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2023年高考押题预测卷02【北京专用】
数学•全解全析
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．设 为实数，已知 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2或3或4
【答案】B
【分析】由 且 ，从而可得 ，进而可求出 的值
【详解】解：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 ，
故选：B
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】复数模的概念及复数运算法则.
【详解】因为 ，所以 ．
故选:A.
3．乘积 展开后的项数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知乘积 展开后的项数是 .故选：C.
4．已知 ，则 （ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由诱导公式、商数关系求得 ，然后由两角差的正切公式计算．
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
．
故选：C．
5．已知 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数的图像与性质易得 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性
质即可比较 和 的大小关系，进而得解.
【详解】根据指数函数的图像与性质可知 ，
由对数函数的图像与性质可知 ， ，所以 最小；
而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知 ，代入上式可得
所以 ，
综上可知 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法
比较大小，属于中档题.
6．定义点P(x ，y )到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为 .已知点P ，P 到
0 0 1 2
直线l的有向距离分别是d ，d .以下命题正确的是（ ）
1 2
A．若d ＝d ＝1，则直线P P 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d ＝1，d ＝－1，则直线P P 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d ＋d ＝0，则直线P P 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d ·d ≤0，则直线P P 与直线l相交
1 2 1 2
【答案】A
【分析】由有向距离的定义可知B中直线P P 不一定与直线l垂直，C和D中直线P P 与直线l有可
1 2 1 2
能重合.
【详解】设P (x ，y )，P (x ，y )，
1 1 1 2 2 2
对于A，若d ＝d ＝1，
1 2则 ，
所以直线P P 与直线l平行，正确；
1 2
对于B，点P ，P 在直线l的两侧且到直线l的距离相等，
1 2
直线P P 不一定与直线l垂直，错误；
1 2
对于C，若d ＝d ＝0，满足d ＋d ＝0，
1 2 1 2
即ax ＋by ＋c＝ax ＋by ＋c＝0，
1 1 2 2
则点P ，P 都在直线l上，所以此时直线P P 与直线l重合，错误；
1 2 1 2
对于D，若d ·d ≤0，
1 2
即(ax ＋by ＋c)(ax ＋by ＋c)≤0，
1 1 2 2
所以点P ，P 分别位于直线l的两侧或在直线l上，
1 2
所以直线P P 与直线l相交或重合，错误．
1 2
故选：A
7．已知平面 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．“ 内有两条相交直线与 平行”是“ ”的充分不必要条件；
B．“ 内有无数条直线与 平行”是“ ”的必要不充分条件；
C．“ ， ”是“ ”的充要条件；
D．“ ”是“ ， 平行于同一直线”的充要条件.
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理与性质定理即可判断出答案.
【详解】A. “ 内有两条相交直线与 平行”是“ ”的充要条件，错误.
B. “ 内有无数条直线与 平行”不能推出“ ”； “ ”可以推出“ 内有无数条直线
与 平行”;所以“ 内有无数条直线与 平行”是“ ”的必要不充分条件.正确.
C. “ ， ”是“ ”的必要不充分条件；错误.D. “ ”是“ ， 平行于同一直线”的充分不必要条件.错误.
故选：B.
【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理与充分必要条件的判定.属于基础题.
8．在△ABC中，且 ， ，其中 ， ， ， ，则
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【分析】根据向量的加减法运算可判断A;根据数量积的运算法则可求得 ，从而判断B;先表
示出 ，再根据向量模的计算求得 ，可判断C;根据向量的夹角公式可求得
，判断D.
【详解】当 时， ，
则 ,
故A错误；
当 时， ，
则 ，
由于 不定，故B错误；
当 时， ,
故 由于 不定，
故C错误；当 时， ，
,
故 ,
故
所以 ,
由于 ,故 ，故D正确，
故选：D
9．设曲线 在 处的切线斜率为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由题得 ，再利用对数运算化简求值得解.
【详解】由题得
所以 ，
．
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于熟练准确地运用对数的运算法则.10．如图，点 是曲线 上的任意一点， ， ，射线 交曲线
于 点， 垂直于直线 ，垂足为点 .则下列判断：① 为定值 ；②
为定值5.其中正确的说法是
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
【答案】A
【分析】曲线 的方程整理可得是双曲线的一部分，可以判定 正好是双曲线的
两个焦点，然后利用双曲线的定义可以得到结论①，利用抛物线的定义将 转化为到抛物线准线
的距离，可以判定②正确.
【详解】曲线 两边平方，
得 ，为双曲线 的 的部分，
， 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，知 ，又 ，∴ ，①正确；
曲线 即抛物线 ，其焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线定义，知 ，②正确；
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，方程，属中档题，关键是利用双曲线和抛物线的定义进
行转化求解.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的定义域为___________________．
【答案】
【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．
【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，
∴x≥2，
故答案为[2，+∞）．
【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．
12．双曲线 的焦距是________
【答案】4
【分析】直接利用焦距公式得到答案.
【详解】双曲线 ，
焦距为
故答案为
【点睛】本题考查了双曲线的焦距，属于简单题.
13．函数 的部分图像如图所示．若 （点A为图像
的一个最高点）， ，则 __________， __________．【答案】
【分析】由点 为图像的一个最高点，可求出振幅 ，再由 ， 可求出周
期，从而可求出 的值，然后代入其中的一个点的坐标可求出 的值.
【详解】解：因为点 为图像的一个最高点，所以 ，
由图可知， ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
将点 坐标代入 中，得 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
故答案为： ；
【点睛】此题考查了由三角函数的图像求解析式，考查了正弦函数的图像和性质，属于基础题.
14．曲线 的一条对称轴是_______； 的取值范围是_______.
【答案】 轴 .
【分析】以 代替 ，方程不变，可得曲线的对称轴方程，由方程可得 ，即可
求出y的取值范围【详解】以 代替 ，方程不变，可得曲线的一条对称轴是 轴；
由 ，可得 ，所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： 轴；
15．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中
“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥 中，
平面 ， ，则该三棱锥即为鳖臑.若 且三棱锥外接球的体积为 ，则
长度的最大值是______.
【答案】
【解析】由三棱锥外接球体积求半径为 ，根据已知条件知 与 构成平面一定是外接球过
球心的截面，即可得 而 ，结合基本不等式求 最大
值即可.
【详解】设三棱锥外接球的半径为 ，由体积为 ，知： ，即 ，
又∵ 平面 ， ，知：面 的外接圆半径为 ，即有：
，有 ，
而在 中 ， ，
∴ ，而 ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题、以及应用基本不等式求最值，注意理解当三棱锥中有一条
棱垂直于底面时底面外接圆半径、球半径与这条棱之间的关系.
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（13分）已知四棱锥 ， ， ， ，△ 为等
腰直角三角形，面 面 ，且 ， 为 中点.
(1)求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ， ，由等腰三角形性质、勾股定理、中位线等可
得 、 ，利用线面垂直的判定及性质证明线线垂直；
（2）利用直线与平面所成角的定义找到 与平面 所成角，结合已知条件求解即可.
(1)取 中点 ，连接 ， ， ，
∵△ 为等腰直角三角形，即 ，
∴ ，
由 ， ， ，可得 ，
∴ ，则 ，
又 为 中点，则 ，故 ，而 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴ .(2)过点 作 延长线的垂线，垂足为 ，连 ,
∵面 面 ，面 面 , ， 面 ，
∴ 面 ，
∴ 为线 与面 所成的线面角，
由 , 知： , ,
由余弦定理得 ,即 ,
由 ，面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，故 ， ，则 ，
在 中， .
17．（14分）在 中，三边 ， ， 的对角分别为 ， ， ，已知 ，
.
（1）若 ，求 ；
（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .【分析】（1）利用正弦定理把等式 中的边化成角，利用三角恒等变换得
到 ，再利用正弦定理 ，求得 ；
（2）设 边上的中线为 ，利用向量加法法则得 ，对式子两边平方转化成代数
运算，求得 ，再利用三角形的面积公式 求面积的值．
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
所以 .
所以 .又因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
（2）设 边上的中线为 ，则 ，
所以 ，
即 ， .
解得 或 （舍去）.
所以 .【点睛】本题考查正弦定理、面积公式在解三角形中的运用，解题过程中向量关系
的两边平方后，本质是余弦定理．
18．（13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级 初二年级 初三年级
女
373 x y
生
男
377 370 z
生
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是
， ， ，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差.
【答案】(1)
(2)12
(3)平均数48.75千克，方差62.8125
【分析】（1）利用 “全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率”列方程，解方程
求得 的值.
（2）利用分层抽样的抽样比，计算出在初三年级学生中抽取的人数.
（3）利用平均数公式和方差公式进行转化可得答案
（1）依题意 ，所以
（2）由初一、初二学生人数为 ，
所以初三学生人数为 人，
故用分层抽样法在全校抽取 名学生,问应在初三年级学生中抽取 名.
（3）初一年级应抽取学生的人数为 ，
初二年级应抽取学生的人数为 ，初一学生的样本记为 ， ，…， ，方差记为 ，初二学生的样本记为 ， ，…， ，方
差记为 ，初三学生的样本记为 ， ，…， ，方差记为 ．
设样本的平均数为 ，则 ，
设样本的方差为 ．
则
又 ，
故 ，
同理 ， ， ，
，
因此，
．所以该校
所有学生体重的平均数为 和方差为 .
19．（15分）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个
有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆
的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率 ，左、右焦点分别是 、 ，上顶点为Q，且 ，
O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足
H，若两切线斜率都存在且斜率之积为 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)椭圆C的方程为 ，蒙日圆的方程为
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率结合题设求得 ，即得椭圆方程，进而写出蒙日圆的方程；
（2）设 ，设过点P的切线方程为 ，联立椭圆方程结合判别式确定点
的轨迹方程，进而利用基本不等式求得 ，即可求得答案.
【详解】（1）设椭圆方程为 ，焦距为2c.
由题意可知 ，
所以 ，椭圆C的方程为 ，且蒙日圆的方程为 ；
（2）设 ，设过点P的切线方程为 ，
由 ，消去y得 ①，
由于相切，所以方程①的 ，可得： ，
整理成关于k的方程可得： ，
由于P在椭圆 外，故 ，
故 ，
设过点P的两切线斜率为 ，
据题意得， ， ，
又因为 ，所以可得 ，
即点 的轨迹方程为： ，
由不等式可知： ，
即 ，当且仅当 时取等号，此时 ，
所以 ，即 的面积的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：求解 面积的最大值时，设出过点P的切线方程并联立椭圆方程，利
用判别式为0结合根与系数的关系求得点P的轨迹方程后，关键要利用基本不等式求出，即可求解.
20．（15分）已知函数 ， （其中 为常数， 是自然对数的底数）.
若函数 在点 处的切线为 ，函数 在点 处的切线为 .
（1）若 ，求 和 的方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1） ， ， 利用 ，得 ，求出斜率得所求直线方程.
（2）方法一： 不等式恒成立等价转化为 在 上恒成立，构造
， ，分类讨论 求得最小值大于零得解；
方法二：不等式恒成立等价转化为： 恒成立
构造 ，得 单调递增，得到 恒成立，即 恒成立得解
【详解】（1）根据题意可知：
函数 在点 处的切线为 ，
函数 在点 处的切线为 ，
而 ， ，
，根据导函数在该点的函数值相等可得 ，
又 ， . 切线 过点 ，斜率为 ；
切线 过点 ，斜率为 ， ， ，综上所述，所求的直线方程为： ，
（2）方法一： ，
故不等式 恒成立可等价转化为：
在 上恒成立，
记 ， ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，
记 ， ，
则 ，
所以 在 是增函数，又 ，
所以 使得 ，即 ①，
则当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ②，
由①式可得 ，
代入②式得 ，
因为 ，即 ，
故 ， ，即 ，所以 时 恒成立，故 的取值范围为 .
方法二：根据已知条件可得： ， .
且 恒成立；
故可等价转化为： 恒成立
设 ，则 ， 单调递增，
因而 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，从而 即为所求.
【点睛】本题考查导函数几何意义求切线及利用导函数最值解决不等式恒成立，属于难题.
21．（15分）设 ，记 .
（1）求 ；
（2）记 ，求证： 恒成立.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】（1）分别取 和 代入计算得到两式，相加得到答案.
（2）计算得到 ， ，计算得到 ，故 ，计算得到答案.
【详解】（1）令 可得 ，令 可得 ，
两式相加可得 ，则
（2）
，
则 ，令 ，则 ， ，
时， ，则
即 ，则 时 ，即 ，则 .
【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列不等式恒成立问题，确定数列 的单调性是解题
的关键.
