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专题12 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学
生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解
决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称
变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解
让大家对这类问题有比较清晰的认识。
模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值
【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小 。
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
图1 图2
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：
辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.
（2）如图2，点A、B在直线同侧：
辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’ ，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.
例1．（2022·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，
∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边三角形 的边 上的高为6， 是 边上的中线，
M是线段 上的-一个动点，E是 中点，则 的最小值为_________．例3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形 的边长为5，A、B、 三点在一条直线上，
且 ．若D为线段 上一动点，则 的最小值是________．
例4．（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，
E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？
模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值
【模型探究】已知定点A位于定直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
A'
n A
Q
A m
P
m A"
辅助线：过点 A 作关于定直线 m、n 的对称点 A’ 、A’’ ，连接 A’A’’ 交直线 m、n 于点 P、Q，则
PA+PQ+QA的最小值为A’A’’.
例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且
OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， ．在BC，
CD上分别找一点M，N，使 周长最小，则 的度数为_________．
例3．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边
上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
△
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
例4．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示， ，点 为 内一点， ，点
分别在 上，求 周长的最小值．模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值
【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）如图1，两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
（2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为
AB’.
A
A
m A
m
m
P' P A
m P
B
n n
Q' Q B n
Q
B B n B'
图1 图2
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线 m、n的对称点 A’ 、B’ ，连接 A’B’ 交直线 m、n于点P、Q，则
PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
（4）如图4，台球两次碰壁模型：
辅助线：同图3辅助线作法。
A'
m
A
m
P
A
B
Q
B n
n B'
图3 图4
例1．（2022·和平区·八年级期末）如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，点P，Q分
别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 的值最小时， 的大小=___．例2．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣
2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值
是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例3．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边
向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
△
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
模型4、将军饮马--线段差的最大值
【模型探究】A，B为定点，在定直线m上分别找两点P，使PA与PB的差最大。
（1）如图1，点A、B在直线m同侧：
辅助线：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时
最大，因此点P为所求的点。
（2）如图2，点A、B在直线m异侧：
辅助线：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’A
A
A
A B'
B m
B m P' P
m
m P P' B B
图1 图2
例1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线 上
的动点，且 ，则 的最大值是________．
例2．（2022·广东·八年级专题练习）如图， ， ，AD是∠BAC内的一条射线，且
，P为AD上一动点，则 的最大值是______．
例3．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图， ， 为 上一动点， ，过 作
交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，
则 ________ ．课后专项训练
1．（2022·河南七年级期末）如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为 ， 平分 ，
若 、 分别是 、 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃白银·七年级期末）如图，在 中， ， ， ， ，EF垂直平分
BC，点P为直线EF上的任意一点，则 周长的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．12 D．8
3．（2022·江西宜春·八年级期末）如图，在 中， 是边 的垂直平分线，交 于点 ，交
于点 ，点 是直线 上的一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
4（2022•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上
的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
5．（2022·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝
4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2023云南八年级期末）如图，在等边 中，BC边上的高 ，E是高AD上的一个动点，F
是边AB的中点，在点E运动的过程中， 存在最小值，则这个最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8△ABC AC BC AB6 △ABC
7．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在 中， ， ， 的面积为12，
CD AB
于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则
△PBD的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
8.（2022•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分
别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2022·河南·安阳市八年级期末）如图，在 中， ，边 的垂直平分线 分别交 ，
于点 ， ，点 是边 的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ，若 ，
， 周长最小时， ， 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB
上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
11．（2022·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是
OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
12．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，
∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
13．（2022·广东·八年级专题练习）如图， ， ，AD是∠BAC内的一条射线，且
，P为AD上一动点，则 的最大值是______．
14．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线 上的
动点，且 ，则 的最大值是________．15.（2022·河南八年级期末）如图，在 中， ， ， ， ， 平分
交 于点 ， ， 分别是 ， 边上的动点，则 的最小值为__________．
16．（2022·四川成都·七年级期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于 AB长为半径作弧，
两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝
AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ___．
17．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在 中． ，若 ， ， ，
将 折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则 的周
长最小值为___．18．（2022·湖北·八年级）如图， ， 为 上一动点， ，过 作 交直线
于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，则
________ ．
19．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， ．在BC，CD
上分别找一点M，N，使 周长最小，则 的度数为_________．
20．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形 的边长为5，A、B、 三点在一条直线上，且
．若D为线段 上一动点，则 的最小值是________．21．（2023·山东青岛市·八年级期末）如图，等边 （三边相等，三个内角都是 的三角形）的边长
为 ，动点 和动点 同时出发，分别以每秒 的速度由 向 和由 向 运动，其中一个动点到终
点时，另一个也停止运动，设运动时间为 ， ， 和 交于点 ．
（1）在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由；（2）连接 ，求 为何值时， ；
（3）若 于点 ，点 为 上的点，且使 最短．当 时， 的最小值为多少？
请直接写出这个最小值，无需说明理由．
