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2023年高考押题预测卷02【北京专用】
数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A C C D A B D B A
11． （5分）
12．4（5分）
13． （5分）
14． 轴 （5分）
15. （5分）
16．（13分）(1)取 中点 ，连接 ， ， ，
∵△ 为等腰直角三角形，即 ，
∴ ，（2分）
由 ， ， ，可得 ，
∴ ，则 ，（2分）
又 为 中点，则 ，故 ，而 ，
∴ 面 ， 面 ，
∴ .（2分）
(2)过点 作 延长线的垂线，垂足为 ，连 ,∵面 面 ，面 面 , ， 面 ，
∴ 面 ，
∴ 为线 与面 所成的线面角，（2分）
由 , 知： , ,
由余弦定理得 ,即 ,（2分）
由 ，面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ， 面 ，故 ， ，则 ，（1分）
在 中， .（2分）
17．（14分）（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
所以 .（2分）
所以 .又因为 ，所以 .
因为 ，所以 .（2分）
又因为 ，所以 ，所以 .（2分）
（2）设 边上的中线为 ，则 ，
所以 ，（2分）
即 ， .（2分）解得 或 （舍去）. （2分）
所以 .（2分）
18．（13分）（1）依题意 ，所以 （2分）
（2）由初一、初二学生人数为 ，
所以初三学生人数为 人，（1分）
故用分层抽样法在全校抽取 名学生,问应在初三年级学生中抽取 名. （2分）
（3）初一年级应抽取学生的人数为 ，
初二年级应抽取学生的人数为 ，（2分）
初一学生的样本记为 ， ，…， ，方差记为 ，初二学生的样本记为 ， ，…， ，方
差记为 ，初三学生的样本记为 ， ，…， ，方差记为 ．
设样本的平均数为 ，则 ，
设样本的方差为 ．
则
又 ，
故 ，（2分）
同理 ， ， ，，（2分）
因此，
．（2分）
所以该校所有学生体重的平均数为 和方差为 .
19．（15分）（1）设椭圆方程为 ，焦距为2c.
由题意可知 ，（2分）
所以 ，椭圆C的方程为 ，（2分）
且蒙日圆的方程为 ；
（2）设 ，设过点P的切线方程为 ，
由 ，
消去y得 ①，（2分）
由于相切，所以方程①的 ，可得： ，
整理成关于k的方程可得： ，（2分）
由于P在椭圆 外，故 ，
故 ，设过点P的两切线斜率为 ，
据题意得， ， ，
又因为 ，所以可得 ，（1分）
即点 的轨迹方程为： ，（2分）
由不等式可知： ，（2分）
即 ，当且仅当 时取等号，此时 ，
所以 ，即 的面积的最大值为 .（2分）
20．（15分）（1）根据题意可知：
函数 在点 处的切线为 ，
函数 在点 处的切线为 ，
而 ， ， （2分）
，根据导函数在该点的函数值相等可得 ，
又 ， . 切线 过点 ，斜率为 ；（2分）
切线 过点 ，斜率为 ， ， ，
综上所述，所求的直线方程为： ，
（2）方法一： ，
故不等式 恒成立可等价转化为：在 上恒成立，（2分）
记 ， ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，（2分）
记 ， ，
则 ，
所以 在 是增函数，又 ， （2分）
所以 使得 ，即 ①，
则当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ②，（2分）
由①式可得 ，
代入②式得 ，（1分）
因为 ，即 ，
故 ， ，即 ，（2分）
所以 时 恒成立，故 的取值范围为 .方法二：根据已知条件可得： ， .
且 恒成立；
故可等价转化为： 恒成立（2分）
设 ，则 ， 单调递增，（2分）
因而 恒成立，即 恒成立. （1分）
令 ，则 ，（2分）
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，（2分）
所以 ，从而 即为所求. （2分）
21．（15分）（1）令 可得 ，（2分）
令 可得 ，（2分）
两式相加可得 ，则 （2分）
（2）
，（2分）
则 ，令 ，则 ，（2分）
，（1分）（2分）
时， ，则
即 ，则 时 ，即 ，则 .（2分）
