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专题 1.2 二次函数全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 二次函数的定义
定义：一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，
a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
注意：二次函数的二次项系数 ，而b、c可以为零．2
【典例1】（2023秋•驻马店期末）下列函数：①y＝3−❑√3x2；②y = ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝
x2
（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：①y＝3−❑√3x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，
故选：C．
【典例2】（2023秋•太康县期末）如果函数y=(m+1)xm2−2m−1是二次函数，那么m的值是
．
【分析】根据二次函数的定义求出m的值即可．
【解答】解：∵函数y=(m+1)xm2−2m−1是二次函数，
∴m+1≠0，m2﹣2m﹣1＝2，
解得m＝3．
故答案为：3．
【典例3】（2023秋•江津区校级月考）若y＝（a+1）x|a﹣1|+5x﹣3是关于x二次函数，则a＝ ．
【分析】根据二次函数的定义：形如 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a≠0），可得|a+3|＝2 且
a+1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|a﹣1|＝2且a+1≠0，
解得a＝3．
故答案为：3．
知识点2 二次函数的图象和性质
1．二次函数y=ax2 (a≠0)的性质：
（1）函数 的图象与a的符号关系．
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点；
③ 决定抛物线的开口大小： 越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大．
（2）抛物线 的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是 （y轴）．a的 开口 顶点
对称轴 增减性
符号 方向 坐标
时，y随x的增大而增大； 时，y随
向上 (0, 0) y轴
x的增大而减小； 时，y有最小值0．
时，y随x的增大而减小； 时，y随
向下 (0, 0) y轴
x的增大而增大； 时，y有最大值0．
2．二次函数y=ax2+c(a≠0)的性质：
a的 开口 顶点
对称轴 增减性
符号 方向 坐标
时，y随x的增大而增大； 时，y随
向上 (0, c) y轴
x的增大而减小； 时，y有最小值c．
时，y随x的增大而减小； 时，y随
向下 (0, c) y轴
x的增大而增大； 时，y有最大值c．
3．二次函数y=a(x−h) 2+k(a≠0)的性质：
a的 开口 顶点
对称轴 增减性
符号 方向 坐标
（h， 时，y随x的增大而增大； 时，y随
向上 x=h
k） x的增大而减小； 时，y有最小值k．
（h， 时，y随x的增大而减小； 时，y随
向下 x=h
k） x的增大而增大； 时，y有最大值k．
4．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
b 4acb2
配方：二次函数yax2 bxca(x )2
2a 4a
a的 开口
顶点坐标 对称轴 增减性
符号 方向
b
x 时，y随x的增大而增
2a
大；
a0 向上 （ ， ）
b
x 时，y随x的增大而减
2a
小；b 4acb2
x 时，y有最小值
2a 4a
．
时，y随x的增大而减
小；
（ ，
a0 向下 时，y随x的增大而增
）
大；
时，y有最大值 ．
注意：二次函数 与坐标轴的交点：
（1）与y轴的交点： ；
（2）与x轴的交点：使方程 成立的x值．
1
【典例1】（2024春•肇东市校级月考）已知二次函数y=− (x+3) 2−2，则（ ）
2
A．函数图象的对称轴为直线x＝3
B．函数的最大值为2
C．当x≤﹣3时，y随x的增大而增大
D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
【分析】依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．
1
【解答】解：由y=− (x+3) 2−2可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，故A错误；
2
函数的最大值为﹣2，故B错误；
1
因为a=− ＜0，则抛物线开口向下所以当x≤﹣3时，y随x的增大而增大，故C正确；
2
13 13
令x＝0，则y=− ，所以函数图象与y轴的交点坐标为(0，− )，故D错误．
2 2
故选：C．
【典例2】（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题．
【解答】解：由题知，
{4a−2b+c=−8
)
c=0 ，
9a+3b+c=−3
{a=−1
)
解得 b=2 ，
c=0
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x．
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线的开口向下．
故A选项不符合题意．
因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小．
故B选项不符合题意．
令y＝0得，
﹣x2+2x＝0，
解得x ＝0，x ＝2，
1 2
所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1．
故D选项符合题意．
故选：D．
【典例3】（2024•碑林区校级模拟）关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx+9m﹣2（m≠0）的图象，下列说法不
正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝3B．当m＝5时，图象上的最低点为（3，﹣2）
C．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大
6
D．顶点一定在函数y=− 的图象上
x
【分析】根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答即可．
−6m
【解答】解：A、抛物线对称轴为直线x=− =3，故原说法正确，不符合题意；
2m
B、当m＝5时，抛物线解析式为y＝5x2﹣30x+43，顶点的坐标（3，﹣2），故原说法正确，不符合题
意；
C、当x＞3时，开口方向不确定，y的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意；
6
D、y＝mx2﹣6mx+9m﹣2图象的顶点为（3，﹣2），故顶点一定在函数y=− 的图象上，故原说法正
x
确，不符合题意．
故选：C．
【典例4】（2024•管城区校级三模）已知点A（﹣1，y ），B（2，y ），C（5，y ）都在二次函数y＝﹣2
1 2 3
（x﹣3）2+a的图象上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
【分析】由题意可知，二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口方向向下，再根
据离着对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，
二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+a的图象的对称轴为直线x＝3，开口方向向下，
则离着对称轴越远的点的纵坐标越小，
点A离着对称轴最远，点B离着对称轴最近，
所以y ＞y ＞y ．
2 3 1
故选：C．
【典例5】（2024•姜堰区二模）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1
时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（ ）
7 9
A．2 B．3 C． D．
2 2
【分析】根据图象开口向下，得出a＜0，再将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入函数解析式，得出可能的h
的值．
【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，
将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入，
{1=a(1−ℎ) 2+k)
得： ，
6=a(6−ℎ) 2+k
∴5＝a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2
a[（6﹣h）2﹣（1﹣h）2]＝5
a[（6﹣h+1﹣h）（6﹣h﹣1+h）]＝5
a（7﹣2h）•5＝5
1
a=
7−2ℎ
∵a＜0，
∴7﹣2h＜0，
∴h＞3.5，
9
∴h可能的值为 ，
2
故答案为：D．
【典例6】（2024•阜阳二模）若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m
的值为（ ）
1 3 1 3 3 1
A．− B． C．− 或 D．− 或
2 2 2 2 2 2
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到x轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值＝2，
解方程求出m的值即可．
【解答】解：y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，
∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m是常数）的顶点坐标为（m，2m+1），
∵顶点到x轴的距离为2，
∴|2m+1|＝2，
即2m+1＝2或2m+1＝﹣2，
1 3
解得m= 或− ，
2 2
故选：D．
知识点3 二次函数的解析式1．一般式：yax2 bxc(a0)
已知图象上三点(x，y )、(x，y )、(x，y )，可用一般式求解二次函数解析式．
1 1 2 2 3 3
2．顶点式：ya(xh)2 k(a0)
已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式．
3．交点式：ya(xx )(xx )(a0)
1 2
已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
4．对称式：ya(x x )(x x )k(a0)
1 2
已知抛物线经过点(x ,k)、(x ,k)时，可以用对称式来求二次函数的解析式．
1 2
注意：
（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
（2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与x轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三
种形式可以互化．
【典例1】（2024秋•西城区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），
（0，﹣6），求二次函数表达式．
【分析】设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把（0，﹣6）代入求出a即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）
把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2，
所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1），
即y＝2x2﹣4x﹣6．
【典例2】（2024秋•庐阳区校级月考）已知二次函数的图象以 A（3，3）为顶点，且过点B（2，0），求
该函数的关系式．
【分析】已知抛物线的顶点坐标，设顶点式，将点B（2，0）代入求a，确定函数关系式．
【解答】解：由A（3，3）为抛物线顶点，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+3，
将点B（2，0）代入，得a+3＝0，解得a＝﹣3，
∴该函数的关系式为y＝﹣3（x﹣3）2+3．
【典例3】（2024秋•长宁区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，5），B（﹣1，
9），C（0，8）．求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标．
【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，然后利用待定系数法列式求出a、b、c的值，然后整理求
出抛物线对称轴解析式顶点坐标．【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
{a+b+c=5
)
根据题意得， a−b+c=9 ，
c=8
{a=−1
)
解得 b=−2 ，
c=8
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+8，
∵y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，9）．
【典例4】（2024秋•通州区期中）已知函数y＝x2+bx+c在x＝0和x＝4时的函数值相等，且函数的最小值
为﹣2，求函数的表达式．
【分析】根据题意求得对称轴，即可得到顶点坐标，求得顶点式，然后化成一般式即可．
【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c在x＝0和x＝4时的函数值相等，且函数的最小值为﹣2，
0+4
∴对称轴为直线x= =2，
2
∴顶点为（2，﹣2），
∴函数为y＝（x﹣2）2﹣2，即y＝x2﹣4x+2．
【典例5】根据下列条件，求二次函数的解析式
（1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）；
（2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）；
（3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）；
（4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点；
（5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5；
（6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．
【分析】（1）设y＝ax2+bx+c；（2）、（4）设y＝a（x+1）2+9；（3）、（5）、（6）设y＝a（x﹣
x ）（x﹣x ）．然后把已知点的坐标代入解方程，求出未知系数，最后确定解析式．
1 2
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把（﹣1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得，
3＝a﹣b+c①，
3＝a+b+c②，
6＝4a+2b+c③，解由①②③组成的方程组得，a＝1，b＝0，c＝2．
所以二次函数的解析式为y＝x2+2．
（2）设y＝a（x+1）2+9，
把（0，﹣8）代入解析式得，a＝﹣17，
∴y＝﹣17（x+1）2+9＝﹣17x2﹣34x﹣8，
所以二次函数的解析式为y＝﹣17x2﹣34x﹣8．
（3）∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴与x轴的另一个交点为（4，0），
设y＝a（x+2）（x﹣4），
3
把（0，12）代入解析式得，a=− ，
2
3 3
∴y=− （x+2）（x﹣4）=− x2+3x+12，
2 2
3
所以二次函数的解析式为y=− x2+3x+12．
2
（4）设y＝a（x﹣2）2﹣5，
5
把（0，0）代入解析式得，a= ，
4
5 5
∴y= （x﹣2）2﹣5= x2﹣5x，
4 4
5
所以二次函数的解析式为y= x2﹣5x．
4
（5）设y＝a（x+1）（x+3），
根据题意可得对称轴为直线x＝﹣2，又函数有最小值﹣5，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣5），代入解析式得，a＝5．
∴y＝5（x+1）（x+3）＝5x2+20x+15，
所以二次函数的解析式为y＝5x2+20x+15．
（6）∵当x＝2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），
（3，0），
设y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把（2，1）代入解析式得，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．
【典例6】已知二次函数y＝ax2﹣（b﹣1）x﹣3a的图象经过点（4，10），交x轴于A（x ，0），B（x ，
1 2
0）两点．（x ＜x ），且3OA＝OB，求二次函数的解析式．
1 2
【分析】利用根系数的关系求出x ，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答．
1
【解答】解：∵令y＝0，则ax2﹣（b﹣1）x﹣3a＝0，
−3a
∴x •x = =−3，
1 2 a
∵x ＜x ，30A＝OB，
1 2
∴x ＝﹣1，
1
∴点A（﹣1，0），
∵函数图象经过点（4，10），（﹣1，0），
{16a−4(b−1)−3a=10)
∴ ，
a+(b−1)−3a=0
{a=2)
解得 ．
b=5
所以二次函数的解析式y＝2x2﹣4x﹣6．
知识点4 二次函数的图象判断
1．二次函数图象与系数的关系
（1）a决定抛物线的开口方向
当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下．反之亦然．
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”
当 时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴
在y轴的右侧．
（3） 的大小决定抛物线与y轴交点的位置
当 时，抛物线与y轴的交点为原点；当 时，交点在y轴的正半轴；当 时，交点在y轴
的负半轴．
2．二次函数的图象信息
（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性．
（2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性．
（3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性．
（4）根据抛物线与x轴有无交点，判断 的正负性．（5）根据抛物线的对称轴可得 与 的大小关系，可得 的正负性．
（6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式．
（7）根据抛物线的顶点，判断 的大小．
【典例1】（2024秋•建水县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣
4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤4a+2b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ）
A．.2个 B．3个 C．4个 D．.5个
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可对①进行判断；
根据抛物线开口方向得a＜0，再根据对称轴得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所
以可对②③④进行判断；
根据抛物线的对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a，抛物线与x轴正半轴另一交点坐标大于2，所以当x＝2
时，y＞0，即4a+2b+c＞0，于是可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴所以①正确；
∵抛物线开口相下，
∴a＜0，所以②错误；
b
∵抛物线对称轴为直线x=− ＞0，
2a
∴b＞0，所以③正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以④正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标大于2，
∴当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以⑤错误．
所以正确的有①③④共3个．故选：B．
【典例2】（2024•松山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运
用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
b
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，− ＜0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
b
②由对称轴可知：− =−1，
2a
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故④正确；
故选：D．
【典例3】（2023秋•城关区校级期末）如图为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数
m≠1）．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴x＝1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
b
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x=− ＞0，则b＞0，故本选项正确；
2a
②由对称轴为直线x＝1，
b
∴− = 1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
2a
③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，抛物线有最大值，
∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；
故选：B．
【典例4】（2024•合江县二模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，
0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜
0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；⑥若两点（﹣2，y ）（3，y ）在二次函数图象上，则y ＞y ，其中正确
1 2 1 2
的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由二次函数的图象可知：a＜0，c＞0，
b
由对称轴可知：x=− ＞0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
b
②由对称轴可知：− =1，
2a
∴2a+b＝0，故②错误；
③由图象可知，x＝3时，y＜0，
而（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），
当x≤1时，随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；
④由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
故Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故④错误；
b
⑤∵− =1，
2a
1
∴a=− b，
2
∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），且x＝3时，y＜0，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，1
∴− b−b+c＜0，
2
∴3b＞2c，故⑤错误；
⑥∵抛物线开口向下，且点（﹣2，y ）到直线x＝1的距离大于点（3，y ）到直线x＝1的距离，
1 2
∴y ＜y ，故⑥错误；
1 2
故选：B．
知识点5 二次函数的几何变换
1．二次函数图象的平移
平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．
2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达．
（1）关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc．
关于x轴对称后，得到的解析式是 ．
y
（2）关于 轴对称
yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc．
关于y轴对称后，得到的解析式是 ．
（3）关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc．
关于原点对称后，得到的解析式是 ．
（4）关于顶点对称
b2
关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc ．
yax2bxc
2a
关于顶点对称后，得到的解析式是
（5）关于点 对称
关于点 对称后，得到的解析式是
3．二次函数图象的翻折
函数y| f(x)|的图象可以由函数y f(x)通过关于x轴的翻折变换得到．
y f(x)
具体规则为函数 图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方．
【典例1】（2024•平房区三模）已知二次函数y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次
函数y＝（x+2）2﹣3；则h和k的值分别为（ ）
A．﹣2，3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3 D．2，3【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：二次函数 y＝x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到的函数解析式为 y＝
（x+h）2﹣k．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3，
∴h＝2，k＝3，
故选：D．
【典例2】（2024春•登封市校级月考）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平
移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
【典例3】（2024•榆次区一模）抛物线y＝x2﹣2x经过平移后的表达式为y＝（x﹣2）2+3，则平移的方式
可以是（ ）
A．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B．先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
D．先沿x轴向左平移1个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1的顶点坐标为（1，﹣1），抛物线y＝（x﹣2）2+3的
顶点坐标为（2，3），
∴顶点由（1，﹣1）到（2，3）需要先沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长
度．
故选：A．
【典例4】（2024•西安校级模拟）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝
x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）12 9 9 12
A．m= ，n= B．m= ，n=
7 7 7 7
C．m＝0，n＝3 D．m＝3，n＝0
【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（n﹣2m）x+m﹣n与抛物线y＝x2+（4m﹣6）x+2m﹣3关于y轴对称，
{−n+2m=4m−6)
∴ ，
m−n=2m−3
{m=3)
解得 ，
n=0
故选：D．
【典例5】（2024秋•金东区期末）将抛物线y＝x2﹣4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达
式为（ ）
A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x+3
C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x﹣3
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．
【解答】解：旋转后的函数表达式为：﹣y＝（﹣x）2+4x+3，化简为y＝﹣x2﹣4x﹣3．
故选：C．
知识点6 二次函数与一元二次方程
（1）一般地,从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知:如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点
的横坐标是x ,那么当x=x ,时,函数的值是0,因此x=x 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根.
0 0 0
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)二者之间的联系与区别，列表如下：
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【典例1】（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半
轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出
右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
【典例2】（2023•曲江区校级三模）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0
成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与 x轴的另一个交点坐标
为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线：
2a
x=−
2a
＝﹣1．
抛物线与x轴的一个交点坐标为：（2，0），
由二次函数图象性质可知，x轴的另一个交点与（2，0）关于x＝﹣1对称，
所以另外一个交点的坐标为：（﹣4，0），
∵a＜0，∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
【典例3】（2023秋•临沭县期末）如图，点 A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数 y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所
给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
【典例4】已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+m+1．
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
【分析】（1）先计算方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的判别式得到△＝m2+8，根据非负数的性质有Δ＞
0，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论；
（2）设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x ，0），（x ，0），根据抛物线与x轴的交点问题
1 2
得到x 和x 为关于x的方程﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两不等实数根，且x ＜0，x ＜0，然后利用根与
1 2 1 2
系数的关系得到x +x ＝m﹣2＜0，x •x ＝﹣（m+1）＞0，再求出两个不等式的公共部分即可；
1 2 1 2
m−2
（3）根据二次函数的性质得到− = 0，然后解方程即可．
2×(−1)【解答】（1）证明：△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×（m+1）
＝m2+8，
∵m2≥0，
∴m2+8＞0，即Δ＞0，
∴不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）解：设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x ，0），（x ，0），则x 和x 为关于x的方程
1 2 1 2
﹣x2+（m﹣2）x+m+1＝0的两不等实数根，且x ＜0，x ＜0，
1 2
∴x +x ＝m﹣2＜0，x •x ＝﹣（m+1）＞0，
1 2 1 2
∴m＜﹣1；
即m＜﹣1时，这两个交点都在原点的左侧；
m−2
（3）根据题意得x =− = 0，
2×(−1)
解得m＝2，
即m＝2时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴．
知识点7 二次函数的实际应用
1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为：
（1）经济利润类问题；
（2）方案选择类问题；
（3）行程问题；
（4）数学建模类问题；
（5）工程问题。
2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等
式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注
意自变量的取值范围。
【典例1】（2024•犍为县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿
瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与
销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x
（元/个）之间的函数关系式；
（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函
数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；
（2）销售利润＝每个许愿瓶的利润×销售量；
（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．
【解答】解：（1）y是x的一次函数，设y＝kx+b图象过点（10，300），（12，240），
{10k+b=300)
，
12k+b=240
{k=−30)
解得 ．
b=600
故y与x 之间的函数关系为：y＝﹣30x+600，
当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y＝﹣30x+600的图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600；
（2）w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600；
（3）由题意得6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．
780
w＝﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为x =− = 13，
2×(−30)
∵a＝﹣30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x＝15时，w最大 ＝1350．
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
【典例2】（2024•邹平市校级模拟）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷
水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在
喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8米的王师傅站立时
必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池
的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究
扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（﹣8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改
1 16
造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=− x2+bx+ ，代入点（12，0）可求出b
5 5
值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于y轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为（﹣3，5），
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝a（x+3）2+5（a≠0），
将（﹣8，0）代入y＝a（x+3）2+5，得：25a+5＝0，
1
解得：a=− ，
5
1
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=− （x+3）2+5（﹣8＜x＜0）；
5
1
（2）当y＝1.8时，有− （x+3）2+5＝1.8，
5
解得：x ＝﹣7，x ＝1，
1 2
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；
1 16
（3）当x＝0时，y=− （x+3）2+5= ，
5 51 16
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=− x2+bx+ ，
5 5
∵该函数图象过点（﹣12，0），
1 16
∴0=− ×（﹣12）2+（﹣12）b+ ，
5 5
32
解得：b=− ，
15
1 32 16 1 16 80
∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为 y=− x2− x+ =− （x+ ）2+
5 15 5 5 3 9
，
80
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
9
【典例3】（2024•大庆模拟）某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的
三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之
一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40元/平方米
和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
（2）把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设安装成本为w元，则w＝﹣25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合（1）中x的最值范围可得
答案．
1 1
【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG= AD= x m，
2 2
1 5 5
DC＝AB= （200− x）＝（100− x）m，
2 2 45 5
故y＝x（100− x）=− x2+100x，
4 4
自变量x的取值范围为：28≤x＜80；
（2）由题意可得：
5 5 5
∵y=− x2+100x=− （ x2﹣80x）=− （ x﹣40）2+2000，
4 4 4
又∵28≤x＜80，
∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米；
1 5 1 5 5
（3）由题意得，S矩形EAGH ＝AG•AE =
2
（100−
4
x）⋅
2
x =−
16
x2+25x，S矩形DEFC ＝DC•DE＝（100−
4
1 5
x）• x=− x2+50x，
2 8
5 5
设安装成本为w元，则w＝40（− x2+25x）+20（− x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
16 8
令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，
解得x＝60或20，
∵28≤x＜80，
∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元．
