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第 01 讲 直线的方程
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线 恒过点A，点A也在直线
上，其中 均为正数，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，
令 ，解得 ，
即直线 恒过点 .
又因为点A也在直线 上，则 ，
可得 ，且 ，
则 ，即 ，当且仅当 时，等号成立
所以 的最大值为 .
故选：B.
2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则 的倾
斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，
当 的斜率不存在时，此时直线方程为 ，与圆 相交，不合题意，
当 的斜率存在时，设切线 的方程为 ，
则 ，解得 ，
设 的倾斜角为 ，
故 的倾斜角为 .
故选：D
3．（2023·广西·统考一模）直线 绕原点顺时针旋转45°得到直线 ，若直线 的倾斜角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ，求得 的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本
关系求得 的值．由题意可知 ， ，
，
故选： ．
4．（2023·河北衡水·校考一模）直线 的倾斜角是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，故倾斜角为 .故选B.
5．（2023·吉林长春·统考模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位
于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已
知点 和点 为 的顶点，则：“ 的欧拉线的方程为 ”是“点C的坐标为
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题知 ，
必要性：当 时, ，
根据三线合一知：
的欧拉线的方程为 ；
充分性：
由题知 ， ， 的欧拉线的方程为
设重心 ,点 ,外接圆圆心为 ,
因为重心为 ，即
所以 ，
记 中点为 ，因为 ， 在 上，设
所以 ，
所以 ，即 ,
因为 ，解得 或2，
所以点 为 或 ；
所以“ 的欧拉线的方程为 ”是“点C的坐标为 ”的必要不充分条件，
故选：B
6．（2023·山东·校联考二模）已知集合 ， ，则 中元素的个数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为 ，表示直线 上的点，
又因为 ，
所以集合 表示如图所示的正方形 边上的点，
所以 中元素的个数即为直线 与正方形 的边的交点个数，
由图可知直线 与正方形 的边有2个交点，
即 中元素的个数为2.
故选：C.
7．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知点 在直线 上的射影为点B，则点B到点 距离的最大值为（ ）．
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】将直线l整理得到 ，
于是 ，解得 ，所以直线l恒过点 ，
因为点 在直线 上的射影为点B，
所以 ，则点B在以线段 为直径的圆上，该圆的圆心坐标为 ，
半径大小为 ，
又 ，
所以点B到点 距离的最大值为 ，
故选：C．
8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点 ， 与直线 ，若在直线
上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于直线 ，
即 ，所以 在直线 上，
设 ，其中 ，
由 两边平方得 ，
即 ，
整理得 ，
由于 ，所以
，其中 ，根据二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，
且最大值为 ，则 ，解得 .
故选：A
9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程 表
示．
【答案】ABC
【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；
当直线的斜率为 ，倾斜角为 ，故选项B不正确；
当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；
根据直线的两点式方程可知选项D正确，
故选：ABC
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ，其中 ，则（ ）
A．当 时，直线 与直线 垂直
B．若直线 与直线 平行，则
C．直线 过定点
D．当 时，直线 在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】对于A，当 时，直线 的方程为 ，其斜率为1，而直线 的斜率为－1，
所以当 时，直线 与直线 垂直，所以A正确；
对于B，若直线 与直线 平行，则 ，解得 或 ，所以B错误；
对于C，当 时， ，与 无关，故直线 过定点 ，所以C正确；
对于D，当 时，直线 的方程为 ，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错
误，
故选：AC．
11．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点 ， ，斜率为 的直线 过点
，则下列满足直线 与线段 相交的斜率 取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出 点，如图，
当直线 与线段 相交时， ， ，
所以，斜率 取值范围是 或 .
故选：AB
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知点 ， ，若直线 与线段 有交点，则 或
B． 是直线 ： 与直线 ： 垂直的充分不必要条件
C．经过点 且在 轴和 轴上的截距都相等的直线的方程为
D．已知直线 ， ： ， ，和两点 ， ，如果 与 交于点
，则 的最大值是 .
【答案】ABD
【解析】对于A，∵直线 过定点 ，又点 ， ，
∴ ，如图可知若直线 与线段 有交点，则 或 ，故A正确；
对于B，由直线 ： 与直线 ： 垂直得，
，解得 或 ，
故 是直线 ： 与直线 ： 垂直的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当直线过原点时，直线为 ，
当直线不过原点时，可设直线为 ，代入点 ，得 ，
所以直线方程为 ，
故经过点 且在 轴和 轴上的截距都相等的直线的方程为 或 ，故C错误；
对于D，∵直线 ， ： ，
又 ，所以两直线垂直，
∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，故D正确.
故选：ABD
13．（2023·全国·高三专题练习）经过点 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的
方程为 ；
【答案】 或 ．
【解析】由题意，可知所求直线的斜率为 ．又过点 ，
由点斜式得 或 ．
故答案为： 或
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 在x轴上的截距的取值范围是 ，
则其斜率的取值范围是 ．
【答案】 或 .
【解析】由直线 得： ，
令 ，解得 ，所以直线l过点 ，由题知，在x轴上的截距取值范围是 ，
如图：
所以端点处直线的斜率分别为 ，所以 或 ；
故答案为： 或 .
15．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，设 ， 为不同的两点，直线l的
方程为 ，设 ．有下列三个说法：
①存在实数 ，使点N在直线l上；
②若 ，则过MN两点的直线与直线l平行；
③若 ，则直线l经过线段MN的中点．
上述所有正确说法的序号是 ．
【答案】②③
【解析】对于①，因为 ，所以 ，
所以点 不可能在直线l上，错误．
对于②，因为 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，不合题意，故 ，
所以 ，所以直线MN的方程为 ，即 ，
又 ，所以过M、N两点的直线与直线l平行，正确．
对于③，因为 ，所以 ，
所以 ，即 在直线 上，
所以直线l经过线段MN的中点 ，正确．
综上所述，正确的有②③，
故答案为：②③16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别相交于 两点，
为坐标原点．当 取得最小值时，直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意知直线 的斜率存在．
设直线 的斜率为 ，则 ，
直线 的方程为 ，则 ，
所以 ；
当且仅当 ，即 时取等号，此时直线 的方程为 ，
即直线 的方程为 ．
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－ ），且它的倾斜角等于直线x－ y＝0
倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；
【答案】 x－y－3 ＝0
【解析】由已知得直线x－ y＝0的斜率为 ，则其倾斜角为30°，
故所求直线倾斜角为60°，斜率为 ，
故所求直线的方程为y-(－ )＝ ，即 x－y－3 ＝0．
故答案为： x－y－3 ＝0
18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点 且在 轴、 轴上截距相等的直线方程
为 .
【答案】 或
【解析】由题知，若在 轴、 轴上截距均为 ，
即直线过原点，又过 ，则直线方程为 ；
若截距不为 ，设在 轴、 轴上的截距为 ，
则直线方程为 ，
又直线过点 ，
则 ，解得 ，
所以此时直线方程为 .故答案为： 或
19．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ．求证：无论m为何实数，
直线 恒过一定点M．
【解析】将直线 的方程化为 ，解方程组
解得 故直线l 恒过定点 ．
1
20．（2023·全国·高三对口高考）过点 作直线 分别交 ， 的正半轴于 ， 两点．
(1)求 面积的最小值及相应的直线 的方程；
(2)当 取最小值时，求直线 的方程；
(3)当 取最小值时，求直线 的方程．
【解析】（1）依题意设 ， ， ，
设直线 的方程为 ，代入 得 ，
所以 ，则 ，当且仅当 ，即 、 时取等号，
从而 ，当且仅当 ，即 、 时取等号，
此时直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，此时直线 的方程为 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
此时直线 的方程为 ，即 ．
（3）依题意直线 的斜率存在且 ，设直线 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 ， ，
则 ，
当且仅当 ，即 ，即 时， 取最小值，
此时直线 的方程为 ．
21．（2023·高三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD
分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段
CD上，设此点为 .
(1)若折痕的斜率为 ，求折痕所在的直线方程；
(2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点 的坐标，并求折痕所在的直线方程.
【解析】（1）设 ，由于折痕的斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
由 解得 ，所以 ，
所以 的中点坐标为 ，
所以折痕所在的直线方程为 ，即 .
（2）当 时， ，折痕所在直线方程为 .
当 时，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
由 解得 ，所以 ，
所以 的中点坐标为 ，所以折痕所在的直线方程为 ，
时，折痕 也符合上式，
综上所述，折痕所在的直线方程为 .
1．（1991·全国·高考真题）如果 且 ，那么直线 不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为 ，且 ，所以 、 、 均不为零，
由直线方程 ，可化为 ，
因为 ，且 ，可得 ， ，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：C.
2．（1995·全国·高考真题）图中的直线 的斜率分别为 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图象可得， ，
故选：C
3．（2008·四川·高考真题）直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移1个单位，所得到的直线为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当直线 绕原点逆时针旋转 时，所得直线斜率为 ，此时，该直线方程为 ，
再将该直线向右平移1个单位可得： ，即 .
故选：A.
4．（2008·浙江·高考真题）已知曲线C是到点 和到直线 距离相等的点的轨迹．l是过点
的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上， ， 轴（如图）．
(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得 为常数．
【解析】（1）设N（x,y）为C上的点，则 ，
N到直线 的距离为 ．
由题设得 ，
化简，得曲线C的方程为 ．
（2）设 ，
明显直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋k，则B（x,kx＋k），从而 ．
在Rt△QMA中，
因为 ，．
所以 ，
∴ ，
．
当k＝2时， ，
从而所求直线l方程为2x−y＋2＝0，使得 为常数
5．（2007·上海·高考真题）直线 的倾斜角 ．
【答案】
【解析】直线 ，整理得 ，
由直线的方程可得直线的斜率为 ，
则 ，又由 ，故
所以倾斜角为 .
故答案为： .
6．（2004·北京·高考真题）直线 （a为常实数）的倾斜角的大小是 ．
【答案】 /
【解析】设直线倾斜角为 ，直线 可化为 ，斜率为 ，则 ，所以 .
故答案为： .
