文档内容
#&#$届高三考试
数学试题参考答案!文科"
!!)!#解析$本题考查集合的运算%考查数学运算的核心素养!
""#*!&"!"#"+",#!
#!-!#解析$本题考查复数的四则运算%考查数学运算的核心素养!
+
因为$#%.%$*$% /#.%%"所以#$%$.*%+/#%."解得$*%#"%*!!
%
$!)!#解析$本题考查等比数列的通项公式及求和公式%考查数学运算的核心素养!
由 !$
#$
! /
/
$
$
# *
*
$
+
"
"
解得 !$
$
! *
*
!
#
"
"
公比&*#"所以’
"
* !
!
%
%
#
#
" *"$!
! # #
+!0!#解析$本题考查函数的图象和性质%考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
!%) ! !/)
因为($%)%*123)&45 *%($)%"所以($)%是奇函数"排除-")"当)#$&" %时"123)$&"45
!/) # !%)
$&"所以($)%$&"排除("故选0!
6!-!#解析$考查质数的概念与古典概型概率的求法%考查数据处理能力!
集合!)#!%!&&)&#&#中的质数有!!"!$"!’"!7"共+个数"任取#个不同的质数$"%"记作$$"%%的情况有
$!!"!$%"$!!"!’%$!!"!7%"$!$"!’%"$!$"!7%"$!’"!7%"$!$"!!%"$!’"!!%"$!7"!!%"$!’"!$%"$!7"!$%"$!7"
!’%"共!#种’符合%$%%%’+的有$!!"!’%"$!!"!7%"$!$"!’%"$!$"!7%"$!’"!!%"$!7"!!%"$!’"!$%"$!7"
, #
!$%"共,种"所以概率为 * !
!# $
"!(!#解析$本题考查双曲线的性质%考查推理论证能力与数学运算的核心素养!
# #
因为*的一个焦点+$,"&%到*的一条渐近线的距离为 ,"所以%* ,"两边平方得+,#*+7%#!又%#*,#%
’ ’
,# +7 , ’槡6
$#"所以+,#*+7$,#%$#%"化简得 * "所以 * !
$# +6 $ !6
’!(!#解析$本题考查三角函数的性质%考查数学运算与直观想象的核心素养!
! ! ! ! ! !! ! !!
由题意"-$)%*3.5( $)% %/ )*3.5$ )/ % %"因为.*-$)%为奇函数"所以 % */!$/#
# " " # " !# " !#
"%"解得!*#%!#/$/#"%"又!$&"所以当/*&时"!取得最小值#!
,!0!#解析$本题考查统计的知识%考查数据分析与数学运算的核心素养!
设女生身高频率分布直方图中的组距为")"由$$/!86$/#$/#86$/$$%")*!"得$")*&8!"所以女生身
高频率分布直方图中"层次频率为#&9"#层次频率为$&9"*层次频率为#69"0层次频率为!69"1层
次频率为!&9!因为男*女生样本数未知"所以"层次中男*女生人数不能比较"即选项-错误’同理"0层次
女生在女生样本数中频率与1层次男生在男生样本数中频率相等"都是!69"但因男*女生人数未知"所以
在整个样本中频率不一定相等"即(错误’设女生人数为2"男生人数为!&&&%2"但因男*女生人数可能不相
等"则#层次的学生数为&8$2/&8#6:$!&&&%2%*&8&62/#6&"*层次的学生数为&8#62/&8$:$!&&&%
2%*$&&%&8&62"因为2不确定"所以&8&62/#6&与$&&%&8&62可能不相等"即)错误’女生""#两个层
次的频率之和为6&9"所以女生的样本身高中位数为#"*层次的分界点"男生""#两个层次的频率之和为
$69"显然中位数落在*层次内"所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大"0正确!
7!)!#解析$本题考查三视图%考查直观想象与数学运算的核心素养! #
! #
如图"这是所求多面体的直观图"它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成"所以体积
! ! % "
3*$
#
:#:$%:#/
$
:$#:#%:$*!&! "
!
!&!-!#解析$本题考查函数的性质%考查直观想象与逻辑推理的核心素养! $ ! !
!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$文科% "#$%&’("
书书书+) +
因为($%)%*($)%"所以($)%是偶函数"当)$&时"($)%* *+% 是增函数!又因为($!%*#"所
!/) !/)
以($#)%$%(#可化为 #)%$ (!"解得!()(#!
!!!0!#解析$本题考查三棱锥中线面角的正弦值的计算%考查直观想象与数学建模的核心素养!
设"#*#**#"*0的中点为1"连接"1"#1$图略%"易知)#"1是直线"#与平面"*0所成的角"因为
槡$ 槡#!
"#*#1"所以3.5)#"1* * !
槡##/$ ’
!#!-!#解析$本题考查分段函数及导数应用%考查逻辑推理与数学运算的核心 #
素养! !
"
4
设($2%*;2%#*/%#"%!&/%#(!"则2*45/$!&/($%"由($4%* /!
# " !
*/%#"得4*#/%""所以2%4*45/%#//"!设-$/%*45/%#//""/#(!" #"
#!
!
$%"则-5$/%*
/
%#&&"-$/%在(!"$%上单调递减"故-$/%
<=>
*-$!%*+!
!$!%$!#解析$本题考查平面向量垂直以及数量积%考查数学运算的核心素养!
因为!*""所以$%4/#4*&"则4*%$!
!+!#&!#解析$本题考查等差数列的通项公式%考查数学运算的核心素养!
因为$/$*#$*!+"所以$*’"又$*$"所以公差6*#"从而$*$/#$4%!%*+!"解得4*#&!
# + $ $ ! 4
!6!$!#解析$本题考查抛物线的概念与性质%考查逻辑推理的核心素养!
7 7 + + 7 7
不妨设#在第一象限"则#$
,
"
#
%"/
#+
*%
$
"则直线"+的方程为.*%
$
$)%
#
%"令)*%
#
"得."
+7 ! 7 +7 7#
*
$
"由’
+"8+
*$*
#
:
#
:
$
*
$
"解得7*$!
!"!槡##7!#解析$本题考查直线与圆%考查直观想象与数学抽象的核心素养!
因为%** !%*%** #%"%*" !%*%*# #%"所以康威圆的圆心在)"*#的平分线上"同理可 # !
&
知康威圆的圆心在)"#*的平分线上"即康威圆的圆心为+"#*的内心!因为$#/%# # " & #
%
*,#"所以)"*#*7&?"所以+"#*的内切圆的半径9* 6/!# # %!$ *#"则康威圆的半 " ! % % $ " & !$ $ ! ! ! "
径:*槡 9#/$ 6/!#/!$ %#*槡##7! "
"
#
!’!解+$!%因为$%%,%$3.5#/3.5*%*$$/,%3.5""
所以$%%,%$%/,%*$$$/,%" ………………………………………………………………………………#分
%$, !
展开得$#/,#%%#*%$,"所以123#* *% " ……………………………………………………+分
#$, #
#!
因为&(#(!"所以#* !…………………………………………………………………………………"分
$
! 槡$
$#%由$!%知’
+"#*
*
#
$,3.5#*
+
$,*槡$"解得$,*+"…………………………………………………,分
槡$$$/,%
因为%* "由余弦定理得$#/,#%%#*#$,123#*%$,"………………………………………!&分
#
$$$/,%#
即$$/,%#% *$,*+"解得$/,*+"%*#槡$" …………………………………………………!!分
+
所以+"#*的周长为$/%/,*#槡$/+!…………………………………………………………………!#分
评分细则+
%$, !
,!-第一问"写出$%%,%$%/,%*$$$/,%"得#分"写出123#* *% "累计得+分"第一问全部正确解
#$, #
出"累计得"分!
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$文科% "#$%&’(",#-第二问"用面积公式求出$,*+"累计得,分"最后求出正确答案"累计得!#分!
,$-其他情况根据评分标准按步骤给分!
!,!解+$!%该校高一年级近视的学生人数为!&&&:+&9:+&9/!&&&:"&9:#69*!"&/!6&*$!&"………
…………………………………………………………………………………………………………………$分
$!& $!
从该校高一年级的学生中随机抽取!名学生"其近视率为 * !…………………………………6分
!&&& !&&
$#%#:#列联表为
每天使用超过!@ 每天使用不超过!@ 合计
近视 !"& !6& $!&
不近视 #+& +6& "7&
合计 +&& "&& !&&&
…………………………………………………………………………………………………………………,分
2$$6%%,%# !&&&:$+6&:!"&%#+&:!6&%#
;#* *
$$/%%$,/6%$$/,%$%/6% +&&:"&&:$!&:"7&
!&&&:$"&&&:$"&&& !,&&&
* * ,#68#6$!&8,#,"………………………………………………………!!分
+&&:"&&:$!&:"7& ’!$
所以有77879的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联!……………………………!#分
评分细则+
,!-第一问"算出高一年级近视的学生数为$!&"得$分"正确算出所求概率"累计得6分!
!,&&&
,#-第二问"正确填写列联表"累计得,分"算出;#* ,#68#6$!&8,#,"近似数位不够"不扣分"累计
’!$
得!!分"正确写出结论累计得!#分!
!7!$!%证明+因为10*平面"#*0"所以*0*01!…………………………………………………………!分
因为#0**0"#0-01*0"所以*0*平面#01!………………………………………………………#分
因为01*#*+"且<为01的中点"所以*+*0<" ……………………………………………………$分
因为*+.0<"所以四边形*0<+是平行四边形"则<+.0*"…………………………………………+分
所以<+*平面#01!………………………………………………………………………………………6分
! ’
$#%解+因为0=* 01*!"所以0=*!"01*+"
+
又01*#*+*#*0*##0"所以=<*!"*0*#0*#"…………………"分
&
#
所以+=*#=*槡##/!#*槡6"#+*槡##:$*#槡$"……………………’分
%
!
所以’ +#+= * # :#槡$:槡6%$*槡"! ……………………………………,分 $ "
槡"
设点1到平面#+=的距离为6"则3 * 6!………………………7分
1%#+= $
( !
! !
又’ * :$:#*$"所以3 * :$:#*#"…………………!!分
+1+= # #%1+= $
槡"
由 6*#"得6*槡""即点1到平面#+=的距离为槡"!…………………………………………………!#分
$
评分细则+
,!-第一问"证出*0*01"得!分"证出<+.0*"累计得+分"第一问全部证完累计得6分!
,#-第二问"算出=<*!"*0*#0*#"累计得"分"算出’
+#+=
*槡""累计得,分"算出3
#%1+=
*#"累计得
!!分"直至正确求出点1到平面#+=的距离"累计得!#分!
+
#&!解+$!%当$*+时"($)%*#45)/ "其定义域为$&"/A%" ……………………………………………!分
)
!高三数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$文科% "#$%&’("# + #)%+
可得(5$)%* % * !………………………………………………………………………………#分
) )# )#
当)#$&"#%时"(5$)%(&"($)%单调递减’当)#$#"/A%时"(5$)%$&"($)%单调递增!
所以($)%的单调递减区间为$&"#%"单调递增区间为$#"/A%!…………………………………………+分
($)%%# #45) $ #
$#%由-$)%* * / % ")#$!";#%"
) ) )# )
#%#45) # #$ +)%#)45)%#$
可得-5$)%* / % * !………………………………………………………6分
)# )# )$ )$
设>$)%*+)%#)45)%#$"则>5$)%*+%$#/#45)%*#%#45)"………………………………………"分
令>5$)%*&"即#%#45)*&"解得)*;!
当)#$!";%时">5$)%$&’当)#$;";#%时">5$)%(&!
所以>$)%在区间$!";%上单调递增"在区间$;";#%上单调递减" …………………………………………,分
且>$!%*+%#$">$;%*#;%#$">$;#%*%#$" ……………………………………………………………7分
!>$;%$&"
显然>$;%$>$!%$>$;#%"若-$)%在$!";#%上存在极值"则满足 解得&($(;" …………!!分
>$;#%(&"
所以实数$的取值范围为$&";%! …………………………………………………………………………!#分
评分细则+
#)%+
,!-第一问"写出($)%的定义域为$&"/A%"得!分"算出(5$)%* "累计得#分"得出($)%的单调区
)#
间"累计得+分!
+)%#)45)%#$
,#-第二问"求出-5$)%* "累计得6分"求出>5$)%*#%#45)"累计得"分"得出>$)%的单
)$
调区间"累计得,分"算出>$!%*+%#$">$;%*#;%#$">$;#%*%#$"累计得7分"求出参数$的取值范围"
累计得!#分!
,$-采用其他方法"参照本评分标准依步骤给分!
! ,
#!!解+$!%由右顶点是?$#"&%得$*#"又离心率@* * "所以,*!" …………………………………#分
# $
)# .#
所以%#*$#%,#*$"所以椭圆*的标准方程为 / *!!………………………………………………+分
+ $
$#%设"$) ! ".! %"#$) #".# %"显然直线A的斜率存在! ’
!.*/$)%+%"
设直线A的方程为.*/$)%+%"联立方程组 &
$)#/+.#*!#" $
消去.得$+/#/$%)#%$#/#)/"+/#%!#*&"由"$&"得% ! (/( ! " % " !
# # #
$#/# "+/#%!#
所以)/)* "))* !…………………………………"分
! # +/#/$ ! # +/#/$
因为点0$)
#
"%.# %"所以直线"0的方程为.*
)
.! /
%
.
)
#$)%)
!
%//$)
!
%+%!…………………………’分
! #
又.! /.# */$)
!
/)
#
%,%"…………………………………………………………………………………,分
所以直线"0的方程可化为.* #+/ )/ /) ! $) ! /) # %,% / /$) ! %+%$) # %) ! % "………!&分
$) # %) ! %$+/#/$% ) # %) ! ) # %) !
#+/ #+/ #+/
即.* )% * $)%!%"…………………………!!分
$)%)%$+/#/$% $)%)%$+/#/$% $)%)%$+/#/$%
# ! # ! # !
所以直线"0恒过点$!"&%! ………………………………………………………………………………!#分
评分细则+
$方法二%$!%同上$!%! ………………………………………………………………………………………+分
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$文科% "#$%&’("!)*4./+"
$#%设直线A的方程为)*4./+"联立方程组 消去)得$$4#/+%.#/#+4./$"*&"
$)#/+.#*!#"
#+4 $"
由"$&"得4$#或4(%#"所以.! /.# *%
$4#/+
".!.# *
$4#/+
!…………………………………"分
因为点0$)
#
"%.# %"则直线"0的方程为.*
)
.! /
%
.
)
#$)%)
!
%/.! !……………………………………’分
! #
又)
!
%)
#
*4.! /+%4.# %+*4$.! %.# %"………………………………………………………………,分
所以 直 线 "0 的 方 程 可 化 为.*
4
%
$
$
.
.
#
!
%
/
.
.
!
#
%
% $)%4.! %+%/.! * %
4
.
$.
!
#
/
%
.
.
#
! %
) /
$.! /.# %$4.! /+%/.! 4$.# %.! %
*%
.! /.#
)/
#4.!.# /+$.! /.# %
*
#+
$)%!%"
4$.# %.! % 4$.# %.! % 4$.# %.! % $$4#/+%$.# %.! %
此时直线"0恒过点$!"&%" ………………………………………………………………………………!&分
当直线A的斜率为&时"直线A的方程为.*&"也过点$!"&%! …………………………………………!!分
综上"直线"0恒过点$!"&%!………………………………………………………………………………!#分
说明+第$#%问还可以先猜想出定点在)轴上"写出直线"0的方程"令.*&"求出定点坐标为$!"&%后再加
以证明"也可以得满分!
##!解+$!%曲线*的普通方程为$)/!%#/.#*+! ……………………………………………………………#分
! ! !
由#3.5$$/ %*槡#"得#3.5$123 /#123$3.5 *槡#"即#3.5$/#123$*#"
+ + +
因为)*#123$".*#3.5$"所以直线A的直角坐标方程为)/.%#*&!…………………………………+分
$!
$#%因为直线A的斜率为%!"所以A的倾斜角为 "
+
0 )*%#% 槡# B"
#
所以过点?$%#"!%且与直线A平行的直线A5的方程可设为/ $B为参数%!………………"分
槡#
1.*!/
#
B
0 )*%#% 槡# B"
# 槡# 槡#
设点""#对应的参数分别为B
!
"B
#
"将/ 代入$)/!%#/.#*+"可得$%!%
#
B%#/$!/
#
B%#
槡#
1.*!/
#
B
*+"整理得B#/#槡#B%#*&"则"$&"B
!
/B
#
*%#槡#"B
!
B
#
*%#" ………………………………………,分
所以 ! / ! * %?"%/%?#% * %B ! %B #% * 槡$%#槡#%#/+:# *#!……………………………!&分
%?"% %?#% %?"%%?#% %B ! B #% #
评分细则+
,!-第一问"圆的方程没有写成标准方程"不扣分"累计得#分"写出直线A的方程"不管哪种形式"不扣分"
累计得+分!
,#-第二问"写出直线A5的参数方程"累计得"分"联立方程组并写出B
!
/B
#
*%#槡#"B
!
B
#
*%#"累计得,分"
! !
求出 / *#"累计得!&分!
%?"% %?#%
#$!证明+$!%由已知可得$*+$#/%#/!",#/$+$#/%#%/$+$#/!",#%/$%#/!",#%’+$#/%#/!",#/+$%/
!"$,/,%,*$#$/%/+,%#" …………………………………………………………………………………$分
槡$
当且仅当#$*%*+,* 时"等号成立!……………………………………………………………………+分
$
又$"%",均为正数"所以#$/%/+,&槡$! …………………………………………………………………6分
$#%因为$#$%#/%#/$+,%#’$槡 $$#$%#%#$+,%#"
!高三数学"参考答案!第!!!!6页#共"页$文科% "#$%&’("槡$
当且仅当#$*%*+,* 时"等号成立"……………………………………………………………………’分
$
所以$:+槡 $$$%,%#&!"整理得$$%,%#&$ ! %$"……………………………………………………………,分
!#
$ $
所以 ! / ! / ! ’$槡! & ! & ! * $槡! ’ $ 槡 $ !#$*7"
+$# %# !",# +$# %# !",# + $#%#,# +
槡$
当且仅当#$*%*+,* 时"等号成立!……………………………………………………………………!&分
$
评分细则+
$证法二%证明+$!%由柯西不等式得($#$%#/%#/$+,%#)$!#/!#/!#%’$#$/%/+,%#" ………………$分
所以$#$/%/+,%#&$!………………………………………………………………………………………+分
槡$
因为$"%",均为正数"所以#$/%/+,&槡$$当且仅当#$*%*+,* 时"等号成立%!…………………6分
$
! ! !
$#%$ / / %$+$#/%#/!",#%
+$# %# !",#
%# !",# +$# !",# +$# %#
*!/!/!/ / / / / / …………………………………………………………’分
+$# +$# %# %# !",# !",#
%# +$# !",# +$# !",# %#
*$/$ / %/$ / %/$ / %…………………………………………………………,分
+$# %# +$# !",# %# !",#
’$/#槡%
&
#$ /#槡+,
&
#$ /#槡+,
&
%
*7"
#$ % #$ +, % +,
槡$
当且仅当#$*%*+,* 时"等号成立!……………………………………………………………………!&分
$
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$文科% "#$%&’("
