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万州二中 2023 年高 2023 届 1 月质量检测
数学试题
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、单选题
1．已知向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．异面直线指的是（ ）
A．两条不相交的直线 B．两条不平行的直线
C．不同在某个平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
3．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了
名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ ）分成六段： ，
， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图．下列结
论错误的是（ ）
A．这 辆小型车辆车速的众数的估计值为
B．这 辆小型车辆车速的中位数的估计值为
C．这 辆小型车辆车速的平均数的估计值为
D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过 的概率为
4．如图，在四棱锥 中， ，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体
积为（ ）
A． B． C． D．5．设双曲线C： 的左､右焦点分别为 ， ，以 为圆心的圆恰
好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段 的中点，则双曲线C的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
6．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的
侧面积是（ ）
A． B． C． D．
7．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设 的中点为
M， 的中点为N，下列结论正确的是（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D． 平面
8．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数 的定义域为R，它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论正确
的是（ ）
A．在 上函数 为增函数 B．在 上函数 为增函数C．在 上函数 有极大值 D． 是函数 在区间 上的极小值点
10．（多选）如果函数 在 上单调递增，对于任意的 ， ，下
列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正数 ， ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，
则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
三、填空题
13．在锐角 中，内角A､B､C所对的边分别是 ，若 ， ，
，则 ____
14．若随机变量 ，已知 ，则 ______.
15．若不等式 对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_________．
16．在空间直角坐标系O-xyz上，有一个等边三角形ABC，其中点A在z轴上.已知该等边
三角形的边长为2，重心为G，点B，C在平面xOy上，若 在z轴上的投影是z，则
___________（用字母z表示）.
四、解答题
17．已知点 是线段 的中点.
（1）求点 和 的坐标；
（2）若 是 轴上一点，且满足 ，求点 的坐标.
18．已知函数 ．（1）若 有一个零点为 ，求a；
（2）若当 时， 恒成立，求a的取值范围．
19．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年
产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成
本为 （万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的
药品能全部售完．
（Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？
（Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．
20．已知正四棱柱 ABCD ABC D 的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为BC ，AD
1 1 1 1 1 1
的中点.
（Ⅰ）求证：BE平面C FD；
1 1
（Ⅱ）求直线BE到平面C FD 的距离.
1 1
21．已知椭圆 两个焦点分别为 ，离心率为 ，且过点
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)P是椭圆C上的点，且 ，求三角形 的面积.22．已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 的值；
(2)若 在 上有最大值，求 的取值范围.
