴
∵
∴
∴∴
∴
∴
∴点 是 的中点
即： ，故①正确；
∵ ，
∴
∵
∴
∴
同理可证
∴ ，故③正确；
∵
∴ 垂直平分
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故④正确；
故选：A．
【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较
强，需要学生具备扎实的几何基础．【变式训练】
1.（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形 中， ， 相交于点 ，且
，动点 从点 开始，沿四边形的边 运动至点 停止， 与 相交于点 ，
点 是线段 的中点．连接 ，下列结论中：
①四边形 是矩形；
②当 时，点 是 的中点；
③当 ， 时，线段 长度的最大值为2；
④当点 在边 上，且 时， 是等边三角形，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等，
由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形 是矩形，即可判断①；可证明 是 中
位线， ，而点E可以在 上，也可以在 上，据此可判断②；根据 ，
则 有最大值时， 有最大值，则点E与点D重合时， 的最大值为4，则 长度的最大值为2，据
此可判断③； 不平行，则 ，据此可判断④．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形，故①正确；
当点E在 上时，
∵ 分别是 的中点，
∴ 是 中位线，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点；
当点E在 上时，同理可得 ，但此时点 不是 的中点，故②错误；由②可知， ，
∵点E沿四边形的边 运动至点 停止，且
∴ 的最大值为4，此时点E与点D重合，
∴ 的最大值为2，故③正确；
当点 在边 上，
∵ 不平行，
∴ ，
∴ 不可能是等边三角形，故④错误；
∴正确的有①③，共2个，
故选；B．
2.如图，矩形 中， ， 相交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点
作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．则下列结论：① ；② ；③
；④当 时，四边形 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】证 ，得出 ， ，判断①；证 ，
得出 ， ，判断③；证四边形 是平行四边形，得出 ，判断②；证四边形
是平行四边形，证出 ，则 ，得出四边形 是菱形；判断④；即可得出结
论．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ， ， ， ，
，
， ，
，，
在 和 中，
，
，
， ，故①正确；
在 和 中，
，
，
， ，故③正确；
，即 ，
，
四边形 是平行四边形，
，故②正确；
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形；故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等
是解题的关键．类型六、矩形的性质与判定的综合问题
例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形 中，点 分别在 上，且
， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求角度
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判
定，利用勾股定理列方程是解题的关键；
（1）先证四边形 是平行四边形，再结合对角线相等证明即可；
（2）根据勾股定理，可得 ， ，即可得到
方程 ，再求解即可．
【详解】（1）证明：证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，在 中， ，
，
解得： ，
，
．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是 对角线 上的点（不与A，C重合），连接
，过点E作 交 于点F．连接 交 于点G， ， ．
(1)求证： 是矩形；
(2)若点E为 的中点，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形
的性质与判定求角度
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到 ，则 ，由等边对等角得到 ，则
可证明 ，进而可证明平行四边形 是矩形；
（2）由矩形的性质得到 ，则可证明 是等边三角形，得到 ，
则 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：∵四边形 是矩形，点E为 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行
四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：
2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，
， ，且 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形
的性质与判定求面积
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理
等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
（1）根据已知条件得出 ，进而得到 ，再结合平行四边形的性质，得出 ，
即可证明结论；
（2）根据矩形的性质，易证 是等边三角形，进而得到 ， ，再证明四边形
是平行四边形，从而推出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用邻补角互补求角度、直角三角形的两个锐角互余、利用矩形的性质求角度
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以
，因为 ，则 ，即可作答．
【详解】解：如图：∵两个矩形叠合放置，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（江西省景德镇市2025届年九年级第一次质量检测卷数学）如图， 中， ，点
为 的中点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线性质可 ，然后利用等腰三角形的性质可得 ，
进而可得出结论．
【详解】解：∵ ， D为 中点，
，
，
．
故选：A．
3．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ，若
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行内错角相等、等边对等角、利用矩形的性质求角度
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题
的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂
直； ④对角线：矩形的对角线相等．
连接 ，由矩形性质可得 、 ，知 ，而 ，可得
度数．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，即 ．
故选：A．
4．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩
形．如图，已知书架是平行四边形，对角线 ， 相交于点 ，下列验证方法错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】证明四边形是矩形
【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据
矩形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是矩形，故A符合题意；
四边形 是平行四边形，
，
，
，
平行四边形 是矩形，故选项B不符合题意；
，四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形，故选项C不符合题意；
由四边形 是平行四边形， ，不能判定平行四边形 是矩形，故D符合题意．
故选D．
5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形 中， 的平分线交 于点E，交 的延
长线于点F，取 的中点G，连接 ， ， ， ，下列结论：① ；② ；③
；④若 ，则 ；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩
形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．先求出 ，判断出 是等
腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 ， ，从而得到 ，故①正确；
再求出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 ，再求出，然后利用“边角边”证明 ，得到 ，由
，得到 ， ，故②错误；由于 ，得到
，故③正确；由 是等腰直
角三角形得到 ，求得 ，过G作 于M，求得 ，进而得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵点G为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
∵ ，
∴ ，
故③正确；
∵ ，
∴设
∵ ，
∵ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过G作 于M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确．
故选：C．
二、填空题
6．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形 中，若 ，对角线 ，则矩形 的面
积是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积
【分析】根据矩形性质，求得 ，利用面积公式解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵矩形 ，∴ ，
∵ ，对角线 ，
∴ ，
∴矩形 的面积为： ，
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，矩形 中，对角线 、 相交于点 ，过点 作
交 于点 ．已知 ， 的面积为 ，则 的长为 ．
3
【答案】1.5/ /
2
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．注意掌握辅
助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
连接 ，由题意可得 为对角线 的垂直平分线，可得 ， ，由三角形的面积
则可求得 的长，得出 的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
由题意可得， 为矩形 的对角线 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ．∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ．
故答案为： ．
8．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形 的对角线 与 相交于点 ， ，
， ， ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求
面积
【分析】连接 ，与 交于点F，只要证明四边形 是菱形，四边形 是平行四边形结合勾
股定理即可解决问题．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ， ，
∵矩形 的对角线 与 相交于点O，
∴ ， ，
∴平行四边形 是菱形．
连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∴四边形 的面积为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，
解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题．
9．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在直角三角形 中， ， ， ，点
是边 上一点（不与点 ， 重合），作 于点 ， 于点 ，若点 是 的中点，
则 长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将 转化为 是解题的关键．
连接 ，根据矩形的性质可得 ，则 ，当 时， 取得最小值，根
据等面积法求解即可，进而可得 的最小值．
【详解】如图，连接 ，
∵ ， ， ，
四边形 是矩形，
，
∵点P是 的中点，
∴点P是 和 的交点，∵ ， ， ，
，
∵ ，
当 时， 取得最小值，
，
．
．
即 的最小值是 ．
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）矩形 中， 平分 ， ，则下列结论
① ；
② 是等腰三角形；
③ ；
④ ，
其中正确结论的序号为
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据矩形的
性质求线段长
【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌
握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据矩形的性质和角平分线的定义得， ，进而得 ，则
为等边三角形，从而得 ，由此可求出 的度数，进而可对①进行判断；
由 为等边三角形得 ，证 为等腰直角三角形得 ，由此可对②进行判断；先求
出 ，进而得 ，则 ，由此可得 的度数，进而可对③进行判断；
由 可对④进行判断．
【详解】解： 四边形 为矩形，
， ，
平分 ，，
，
，
∴ 为等边三角形，
，
，故①正确，符合题意；
∵ 为等边三角形，
，
又 ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
，
∴ 是等腰三角形，故②正确，符合题意；
， ，
，
， ，
，
，故③错误，不符合题意；
，
，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④．
三、解答题
11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，在矩形 中，E是 上一点，且 ，
于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求矩形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形 的面积为65【知识点】利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题
的关键．
（1）证 即可，推出 ，即可证明；
（2）连接 ，由（1） ，设 ，在 中，列式求解求出 ，即可解决．
【详解】（1）证明： 四边形 为矩形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）连接 ，
由（1）知 ，
设 ，
则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得 ，即 ，
∵ ，
∴
∴ ．
12．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）已知：如图，在 中， ， 分别是 和 的中点．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，当 与 满足怎样关系时，四边形 为矩形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当 时，四边形 为矩形，理由见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的
判定是解题的关键．
（1）利用平行四边形的判定即可得证；
（2）补充条件为 ，结合点 为 的中点，利用三线合一性质可得 ，由（1）得四边形
为平行四边形，利用矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
， 分别是 和 的中点，
， ，
，
又 ，
四边形 为平行四边形．
（2）解：当 时，四边形 为矩形，理由如下：
如图，
，点 为 的中点，
，
，
由（1）得，四边形 为平行四边形，
四边形 为矩形．
13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，将矩形纸片 沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕
交 于点E，交 于点F，与对角线 交于点O， ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和
ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）由矩形的性质得到 ，又由已知 即可证明
；
（2）连接 ，先证明 ，再证明 为等边三角形，得到 ，在 中，
，则 ，由勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵点A与点C对折重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．
【点睛】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，
证明 和 为等边三角形是解题的关键．
14．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形 中， ， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)点E是 上一点，点F是 的中点，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决
本题的关键是掌握矩形的判定和性质．
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知 ，然后可求 的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．∵ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：∵ ，点F是 的中点，
∴ ，
，
∵四边形 是矩形，
∴ ．
15．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形 中， ， ，
，点 是 边上的中点，点 为 边上一点，连接 、 ， 与 的延长线交于点
．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 的值为 ．
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边
形性质和判定证明、证明四边形是矩形
【分析】（ ）根据平行四边形的判定定理得到四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到
求得 ，得到 ，根据矩形的判定定理得到结论；
（ ）根据平行四边形的性质得到 ，求得 ， ，推出 ，得到
，由点 是 边上的中点，得到 ，然后证明 ，根据全等三角
形的性质得到 ，再由等量代换得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 边上的中点，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的值为 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判
定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形 中， ，点E是射线 上一个动点，
连接 并延长交射线 于点F，将 沿直线 翻折到 ，延长 与直线 交于点M．
(1)求证： ；
(2)当点E是边 的中点时，求 的长；
(3)当 时，直接写出 的长．【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题、根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合
（HL）
【分析】（1）根据矩形和折叠的性质易证 ，即得出 ；
（2）连接 ，易证 ，得出 ．设 ，则 ，
，再根据勾股定理列方程求解即可；
（3）分类讨论：①当点F在B点上方时和②当点F在B点下方时，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵将 沿直线 翻折到 ，
∴ ．
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图．
∵点E是边 的中点，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（3）解：分类讨论：①当点F在B点上方时，如图，
设 ，则 ，
根据（1）可得 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②当点F在B点下方时，如图，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，∴ ．
综上可知 的长为 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等
知识，利用勾股定理列方程求解是解题关键．
