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专题 12.3 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路之三大思想
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【基本思想一 已知两边对应相等解题思路】................................................................................................1
【基本思想二 已知两角对应相等解题思路】................................................................................................3
【基本思想三 已知一边一角对应相等解题思路】........................................................................................7
【过关检测】...................................................................................................................................................10
【典型例题】
【基本思想一 已知两边对应相等解题思路】
基本解题思路：
已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；
②找第三边对应相等（SSS）.
例题：（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上， ， ，
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质可得 ，再由 ，可得 ，再根据全等三角形的判
定即可得出结论．
【详解】证明： ，
，
，，
在 和 中，
．
【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，点A，D，B，E在一条直线上， ， ， ．求
证： ．
【答案】见解析
【分析】由 可推得 ，运用SSS判定两三角形全等，进而根据全等性质得到对应角相等．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即：
在 和 中
∵
∴ ，
∴
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法SSS，熟练相关的判定公理是解题的关键．
2．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图， 与 交
于点 ，且 ．试说明： ．【答案】见详解
【分析】由题意易得 ，然后可证 ，进而根据全等三角形的性质可求
证．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【基本思想二 已知两角对应相等解题思路】
基本解题思路：
已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；
②找非夹边的边对应相等（AAS）.
例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．
【详解】
证明：在△ABC和△ABD中 ，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
∴BC=BD．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵BF=CE
∴BF+EF=CE+EF，
即：BE=CF，在△ABE和△DCF中 ，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=DC．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知： ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．
【详解】
证明：如图，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵在 和 中，∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．
3．（2023·云南文山·统考二模）如图， ， ， ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】先证明 ，再利用“ ”证明 ，即可作答．
【详解】∵ ，
∴ ，即 ．
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用利用“ ”证明 是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点D在 上， ．
(1)添加条件：____________（只需写出一个），使 ；(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件可得 ， ，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；
（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．
【详解】（1）添加的条件是： ,
故答案为 ；
（2）∵
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
又
∴
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．
【基本思想三 已知一边一角对应相等解题思路】
基本解题思路：
（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).
（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);
②找另一角对应相等(AAS或ASA).
例题：（2023·湖南邵阳·统考二模）如图， 与 相交于点E，已知 ， ，求证：
．
【答案】见解析
【分析】先证 ，再证 即可；
【详解】解：由题可知， ，， ，
，
， ，
，
即 ，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练运用全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，已知 ， ， ，求证：
．
【答案】见解析
【分析】证明 即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ .
在 和 中，
∴ .
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，
．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】利用 证明 ，得到 ，即可证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ 和 均为直角三角形．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的
关键，全等三角形的判定定理有 ．
3．（2023·江苏苏州·统考三模）如图， ， 交于点 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接根据 即可求证；（2）根据三角形的内角和求出 ，根据 得出 ，最后根据三角形
的外角定理，即可求解．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角
形对应边相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
【过关检测】
一、解答题
1．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，点 ， 分别在线段 ， 上， ，
， 和 相等吗？请说明理由.【答案】相等，理由见解析
【分析】根据全等三角形的判定定理直接证明 ，再利用其性质即可证明．
【详解】解：相等，证明如下：
在 与 中，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
2．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段 上，在 和 中，
．
求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】直接利用 证明 ，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在 和 中，
∴∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．（2018秋·广东潮州·八年级统考期中）已知 是 上一点， ， ， ．求
证：
【答案】见解析
【分析】首先由 得到 ，根据 证明三角形全等即可．
【详解】∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在 中， 于点D，
于点E， 与 交于点F，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明 ，则 ，即可根据全等三角形
的判定定理“ ”证明 ；
（2）先由 求得 ，再根据全等三角形的对应边相等证明 ，则
．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应
边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．
5．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，已知 ．(1) 全等吗？为什么？
(2)连接 ，那么 相等吗？为什么？
【答案】(1)全等，见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，可知 ，利用 即可证明 全
等；
（2）由 可得 ，利用 即可证明 ，即可证明结论．
【详解】（1）全等．
∵ （已知），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ （等角的补角相等），
在 和 中，
∴ ．
（2）相等．
连接 ，
∵ （已知），
∴ （等式性质），即 ，
在 和 中，∴ ，
∴ （全等三角形的对应边相等）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握判断三角形全等的方法是解决问题的关键．
6．（2023秋·四川广元·八年级统考期末）如图， 相交于点O， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“ ”可证 ，再根据全等三角形的性质即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再根据角的和差即可求解．
【详解】（1）证明：（1）∵ ，
∴ 和 都是直角三角形，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 中， ，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，利用“ ”证明
是本题的关键．
7．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图， ，垂足分别为D，E．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直定义求出 ，根据等式性质求出 ，根据 证
明 ；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到 ，再根据 ，即可解答．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明
△ADC和 全等的三个条件．
8．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图， 于点E， ．(1)求证∶ ；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）利用 证明 与 全等即可得到 ；
（2）由（1）得 ，进而由 可得 ，从而得出 ．
【详解】（1）∵
∴
在 与 中
∴ （ ）
∴
（2）
理由如下：由（1）可知，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，选择恰当的判定条件证明三角形全
等是解题的关键．
9．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知 ， ， ， 在同一直线上， ， ，
．(1) 与 全等吗？请说明理由；
(2)写出图中其余两对全等的三角形．
【答案】(1) 与 全等，理由见解析
(2) ， ．
【分析】（1）根据条件 可得 ，根据等式的性质可得 ，加上 可证
明 ；
（2）利用 可判定 ，和 ；
【详解】（1）解： 与 全等，
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解：还有两对， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、
、 ．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，过点
作 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行可知角 ，再根据中点和对顶角相等可知全等三角形；
（2）根据全等三角形的性质可知 ，再根据线段的和差关系可以求出 的长．
【详解】（1）解：∵ 是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴在 和 中，
∴
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，中点的定义等相关知识点，熟记全等三角形的性质和判定
是解题的关键．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， 交 的延长线于 ， 于 ，若 ，
．
(1)求证： 平分 ；
(2)猜想 、 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）求出 ，根据全等三角形的判定定理得出 ，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ， ，即可求出答案．
【详解】（1）解：证明： ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
平分 ；
（2） ．理由如下：
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 ， ，
， ， ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12．（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形 中， ，连
接 ，点 在 上，连接 ，若 ， ．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 ，得到 再利用 证明 ，从而得到结论；
（2）由 ， ，求得 ，因为 ，得到 ，再根据
，利用三角形内角和求得最后结果．
【详解】（1）证明： ，
，
在 和 中 ，
，
．
（2） ， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
13．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，点 在线段 上， ， ， ，延
长 分别交 、 于点 、 ．
(1)求证：
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 证明 与 全等，即可得出结论；
（2）先由全等三角形的性质得 ，再由三角形的外角性质得 ，然后由三
角形的外角性质即可得答案．
【详解】（1）解：证明： ，
，
在 与 中，
，
，
；
（2） ，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握
平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．（2023秋·北京海淀·八年级校考阶段练习）如图1，在等腰直角三角形 中， ，
，点 在 边上，连接 ， ， ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．
①补全图形并证明 ；
②试探究，当 ， ， 三点恰好共线时． 的度数为___________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）先判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论；
（2）①先判断出 ，再根据（1）得出 即可得出结论；②先判断得出
，进而得出 ，再判断出 ，进而得出
，最后求出 即可得出结论．
【详解】（1）证明： ，
，
∴∠BAD=∠CAE
， ，
（SAS），
，
（2）补全图形如图 所示，连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，
，
（SSS）
由（1）知
②如图，连接 ，
由（1）知
在 中， ，
点 ， 关于 对称
，由（1）知
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了轴对称，同角的余角相等，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属
于几何变换的综合题，判断出 是解题关键．
15．（2023秋·重庆綦江·八年级统考期末）综合与探究：
如图，在 和 中， ， ， ， 的延长线交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
(3)过点 作 于点 ，请探究 、 、 三条线段的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）可利用 证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ，结合平角的定义可得 ，根据
，可求得 ，即可求解；
（3）连接 ，过点A作 于点J．结合全等三角形的性质利用 证明 ，可得 ， ，进而可证明结论．
【详解】（1）证明： ．
．
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
．
，
，
；
（3）结论：
证明：如图，连接 ，过点 作 于点 ．
，
， ，
， ．
，
．
在 和 中，，
，
．
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
16．（2023春·广东深圳·七年级深圳市海湾中学校考期中）如图在 和 中， ，
， ，连接 ， 交于点M．
(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且 时，可以得到图中的一对全等三角形，
即______ ______；
(2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且 ．
①试说明 ；
②直接写出 的大小（用含α的代数式表示）．
【答案】(1) ，
(2)①见解析；②∠EMD=α
【分析】（1）由“SAS”可证 ；
（2）①由“SAS”可证 ，可得 ，
②由全等三角形的性质可得 ，由三角形的内角和定理可求解．【详解】（1）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
