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专题 1.2 全等三角形全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 全等三角形的定义和性质
1．全等形的概念
定义：能够 完全 重合 的两个图形叫做全等形．【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等．
（2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
2．全等三角形的概念和表示方法
（1）全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（2）全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全
等三角形中，能够重合的角．
（3）全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对
应的位置上．
3．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
C C'
A B A' B'
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，
对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【典例1】（2024春•雁峰区期末）如图所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，
IJ＝10，∠D＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的e＝ ， ＝
°． β
【典例2】（2024春•泉港区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝5、BC＝10、CD＝6、AD＝3．若四边形
OPCE≌四边形ABCD，则PD＝ ．【典例3】（2023秋•宁明县期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【典例4】（2024春•高碑店市月考）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形．
【典例5】（2023秋•姜堰区期末）如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则
CE的长为 ．
【典例6】（2024春•姑苏区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，∠E＝115°，
∠B＝28°，∠DAC＝50°，则∠DGF＝ °．
【典例7】（2024春•长安区期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．若
∠AED＝105°，∠CAD＝18°，∠B＝30°，则∠1的度数为（ ）A．67° B．63° C．57° D．53°
知识点2 全等三角形的判定
1．三角形全等的判定方法：
判定方法 解释 图形
边边边
三条边对应相等的两个三角形全等
(SSS)
边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个
(SAS) 三角形全等
角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个
(ASA) 三角形全等
角角边 两个角和其中一个角的对边对应相
(AAS) 等的两个三角形全等
斜边、直角
斜边和一条直角边对应相等的两个
边
直角三角形全等
(HL)
注意：
（1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形．
（2）全等的表示，若 ，则前后对应关系确定；若 与 全等，则前后
对应关系不确定．
（3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA 和AAA．
2．合理选择全等三角形的判定方法：【典例1】（2024春•重庆期末）根据下列已知条件，画出的△ABC不唯一的是（ ）
A．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝4cm
B．∠C＝60°，∠B＝45°，BC＝4cm
C．∠C＝90°，AC＝3cm，AB＝5cm
D．∠C＝30°，BC＝8cm，AB＝6cm
【典例2】（2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻
璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
【典例3】（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出
5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作
为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
【典例4】（2024春•遂川县期末）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB．
（1）在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使△ABC≌△ADC的条件有 （填序号），
①DC＝BC；②∠D＝∠B；③∠DAC＝∠BAC；④∠DCA＝∠BCA；（2）分别对（1）中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC，并指出两个三角形全等的判定方法．
【典例5】（2024•新城区校级模拟）如图，点 F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：
△ABC≌△DEA．
【典例6】（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF
＝BE，连接AE，CF．若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF．
【典例7】（2024•前郭县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，
EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD．
【典例8】（2023秋•乌兰察布期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC
于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【典例9】（2024春•南岗区校级月考）已知AC＝DB，BD⊥DC于点D，CA⊥AB于点A，BD、AC交于点E．
（1）如图1，求证：AB＝DC；
（2）如图2，延长BA、CD交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形．
知识点3 全等三角形的应用
1．全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目
的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
2．作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基
本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三
角形来证明．
3．全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为
三角形中的边角关系是关键．
1．（2024春•鄄城县期末）如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点
B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM．
（1）求证：AE＝BF．
（2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长．
2．（2024秋•镇江期中）阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常
会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，
使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE
（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．
3．（2024春•皇姑区期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍
长中线法”添加辅助线．
（1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 （用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 （直接填空）；
（2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若
AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由．
4．（2024春•秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止
时秋千位于铅垂线BD上（BD⊥DE），转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千的过程中，当秋
千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m（AC⊥BD于点C），当他从A处摆动到A′处
时，测得点A′到BD的距离A′F＝BC（A′F⊥BD于点F），已知秋千的绳长固定不变（即 BA＝BA′），求FD的长度．
5．（2024春•漳州期末）如图，李红同学站在江边的B处，在江的对面（李红的正北方向）的A处有一电
线杆，她想知道电线杆离她有多远，于是她向正东方向走了10米到达小树C处，接着再向前走了10米
到达D处，然后她右转90°直行，当李红看到电线杆、树与自己现处的位置E在一条直线时，她总共走
了50米．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）根据你所画的示意图，求点A到点B的距离．
知识点4 角的平分线的性质
1．作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导
其他结论．
3．证明几何命题的一般步骤
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
4．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线
上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【典例1】（2023秋•新乡期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD
＝4，则△POD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12【典例2】（2024春•榆阳区校级月考）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．AD过点
P，且与AB垂直，若AD＝12．则点P到BC的距离是（ ）
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A．5 B． C．6 D．
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【典例3】（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O是∠CAB、∠ABC平分线的交点，
且BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm，则点O到边AB的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【典例4】（2023秋•金山区期末）如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延
长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：EG＝EF；
（2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF．
【典例5】（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，有∠BAD＝
100°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F，且∠AEF＝50°，连
接DE．求证：DE平分∠ADC．
