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专题 15.2 解分式方程的综合
◆ 思想方法
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、分式方程
1．分式方程：分母中含有未知数的方程。
2．分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程
的技巧求解方程。
3．分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程；
②解整式方程；
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程；
④作答。
◆ 典例分析
a b−x
【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a=1时，求b为何值时，分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若b=0，a为正整数，分式方程 − =1的解为整数时，求a的值．
2x+3 x−5
【思路点拨】
（1）将a，b的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；（2）把a的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值使分式方程无解即可；
（3）把b=0代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和a为正整数即
可确定a的值．
【解题过程】
a b−x
（1）解：把a=2，b=1代入分式方程 − =1中，
2x+3 x−5
2 1−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
去括号得：2x2+3x−13=2x2−7x−15，
移项合并同类项得：10x=−2，
1
系数化为1得：x=− ，
5
1
检验：把x=− 代入(2x+3)(x−5)≠0，
5
1
所以原分式方程的解是x=− ；
5
a b−x
（2）解：把a=1代入分式方程 − =1，
2x+3 x−5
1 b−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
去括号得：x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15，
移项合并同类项得：(11−2b)x=3b−10，
11
①当11−2b=0时，即b= ，方程无解，
2
3b−10
②当11−2b≠0时，x= ，
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 2
3b−10
x=5时，分式方程无解，即 =5，b=5，
11−2b11 a b−x
综上所述，b= 或b=5时，分式方程 − =1无解；
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）解：把b=0代入分式方程 − =1中，
2x+3 x−5
a x
得： + =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：a(x−5)+x(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
5a−15
整理得：x= ，
a+10
5a−15 65
∵x= =5− ，且a为正整数，x为整数，
a+10 a+10
∴a+10必为65的因数，a+10≥11，
∵65=5×13，
∴65的因数有1，5，13，65，
∵1，5小于11，
∴ a+10可以取13，65这两个数，对应地，方程的解x为0，4，对应地，a的值为3，55，
∴满足条件的a可取3，55这两个数．
◆ 学霸必刷
a
1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知关于x的分式方程 =1，对于该方程的解，甲、乙两人有以
x+1
下说法：甲：若方程的解是负数，则a<1；乙：当a>1时，方程的解是正数．关于甲、乙两人的说法，正
确的是（ ）
A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错
a b−x
2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若a=3b且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解
2x+3 x−5
为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
3．（22-23八年级下·四川遂宁·阶段练习）若整数a使得关于x的不等式组¿解集为x>1，使得关于y的分
a y−5
式方程 ＝ +2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
y−1 y−1A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16
3x+5 x+3
{ ≤ )
4 2
4．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组 无解，且关于y的分式方程
1 x+a
x+ >
2 2
5−ay 3
−1= 有整数解，则满足条件的整数a的值为（ ）
2−y y−2
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
1 x−a
5．（2022八年级上·全国·专题练习）若整数a使关于x的分式方程 + =1的解为非负整数，且使
x−3 3−x
关于y的不等式组 { y+5 ≤ y ) 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
3 2
y−3>2(y−a)
A．24 B．12 C．6 D．4
{ y−2≤
y+2
)
6．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）若关于y的不等式组 3 有且只有2个奇数解，且关于x
4 y+1−m≥0
1 m
的分式方程3− = 的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
1−x x−1
A．3 B．4 C．11 D．12
2 mx 5
7．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为
x−2 x2−4 x+2
．
2x+3 k
8．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x的分式方程 = +2的解满足
x−2 (x−2)(x+3)
−4 ，则a的取值范围是 ．
2 3
10．（23-24八年级上·四川成都·期中）现有一列数：a ，a ，a ，a ，⋅⋅⋅，a ，a （n为正整数），
1 2 3 4 n−1 n1 1 1 1 97
规定a =2，a −a =4，a −a =6，⋅⋅⋅，a −a =2n(n≥2)，若 + + ⋅⋅⋅ = ，则n的
1 2 1 3 2 n n−1 a a a a 198
2 3 4 n
值为 .
1 a2+3a+1
11．（23-24八年级上·全国·课时练习）解关于x的分式方程x+ = ？
4x−6 2a
x x 2x 4x
12．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程 + + + =0．
1−x 1+x 1+x2 1+x4
1 1 1 1 1
13．（2023八年级上·全国·专题练习）解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
14．（2024八年级·全国·竞赛）解方程组¿
3 6 mx
15．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程： + = ，若方程的解
x+1 x−1 (x+1)(x−1)
为整数，求整数m的值．
ax+b
16．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程 =b，其中a，b均为整数且a≠0．
x−1
（1）若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
（2）若x=a是方程的解，求b的值．mn
17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如x+ =m+n（m，n不为零），且两个解分别为
x
x =m，x =n的方程称为“十字分式方程”．
1 2
6 2×3
例如x+ =5为十字分式方程，可化为x+ =2+3，∴x =2，x =3．
x x 1 2
7 (−1)×(−7)
再如x+ =−8为十字分式方程，可化为x+ =(−1)+(−7)．∴x =−1，x =−7．
x x 1 2
应用上面的结论解答下列问题：
12
（1）若x+ =−7为十字分式方程，则x =______，x =______．
x 1 2
6 b a
（2）若十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，求 + +1的值．
x 1 2 a b
2023k−2022k2
（3）若关于x的十字分式方程x− =2023k−2022的两个解分别为x ，x （k>2，
x−1 1 2
），求x +4044的值．
x >x 1
1 2 x
21 1 1 1 1 1
18．（22-23八年级上·山东淄博·期中）仔细观察下面的变形规律： = − ， = − ，
1×2 1 2 2×3 2 3
1 1 1
= − ，……解答下面的问题：
3×4 3 4
1 1
（1）总结规律：已知n为正整数，请将 和 写成上面式子的形式；
n(n+1) n(n+2)
（2）类比发现：
1 1 1 1 1 1 1 1
计算 + + +⋯+ 与 + + +⋯+ 的结果；
1×2 2×3 3×4 2021×2022 2×4 4×6 6×8 2020×2022
（3）知识迁移：解关于n（n为正整数）的分式方程：
1 1 1 1 n+100
+ + +⋯+ = ；
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1) 2n+202
1 1 1 1 1
（4）规律应用：化简 + + + +⋯+ ．
1×3 2×4 3×5 4×6 n(n+2)19．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为
x 1 x+1
“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式M= ，N= ，M+N= =1，则M与N互为
x+1 x+1 x+1
“和整分式”，“和整值”k=1．
（1）已知分式 x−7， x2+6x+9，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若
A= B=
x−2 x2+x−6
是，请求出“和整值”k；
3x−4 G
（2）已知分式C= ，D= ，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=3，若x为正整数，
x−2 x2−4
分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
3x−5 mx−3
（3）在（2）的条件下，已知分式P= ，Q= ，且P+Q=t，若该关于x的方程无解，求实数
x−3 3−x
m的值．a
20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 +1=b的解
x
1 a
是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数
a+b x
对”．
2 1 1
例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是
x 2+(−5) 3
a
关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
x
a
（1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不
x
是，打“×”．
①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）；
③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）；
a
（2）若数对[n2−3,−n2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值；
x
a
（3）若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的
x−2m
方程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
