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专题13.17 等边三角形（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于D点，交 于E点，则下列结论
错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等边三角形 中， 平分 交 于点 ，过点 作 于点 ，且 ，
则 的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
3．如图，在 中， ， 为线段 上一定点， 为线段 上一动点．当点 在运动的过程
中，满足 的值最小时， 的大小等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ．则 是 的（ ）A．4倍 B．3倍 C．2倍 D．1倍
5．如图， 中，若 ， ，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（
）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．如图，等腰 中， 分别为 上的点，且 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．8．如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，
再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（
）
A．a＋c＝b B．2a＝b＋c C．4c＝a＋b D． a＝b－c
9．（2023秋·新疆和田·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点 在边
上， ，连接 ．将 沿直线 翻折后，点 的对应点为点 ，作 ，垂足为 ，则
．
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是直角三角形，且∠F＝30°，将D放在斜边BC的中点处，
转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：①AG＝CE；②BG﹣AC＝CE；
③S BDG﹣S CDE＝ S ABC；④EF+2FG＝2FD其中成立的是（ ）
△ △ △
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④二、填空题
11．小明在纸上面了一个边长为5cm的等边三角形 ，并将一个宽为2cm直尺如图所示放在所画
上，使得直尺一条边与 的边BC重合，另一条边交边AB于点E，则AE= ．
12．已知：如图所示，点 在 的延长线上， ，则 的形状为
13．如图，点O是原点， 轴，点M在线段 上，且 ，点E是线段 的中点，若点B和
点E关于直线 对称，点B的坐标是 ，则点A的坐标是 （结果用 表示）．
14．如图，在四边形 中，O是 中点， ， ，若 ，则
．15．如图，在 中， ，D为 的中点，E为 边上一点，将 沿着 翻折，得到
，连接 ．当 时，则 的度数为 ．
16．如图， ， ， ， ，若 ， ，且 长为奇数，则
的长为 ．
17．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点， ，AE与CD交于点F，
于点G，则 的度数为 ．
18．如图：AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点 处，连结
B ，那么B 的长为 ．三、解答题
19．如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ， ，垂足为点F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的周长．
20．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的
延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．21．如图， 是 的中点， ， ， ，且 平分 ．求证： 是
等边三角形．补全下面的证明过程及理由．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ ___________（___________）．
∵ （已知），
∴ __________°．
∵ （已知），
∴ __________（___________），
∴ ．
又∵ （已知），
∴ 是等边三角形（____________）．
22．如图，点E在 的外部，点D在 上， 交 于点F， ， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，猜想 的形状并证明．23．如图，已知 是等边三角形， 、 、 分别是射线 、 、 上一点，且 ，
连接 、 、 ．先判断 的形状，并说明理由．
24．在 中， ，点 、 是 边上的两个动点（不与点 、 重合），点 在点 的左侧且
．
（1）如图1，图中有几对全等的三角形？请写出来；
（2）如图1，若 ， ， ______， ______；
（3）在（2）的条件下，在图2中作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ．（不必用尺规作
图）
①直接写出 和 的数量关系；
②求出 的度数．参考答案
1．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 ， ，从而得到 ，进而得到
，再由角平分线的性质可得 ，灾后根据直角三角形的性质可得 ，从而
得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，故B选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
∵ ，∴ ，
∴ ，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三
角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．C
【分析】由等边三角形的性质可得 ，由 可得 ，由
含 角的直角三角形的性质可得 ，由 平分 交 于点 ，三线合一的知识得
，从而即可得到答案．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
平分 交 于点 ，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，
含 角的直角三角形的性质，是解题的关键．
3．C
【分析】作射线 ，使得 ，过点 作 交 于点 ，则 ，
，过点 作 交 于点 ，则当点 为 与 的交点时，
有最小值 ，此时由已知条件可得 的度数．
【详解】解：如图，作射线 ，使得 ，过点 作 交 于点 ，
则 ，，
过点 作 交 于点 ，
则当点 为 与 的交点时，
有最小值 ，
此时， ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了平面内线段最值问题，充分运用直角三角形中， 锐角所对的边为斜边的一半构造
是解题的关键．
4．A
【分析】根据已知条件可以判定 是等边三角形， 和 是等腰三角形，根据等边三角形的
性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定理，即可得出角之间的关系．
【详解】解： ，
是等边三角形， 和 是等腰三角形，
，
，，
是 的4倍，
故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判定和性质，三角形外角的定理，角的和差计算，熟练掌
握知识点是解题的关键．
5．D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即
可．
【详解】∵ ， ，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知， 平分 ，
∴ ，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵ ， ，
∴ ；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质
等知识，解题的关键是读懂图象信息．
6．A
【分析】利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，
∴∠CGD＋∠CDG＝60°，
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°，
∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，
∴∠DFE＋∠E＝30°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形的外角性质，利用等边对等角和三角形
的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
7．A
【分析】可设∠A=x，根据在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，再利用已知得出△BDQ为等边三角
形，进而得出x的角度，即可得出答案．
【详解】如图，在 上取点D，使 ，连接 ．设 ，则
．
，
．
又 ，
，
，
，
，
为等边三角形，，
， ，
，
．
故选A．
【点拨】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，此题的关键是正确作出辅助线，得出
△BDQ为等边三角形．
8．B
【分析】连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，可证明△BCE为等边三角形可得BE=CE=AC=b，
即可求得∠ADE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE=2AE，进而可得2（b-a）+c=b，化简即可
求解．
【详解】解：连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，
由题意得：∠ABC=∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BEC=∠ABC=∠BCD=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CE=BC=b，
∵AD⊥AB，
∴∠EAD=90°，∴∠ADE=90°-∠E=30°，
∴DE=2AE，
∵CD=c，AB=a，
∴2（b-a）+c=b，即2a=b+c．
故选：B
【点拨】本题主要考查等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，构造等边三角形是解题
的关键．
9．
【分析】先证明 是等边三角形，则可得 ，则 ，根据翻折的性质，可得
，和 的长．在 中，根据“直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半”即可求
出 的长．
【详解】 ，
．
中， ，
是等边三角形，
，
．
根据翻折的性质可得， ，
．
又 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，及直角三角形的性质．熟练掌握以上知识，证明
是解题的关键．
10．B
【分析】连接AD，即可推出AD垂直且平分BC，根据等腰直角三角形的相关性质即可推出
△ECD≌△GAD，再根据全等三角形的性质，即可推出AG=CE，DG=DE，再由AB=AC，AG=CE，可得BG-
AC=BG-AB=AG，即BG-AC=CE，然后，根据所推出的结论可得S ECD=S GAD，S ABC=2S ，通过等量代
ADB
△ △ △换，结合图形即可推出S BDG-S CDE=S BDG-S ADG=S ADB，即S BDG-S CDE= S ABC．由含30度直
△ △ △ △ △ △ △ △
角三角形的性质得到EF=2DE，即可证明EF+2FG= 2DG．
【详解】解：连接AD．
∵△ABC是等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ACD=∠B=∠CAD=∠BAD=45°，CD=BD=AD，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADG=∠EDC，∠ECD=∠GAD=135°，
∴在△ECD和△GAD中， ，
∴△ECD≌△GAD（AAS），
∴AG=CE，故①正确；
BG-AC=BG-AB=AG，
∵AG=CE，
∴BG-AC=CE，故②正确；
∵△ECD≌△GAD，
∴S ECD=S GAD，
△ △
∵△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边上的高，
∴S ABC=2S ，
ADB
△
∴S BDG-S CDE=S BDG-S ADG=S ADB，
△ △ △ △ △
∴S BDG-S CDE= S ABC，故③正确，
△ △ △
∵△DEF是直角三角形，且∠F=30°，∴EF=2DE，
∵△ECD≌△GAD，
∴DE=DG，
∴EF+2FG=2DE+2FG=2(DG+FG)= 2DG，故④正确，
综上，①②③④都正确，
故选：B．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质定理，三角形的面积公式，关键
在于正确地作出辅助线，推出△ECD≌△GAD．
11．1cm
【分析】根据含等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质求出BE=4，故可求出AE的长．
【详解】解：由图可得BD=2，DE⊥BC
∵ 是等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠BED=90°-60°=30°
∴BE=2BD=4cm
∴AE=AB-BE=1cm
故答案为：1cm．
【点拨】此题主要考查三角形内的线段长度求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质、含30°的直角三
角形的性质．
12．等边三角形
【分析】先求出 ，然后根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形即可解答．
【详解】解：∵点 在 的延长线上， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点拨】本题考查了邻补角的定义，以及等边三角形的判定方法，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答
本题的关键．
13．
【分析】根据点B的坐标求出OB的长，再连接ME，根据轴对称的性质可得OB=OE，再求出AO的长度，然后利用三角函数得到∠A=30°，∠AOB=60°，进一步得到∠BOM=∠AOM=30°，再根据等角对等边得到
AM=OM=2t，根据三角函数得到BM= OM=t，从而求出AB的长，然后写出点A的坐标即可．
【详解】解：∵点B（0，s），
∴OB= s，
连接ME，
∵点B和点E关于直线OM对称，
∴OB=OE=s，
∵点E是线段AO的中点，
∴AO=2OE=2s，
∴∠A=30°，∠AOB=60°，
∴∠BOM=∠AOM=30°，
∴AM=OM=2t，
∵BM= OM=t，
∴AB=BM+MA=3t，
∴点A的坐标是（3t，s）．
故答案为：（3t，s）．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质并作出辅助
线构造出直角三角形是解题的关键．
14． /75度
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，再利用
可得 是等边三角形，从而得到 ，利用等腰三角形的性质三线合一可得
，从而得到 ，再利用 ，得到 ．【详解】解：∵O是 中点，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵O是 中点，
∴ ，(三线合一)
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案是： ．
15． /20度
【分析】结合题意，由翻折易证 为等边三角形得到 ，然后利用三角形内角和定理和外
角进行角的加减计算和求解．
【详解】解：D为 的中点，
，
有翻折可知： ， ， ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
，
，
，
又 ，
，
故答案为： ．【点拨】本题考查了翻折的性质，等边三角形的证明和性质的应用，三角形内角和定理以及三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角之和，角的计算；解题的关键是证明 为等边三角形得到
．
16．3
【分析】由已知条件得 ，进而得出 ， ，再根据
得到 为等边三角形，进而得到 ，最后根据三角形的三边关系即
可求出．
【详解】解：在 和 中
，
， ，
， ，
，
为等边三角形，
，
， ，
，即 ，
,
长为奇数，
，
故答案为3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理与
性质是解题的关键．
17． /30度
【分析】先根据等边三角形的性质得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，则由AD＝BE得到BD＝CE，
再根据“SAS”可判断△ACE≌△CBD，根据三角形外角性质得到∠CAE＝∠BCD，所以∠AFG＝∠BCD＋
∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形内角和定理即可求出∠FAG的度数．【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，
∵AD＝BE，
∴BD＝CE，
∵在△ACE和△CBD中
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠CAE＝∠BCD，
∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF＝90°，
∴∠FAG＝90°−60°＝30°．
故答案为30°．
【点拨】本题考查了本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是
解题的关键．
18．3
【分析】根据中点的性质得BD=DC=3，再根据对称的性质得 ，判定三角形为等边三角形即可
求．
【详解】解： BC=6，D为BC的中点，
BD=DC=3，
根据轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，DC=DC′=3，
，
为等边三角形，
，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了翻折变换的知识，同时考查了等边三角形的性质和判定，判定出 为等边三角形
是关键．19．(1）见解析 (2)24
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知 ，再由 可知
，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）由 可得出 ，故可得出 的长，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵
∴ ；
（2）解：∵ ，由（1）知 ，
∴ ．
∵ 为等边三角形， 是中线，
∴ ，
∴ 的周长 ．
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于 是解题的关键．
20．1）30°；（2）4．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．
【点拨】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°角的直角三
角形的性质．
21． ；角平分线的定义；60； ；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边
三角形
【分析】利用角平分线的性质得出 的度数，再利用平行线的性质得出 的度数，进而得出
为等边三角形．
【详解】证明：∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∵ （已知），
∴ ．
∵ （已知），
∴ （两直线平行，同位角相等），
∴ ．
又∵ （已知），
∴ 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
故答案为： ；角平分线的定义；60； ；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形
是等边三角形．
【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定以及平行线的性质，根据已知得出 是解题关键．
22．(1）证明见解析；
(2) 是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）根据已知求得， ，再由已知 ， ，可得 ，
所以根据ASA可判定 ．
（2）由全等三角形对应角相等得到 ，再由一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得
到结论．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
23． 是等边三角形，理由见解析
【分析】根据等边三角形的性质，证明 即可得出 是等边三角形．
【详解】解： 是等边三角形
理由：
是等边三角形
∴ 是等边三角形．
【点拨】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，根据已知得出
是解题关键．
24．(1）图1中有2对全等三角形， ，(2) ，
(3)① = ；②
【分析】（1）证明 ， ，即可求解；
（2）根据等边三角形的性质和三角形外角的性质即可求解；
（3）证明 是等边三角形即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
在 与 中，
∴ ；
，
，
在 与 中，
∴ ；
（2）解： ，
是等边三角形，
，
，
，，
；
（3）解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ．
① ，理由如下：
，
，
，
由（2）知 是等边三角形，
，
，
点 关于直线 的对称点为 ，
， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
②由①知： 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，对称性质、全等三角形的性质与判定，
解题的关键是掌握相关判定定理．
