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专题15.25 分式（全章分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022下·山东济南·八年级校考期中）若 ，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
2．（2022·河北邢台·校考三模）若 ，则式子 的值在（ ）
A． 和0.4之间 B．0.4和1之间 C．1和1.6之间 D．1.6和2.2之间
3．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）若 的计算结果为正整数，则对 值的描述最准确
的是（ ）
A． 为自然数 B． 为大于 的偶数 C． 为大于 的奇数 D． 为正整数
4．（2023下·宁夏中卫·七年级校考期中）计算： 得到的结果
是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A． 为任何实数时，分式 总有意义
B．当 时，分式 的值为0
C． 和 的最简公分母是D．将分式 中的 ， 的值都变为原来的10倍，分式的值不变
6．（2022下·河南郑州·八年级校考期末）小沈对下面式子进行化简整理：
第一步
第二步
第三步
对于小沈的化简过程，你认为（ ）
A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．没有错误
7．（2022上·河北石家庄·八年级统考期中）当 的值是 时，则 为（ ）
A．任意正数 B．任意非负数
C．不等于2的正数 D．不等于2的非负数
8．（2022下·浙江绍兴·七年级统考期末）设 ， 为实数，定义如下一种新运算： ，若
关于 的方程 无解，则 的值是（ ）
A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3
9．（2022·河北唐山·统考一模）以下是甲、乙、丙、丁四位同学做的题，
甲：计算 时，去分母，同乘于 ，得 ．
乙：对于分式 ，利用分式基本性质，可得， ．
丙：由 ，解得 ．丁： 中a、b的值都扩大到原来的2倍，所得分式的值扩大到原来的4倍．
则针对以上解法，下列说法正确的是（ ）
A．只有丙正确 B．只有丁正确
C．甲、乙都正确 D．丙、丁都正确
10．（2023·安徽宿州·校考一模）甲、乙两个工程队共同承担了全长5100米的公路改造任务，乙队每
天的工作效率是甲队的 倍，甲队先单独工作2天后，再与乙队共同完成剩余的工作，其中乙队一共完成
了2400米的公路改造任务．设甲队每天能改造 米公路，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·六年级单元测试）计算：（1） ；（2）
12．（2023·上海·七年级假期作业）已知对任意x有 ，则 ，
， ．
13．（2023上·湖北孝感·八年级统考期末）计算： （其中 且 ）＝ ．
14．（2023·安徽马鞍山·校考一模）甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚
工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工 个零件（用含a的代数式表
示）．
15．（2022·山西晋中·统考二模）北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供
高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度为10纳秒，1纳秒为1秒的十亿分之一，用科学记数法表示其授时精度为 秒．
16．（2022上·河北保定·八年级统考期末）如图在解分式方程 的过程中，步骤（2）的
依据是 ，步骤（4）的依据是 ．
解分式方程：
解： ……
（1）
……（2）
……（3）
……（4）
……（5）
……（6）
经检验， 是原方程的解．
17．（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题， ， ， ，
， ， ， ，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
18．（2023上·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知数列 ， ，……，
，……，设 ，则与 最接近的整数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2022上·四川绵阳·八年级校考阶段练习）计算下列各题：
（1）（2）请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值：
20．（8分）（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）计算
（1）计算：
（2）化简计算： ．其中a选一个你喜欢的数字代入计算
（3）解方程：
21．（10分）（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）解答下列各题
（1）计算：
（2）学校小报告厅的面积为 ，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖正好是75块．求每块地板砖
的边长．
（3）先化简： ，再从0，1， ， 中选取一个合适的数代入求值．22．（10分）（2023下·山西长治·八年级统考期末）化简： ．
解：
……（第一步）
. ……（第二步）
解方程： ．
解：方程两边同时乘以___________，得：
……（第一步）
去括号，得 ， ……（第二步）
合并同类项，得： ……（第三步）
移项，得： ， ……（第四步）
化系数为1，得： ……（第五步）
任务一：补全题目中空格部分．
任务二：化简题目中，第一步运算是___________，它的依据是______________________；
解方程题目中，第一步运算是___________，它的依据是______________________；
任务三：小长同学通过核对答案，认为解方程的答案是正确的，但小治同学却说解题不能仅看结果，更要注重过程，他认为上面解方程的过程少了一步．你觉得小治说的对吗？如果你同意小治的说法，那题
目中少了哪一步呢？请先补全这一步，再说明该步骤不能省略的理由！
任务四：反思让人进步，分享使人成长，请你给大家分享你在学习分式（分式方程）中的成功经验．
（至少一条）
23．（10分）（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是
发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解
决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体
思想解答下列问题：
（1）因式分解： _______；
（2）计算：
_______；
（3）已知 ．
①若 ，求m的值；
②计算： ______．
24．（12分）（2023·河北沧州·校考模拟预测）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下．
生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了 元和 元，而每本硬面笔记本比
软面笔记本贵 元．”
学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．”
（1）请你通过计算分析学习委员说得对不对；（2）在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整
数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a
的值；若不存在，请说明理由．参考答案：
1．B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系
数相等，即可求出A，B．
解：
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，得： ，
∴ ．
将 代入①中，解得： ，
∴方程组 的解为： ．
故选B．
【点拨】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，
并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．
2．A
【分析】先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，然后对无理数进行估算，然后代入求
解即可．
解：
，
∵ ，即 ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的化简求值，无理数的估算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．C
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
解：原式，
由于 是正整数，
∴ 是大于 的奇数．
故选：C．
【点拨】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
4．C
【分析】先计算有理数的乘方、负整数指数幂，零指数幂，再进行乘除计算，最后进行加减计算即可
得到答案．
解：
，
故选C．
【点拨】本题属于实数的混合运算，考查了有理数的乘方、负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关
运算法则是解题关键．
5．D
【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可．
解：A．当 时，分式 没有意义，选项错误，不符合题意；
B．当 时，分式 的值为零，当 时，分式 没有意义，选项错误，不符合题意；
C． 和 的最简公分母是 ，选项错误，不符合题意；
D．将分式 中的 ， 的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题
的关键．
6．D
【分析】按照分式的加减法运算法则验算即可．
解：
．
因此运算过程没有错误．
故选：D．
【点拨】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法运算法则和因式分解是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意列出关于x的方程，结合绝对值的性质，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，且 ，∴ ，且 ，
∴ 且 ，
故选D
【点拨】本题考查的是解分式方程，在解答时要从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、
转化，才能解决问题
8．D
【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程
的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴原方程为： ，
去分母得：
ax=12+3x-9，
移项，合并同类项得：
（a-3）x=3，
解得： ，
∵关于x的方程 无解，
∴原方程有增根3或a-3=0，
∴ 或a-3=0，
解得：解得：a=4或a=3，故选：D．
【点拨】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并
熟练应用是解题的关键．
9．A
【分析】根据分式的化简方法以及解分式方程、分式的性质逐个判断即可．
解：甲：分式不能直接去分母，只能通分，所以甲错误；
乙：分式的基本性质是：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，不
是加减，所以乙错误；
丙：
，
，
，
经检验， 是原方程的根，
所以丙正确；
丁：将 中a、b的值都扩大到原来的2倍，可得：
，
即所得分式的值扩大到原来的2倍，故丁错误；
所以只有丙正确．
故选A．【点拨】本题考查了分式的化简，分式的性质以及解分式方程，熟练掌握以上性质和方法是解题的关
键．
10．B
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
解：根据题意，得： ，
变形： ．
故选：B．
【点拨】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系．
11． /
【分析】（1）根据零次幂，负指数幂进行计算即可得出结果；
（2）根据同底数幂相除的运算法则进行计算即可得出结果．
解：（1） ；
（2） ．
故答案为： ；
【点拨】此题考查了零次幂、负指数幂、同底数幂相除的运算法则，能够根据运算的法则进行计算是
解题的关键．
12． 1
【分析】先根据异分母分式加法计算得到 ，进而得到关
于A、B、C的方程组，解方程组即可得到答案．解：
，
又∵
∴ ，
解得 ．
故答案为： ， ， ．
【点拨】本题主要考查了异分母分式加法计算，解三元一次方程组，正确把 变成
是解题的关键．
13．1
【分析】根据零次幂的定义可知 （ ），再进行同分母分式加减法计算即可．
解：故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了零次幂的意义及同分母分式加法，解题关键是掌握 （ ）．
14．
【分析】根据题意可得甲加工a个零件需要是时间是 ，乙工作时间是 ，列出式子化简即可．
解：甲加工a个零件需要是时间是 ，乙工作时间是 ．
则乙每小时加工的零件是： ．
故答案是： ．
【点拨】此题考查了代数式，解题的关键是根据题意列出代数式．
15．
【分析】绝对值小于1的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：绝对值小于1的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同
的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
∵1纳秒=0.000000001纳秒，
∴10纳秒=0.00000001秒=1×10−8秒．
故答案为1×10−8.
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．16． 等式的基本性质2； 等式的基本性质1
【分析】利用等式的基本性质（性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；
性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立）判断即可．
解：如图在解分式方程 的过程中，步骤（2）的依据是等式的基本性质2，步骤（4）
的依据是等式的基本性质1，
故答案为：等式的基本性质2，等式的基本性质1
【点拨】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．
【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2
倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案．
解：由给出的式子的特点，
即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，
由此可得第6个式子是 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象
都具有这些特征的推理成为归纳推理．
18．4
【分析】先求出 ，则 ，进而得出 ，则 ，把 代入进
行计算即可．
解：，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
当 时， ，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法
则．19．（1）1；（2） ，当 时，分式的值为 ．
【分析】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算与绝对值，再合并即可；
（2）先计算括号内的乘法运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可．
（1）解：
；
（2）
；
∵ ， ， ， ，
∴选择 ，
∴原式 ．
【点拨】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘方运算的含义，化简绝对值，分式的乘除混
合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
20．（1）7；（2） ， （答案不唯一）；（3）
【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式化简求值、解分式方程：
（1）先化简绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再进行加减运算，即可作答．（2）先把除法化为乘法，即 ，再算乘法，得 ，然后再通分计
算即可；
（3）先去分母，得 ，算出 的值，记得要验根，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）解：
（2）解：令 ，
则 （答案不唯一）；
（3）解：
去分母，得
去括号，得
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
所以方程的解为 ．
21．（1） ；（2）每块地板砖的边长为 ；（3） ；8
【分析】（1）根据分式除法运算法则进行计算即可；
（2）根据题意列出算式进行计算即可；
（3）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
（1）解： ；
（2）解： ，答：每块地板砖的边长为 ．
（3）解：
，
∵ ， ， ，
∴把 代入得：原式 ．
【点拨】本题主要考查了分式除法，算术平方根的应用，分式化简求值，分式有意义的条件，解题的
关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
22．任务一： ；任务二：通分，分式的基本性质，去分母，等式性质2；任务三：小治
说得对，检验，补充及理由见分析；任务四：见分析
【分析】观察分式化简与解分式方程的过程，分别找出第一步的运算及依据，根据分式方程要检验，
注意不要遗忘．
解：任务一：
解：方程两边同时乘以 ，得：
， （第一步）
去括号，得 ， （第二步）
合并同类项，得： ， （第三步）移项，得： ， （第四步）
化系数为1，得： ． （第五步）
故答案为： ；
任务二：
化简题目中，第一步运算是通分，它的依据是分式的基本性质．
解方程题目中，第一步运算是去分母，它的依据等式的性质．
故答案为：通分，分式的基本性质；去分母，等式的性质；
任务三：
小治的说法正确，解分式方程少了检验过程，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ；
因为解分式方程去分母转化为整式方程不是同解变形，容易产生增根，所以这一步不能少；
任务四：
解分式方程时检验不要遗忘．
【点拨】此题考查了解分式方程，整式的加减，分式方程的解，分式的化简，熟练掌握运算法则及分
式方程的解法是解本题的关键．
23．（1） ；（2）2024；（3）① ；②
【分析】（1）将 看成一个整体，令 ，代入计算即可；
（2）将 看成一个整体，令 ，将 看成一个
整体，令 ，代入计算即可；（3）由已知推出 ， ，①分子分母同除以 ，再化简求解即可；②将原式整理
，将 代入得到 ，再整理再代入得到 ，进一步计
算即可求解．
（1）解：将 看成一个整体，令 ，
则
；
故答案为： ；
（2）解：将 看成一个整体，令 ，将 看成
一个整体，令 ，
则
；
故答案为：2024；
（3）解：∵ ，∴ ，即 ，
∴ ， ，
①∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
经检验， 是方程的解；
②
．
【点拨】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是看懂例题，
掌握整体思想．24．（1）学习委员说得对，见分析；（2）3或9
【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本 元，根据买到相同数量的笔记本建
立方程求出其解就可以得出结论；
（2）设每本软面笔记本m元（ 的整数），则每本硬面笔记本 元，根据能买到相同数
量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论．
解：（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本 元．
由题意，得 ，
解得 ．
此时 ，不是整数，
所以学习委员说得对；
（2）存在；设每本软面笔记本m元（ ，m是整数），则每本硬面笔记本 元．
由题意，得 解得 ．
∵a为正整数，
∴ ，8，12，
∴ ，6，9．
当 时， （不符合题意），
当 时， ，当 时， ，
∴a的值为3或9．
【点拨】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立
方程是关键．
