文档内容
期中押题重难点检测卷（考试范围：第11~13 章）
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·重庆·期末）下列各线段能构成三角形的是（ ）
A．7cm、5cm、12cm B．6cm、7cm、14cm
C．9cm、5cm、11cm D．4cm、10cm、6cm
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可
【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意；
B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意；
C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意；
D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意
故选：C
【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时
要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角
形．
2．（3分）（23-24八年级·北京·期中）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如
图所示，那么x的值是（ ）．
A．30° B．45° C．50° D．85°
【答案】C
【详解】由三角形内角和为180°，
可求边长为3的边所对的角为180°−45°−85°=50°，
由全等三角形对应角相等可知x=50°，
故选C.3．（3分）（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折
180°形成的，若∠1:∠2:∠3=13:3:2，CD与BE交于O点，则∠EOC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．100°
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称图形的
性质是解题的关键．根据∠1:∠2:∠3=13:3:2，∠1+∠2+∠3=180°，可求得∠2和∠3的度数，
根据图形折叠的性质，可求得∠EBC和∠DCB的度数，根据∠EOC=∠EBC+∠DCB即可求得答案．
【详解】∵∠1:∠2:∠3=13:3:2，∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=130°，∠2=30°，∠3=20°．
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，
∴∠EBA=∠2=30°，∠DCA=∠3=20°．
∴∠EBC=∠EBA+∠2=60°，∠DCB=∠DCA+∠3=40°．
∴∠EOC=∠EBC+∠DCB=60°+40°=100°．
故选：D．
4．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB，垂足分别是D、E，
AD、CE交于点H．已知AE=CE=10,BE=6，则CH的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△AEH≌△CEB得出EH=BE=6，即可求
解．
【详解】解：∵AD⊥BC,CE⊥AB，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠EAH=∠ECB=90°−∠B，
在△AEH和△CEB中
{∠EAH=∠ECB
)
AE=CE ，
∠AEH=∠CEB
∴△AEH≌△CEB(ASA)，
∴EH=BE=6
又CE=10，
∴CH=CE−EH=4，
故选：C．
5．（3分）（23-24八年级·河南周口·期中）如图，△ABC中，点D、E在边BC上，AC=AE=BE=ED，
∠DAC=24°，则∠B的度数为（ ）
A．23° B．24° C．26° D．22°
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，设∠B=x，根据等边对等
角得到∠BAE=∠B=x，则由三角形外角的性质得到∠AEC=2x，进而推出∠DAE=90°−x，
∠C=2x，由此得到∠BAC=∠BAE+∠DAE+∠CAD=114°，进而根据三角形内角和定理得到
x+2x+114°=180°，解方程即可得到答案．
【详解】解：设∠B=x，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2x，
∵AE=DE，AE=AC，180°−∠AED
∴∠DAE= =90°−x，∠C=∠AEC=2x，
2
∴∠BAC=∠BAE+∠DAE+∠CAD=x+90°−x+24°=114°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴x+2x+114°=180°，
∴x=22°，
∴∠B=22°，
故选：D．
6．（3分）（23-24八年级·浙江·期中）一个六边形如图所示．已知AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF．若
∠A=122°,∠C=128°，则∠E的值为（ ）
A．110° B．111° C．112° D．113°
【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质及多边形内角和求解即可，熟记“两直线平行，内
错角相等”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接BE，
∵AB//DE BC//EF
， ，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠ABC=∠≝¿，
同理，∠A=∠D，∠C=∠F，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠≝+∠F=(6−2)×180°=720°，
∴∠A+∠C+∠≝=360°，∵∠A=122°，∠C=128°，
∴∠≝=360°−122°−128°=110°，
故选：A．
7．（3分）（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知
△ABO的面积为8，△BOM的面积为4，则四边形MCNO的面积为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】C
1 1
【分析】本题考查三角形的中线，三角形的面积，关键是由三角形的重心推出ON= OB，OM= AO，
2 2
1 1 1
得到S =S ．由三角形重心的性质推出ON= OB，OM= AO，得到S = S ，
△AON △BOM 2 2 △AON 2 △AOB
1
S = S ，因此S =S ，而△ABM的面积=△ACM的面积，于是得到四边形MCNO的面
△BOM 2 △AOB △AON △BOM
积=△AOB的面积=8．
【详解】解：∵△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，
1 1
∴ON= OB，OM= AO，
2 2
1 1
∴S = S ，S = S ，
△AON 2 △AOB BOM 2 ΔAOB
∴S =S ，
△AON △BOM
∵AM是△ABC的中线，
∴MB=CM，
∴△ABM的面积=△ACM的面积，
∴四边形MCNO的面积=△AOB的面积=8．
故选：C
8．（3分）（23-24八年级·河南周口·期末）如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上的一点，
∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于
点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为（ ）A．124° B．102° C．92° D．88°
【答案】C
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAD=28°，由等腰三角形的性质可
得∠B=∠ACB，从而得到∠B=∠ACB=∠ACE，再由平行线的性质可得
∠B+∠ACB+∠ACE=180°，从而求出∠B=∠ACB=∠ACE=60°，再由等边三角形的判定和性质
可得∠ADE=60°，求出∠DAC=∠DAE−∠CAE=32°，再利用三角形外角的性质进行计算即可得到
答案．
【详解】解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAD=28°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，即∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，∵∠DAC=∠DAE−∠CAE=60°−28°=32°，
∴∠DOC=∠ADO+∠DAO=60°+32°=92°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外
角的定义与性质、平行线的性质，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
9．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交
于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①
∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S =2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若
△ABO
OD=a，AB+BC+CA=2b，则S =ab．其中正确的结论为（ ）
△ABC
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；过O点作
OP⊥AB于P，由角平分线的性质可求解OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一
点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得
到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，根据三角形的面积可证得④正确．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
1 1
∴∠OBA= ∠CBA，∠OAB= ∠BAC，
2 2
∴
1 1 1
∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°− (∠ABC+∠BAC)=180°− (180°−∠C)=90°+ ∠C，
2 2 2
故①错误；
过O点作OP⊥AB于P，∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OP=OD=1，
∵AB=4，
1
∴S = ×4×1=2，故②正确；
△ABO 2
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
1
∴∠OAB+∠OBA= (∠BAC+∠ABC)=60°，
2
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°， 如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
{
BH=BE
)
在△HBO和△EBO中， ∠HBO=∠EBO ，
BO=BO
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，{∠HAO=∠FAO
)
在△HAO和△FAO中， AO=AO ，
∠AOH=∠AOF
∴△HAO≌△FAO(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确；
作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD⊥BC，
∴ON=OH=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b，
1 1 1 1
∴S = AB⋅OH+ BC⋅OD+ AC⋅ON= a⋅2b=ab，故④正确．
△ABC 2 2 2 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的
性质，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO(SAS)，得到∠BOH=∠BOE=60°，是解决问题的关键．
10．（3分）（23-24八年级·重庆·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，CH为△ABC
的角平分线，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，将△DCE沿DE翻折，使点C的对应点C′恰好落在
角平分线CH上，连接AC′并延长交BC于点F，若BF=7，则点C′到AB的距离为（ ）
7 7 7 7
A． B． C． D．
3 4 5 6
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特
征等；过C′作C′G⊥AB交于G，过F作FM⊥AB交于M，连接C′M，在BF上截取FN=FM，由等边1 7
三角形的定义得△FMN是等边三角形，从而可得FM= BF= ，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方
2 2
法得△AMF和△AGC′是等腰三角形，由ASA可判定△FC′C≌△AC′C，由全等三角形的性质得
FC′=AC′，由等腰三角形的性质得C′G=AG，即可求解；
掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过C′作C′G⊥AB交于G，过F作FM⊥AB交于M，连接C′M，在BF上截取
FN=FM，
∵AB=AC
，
∴∠ACB=∠ABC
180°−∠BAC
=
2
=30°，
∴∠MFN=90°−∠ABC，
=60°，
∴∠MNF=∠FMN
180°−∠MFN
=
2
=60°，
∴∠MNF=∠FMN=∠MFN，
∴△FMN是等边三角形，
∴FM=MN=FN，
∴∠BMN=90°−∠FMN
=30°，
∴∠ABC=∠BMN，
∴△NBM是等腰三角形，
∴BN=MN，
1 7
∴FM= BF= ，
2 2
∵ CH为△ABC的角平分线，
∴∠DCC′=∠FCC′1
= ∠ACB=15°，
2
由翻折得：CD=C′D，
∴∠DC′C=∠DCC′=15°，
∴∠ADC′=∠DC′C+∠DCC′
=30°，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴AD=C′D，
∴∠C′ AD=∠DAC′
180°−∠ADC′
=
2
=75°，
∴ ∠AC′C=∠AC′D+∠DC′C
=90°，
∠BAF=∠BAC−∠DAC′
=120°−75°
=45°，
∴∠AFM=∠MAF=45°，
∠AC′G=∠GAC′=45°，
∴△AMF和△AGC′是等腰三角形，
7
∴AM=FM= ，
2
AG=C′G，
∴∠FC′C=∠AC′C=90°，
在△FC′C和△AC′C中
{∠FC′C=∠AC′C
)
CC′=CC′ ，
∠FCC′=∠ACC′
∴ △FC′C≌△AC′C（ASA），
∴FC′=AC′，
∴MC′⊥AF∴∠AMC′=∠MAC′=45°，
∴△AMC′是等腰三角形，
∴C′G=AG
1 7
= AM= ，
2 4
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·山西大同·期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=12cm，
S =24cm2 ，点D是底边BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．则DE+DF=
△ABC
cm．
【答案】4
【分析】根据图形可知三角形ABC的面积等于三角形ABD的面积加上三角形ACD的面积，根据面积公式
变形计算即可．
【详解】解：连接AD，如图所示：
，
由图可得：S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
1 1
又∵S = ×AB×DE，S = ×AC×DF，
△ABD 2 △ACD 21
∴S = (AB×DE+AC×DF)，
△ABD 2
∵AB=AC=12cm，
1
∴S = ×AB×(DF+DE)，
△ABC 2
1
即 ×12×(DF+DE)=24，
2
解得：DF+DE=4cm，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．
12．（3分）（23-24八年级·福建南平·期中）在△ABC中，AC=5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周
长与△ADC的周长相差2cm，则BA= cm．
【答案】3或7
【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键．
由中线可得BD=CD，则△ABD周长为AB+BD+AD；△ADC的周长为AC+CD+AD；由题意知，分
①AB+BD+AD−(AC+CD+AD)=2；②AC+CD+AD−(AB+BD+AD)=2；两种情况求解即可．
【详解】解：∵AD是△ABC中线，
∴BD=CD，
∴△ABD周长为AB+BD+AD；△ADC的周长为AC+CD+AD；
△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，分两种情况求解；
①当AB+BD+AD−(AC+CD+AD)=2时，解得，AB=7；
②当AC+CD+AD−(AB+BD+AD)=2时，解得，AB=3；
综上所述，BA=3或7；
故答案为：3或7．
13．（3分）（23-24八年级·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少
还要再钉上 根木条．
【答案】3
【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可．
【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形．
故答案为3．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关
键．
14．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD=180°，且CE
平分∠ACD．若∠EAC=108°，则∠DEC的度数为 ．
【答案】18°/18度
【分析】
本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质．分别延长CD，CA，过点E作EG⊥CD，EH⊥CA，
EP⊥AD，然后根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：分别延长CD，CA，过点E作EG⊥CD，EH⊥CA，EP⊥AD，
∵∠EAC+∠EAD=180°，∠EAC=108°，
∴∠EAD=72°，∴∠EAH=∠EAD=72°，
∴EH=EP，∠DAC=36°，
又∵CE平分∠ACD，
∴EH=EG，
∴EP=EG，
1
∴∠EDG=∠EDA= ∠ADG，
2
∵∠ADG=∠DAC+∠ACD=2∠ECD+36°，
∴∠EDG=∠ECD+18°=∠ECD+∠DEC，
∴∠DEC=18°．
故答案为：18°．
15．（3分）（23-24八年级·湖北荆门·期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，
AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题．作BH⊥AC，垂足为H，交AD于N′点，过N′点作
M′N′⊥AB，垂足为M′，则BN′+M′N′为所求的最小值，根据含30°的直角三角形的性质求出BH即可．
【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于N′点，过N′点作M′N′⊥AB，垂足为M′，则
BN′+M′N′为所求的最小值．
∵AB=AC D BC
， 是 边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴N′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=AC=6，∠ACB=75°，D是BC边上的中点，∴∠BAC=30°，
∴BH=3，
故MN+BN的最小值是：3，
故答案为：3．
16．（3分）（23-24八年级·福建厦门·期中）在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在BC上，AD=3，在AC
上找一点E，使得∠EDC=∠ADB，连接DE，若DE=DC=1，则BD的长度为 ．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等
是解题的关键．
作GA⊥AB，与DE的延长线交于点G，作FD⊥BC，交AG于点F，证明△DFG≌△DFA，得
GF=AF,GD=AD=3，再证明AG=EG=2进而可得BD的长．
【详解】解：如图，作GA⊥AB，与DE的延长线交于点G，作FD⊥BC，交AG于点F，
∵∠B=90°,∠BAG=90°
，
∴∠B+∠BAG=180°，
∴AG∥BC，
∴∠C=∠5，
同理，DF∥AB，
∴AF=BD，DF⊥AG，
∴∠AFD=∠GFD，
∵∠EDC=∠ADB，∠EDC+∠2=90°,∠ADB+∠1=90°，
∴∠1=∠2，
在△AFD和△GFD中，
{∠GFD=∠AFD
)
DF=DF ，
∠2=∠1
∴△GFD≌△AFD(ASA)，
∴GF=AF,GD=AD，∵AD=3,DE=DC=1，
∴≥=2,∠C=∠3，
∵∠3=∠4,∠C=∠5，
∴∠4=∠5，
∴GA=≥=2，
∴AF=GF=1，
∴BD=AF=1．
故答案为：1．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内△A′B′C′是将
△ABC经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
(1)补全△ABC；
(2)画出中线CD；
(3)画出AC边上的高线BE；
(4)在平移过程中，线段AB扫过的面积为______．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
(4)16
【分析】（1）根据题意，将△A′B′C′的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，
然后进一步连接起来即可；
（2）连接C点与AB的中点即可；
（3）取格点K，满足BK⊥AC，连接BK交AC的延长线于E即可；
（4）结合图形可知，线段AB扫过的面积为2S ，据此进一步加以计算即可．
ΔABC【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求：
；
（2）解：如图所示，线段CD即为所求；
（3）解：如图，取格点K，满足BK⊥AC，连接BK交AC的延长线于E，
则线段BE即为所求；
1
（4）解：S = ×4×4=8，
ΔABC 2
∴2S =2×8=16．
ΔABC
即线段AB扫过的面积为16．
【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练
画图是解题关键．
18．（8分）（23-24八年级·山东日照·阶段练习）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2160°．
(1)求这个多边形的边数及对角线的条数．
(2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有几条边？内角和是多少？【答案】(1)12，54；
(2)当新多边形有13条边时内角和为1980°，12条边时内角和为1800°，11条边时内角和为1620°
【分析】（1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，外角和是360°，因而内角和是1800°．n
边形的内角和是(n−2)×180°，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对
角线的条数．
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角
和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案，
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，
(n−2)×180°=2160°−360°，
解得：n=12；
12×(12−3)
∴对角线的条数为： =54；
2
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54．
（2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为12+1=13，
∴内角和=(13−2)×180°=1980°，
②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12，
内角和=(12−2)×180°=1800°，
③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为12−1=11，
内角和=(11−2)×180°=1620°，
综上所述：当新多边形有13条边时内角和为1980°，12条边时内角和为1800°，11条边时内角和为1620°
【点睛】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为(n−2)×180°，解题的关键是剪角时注意分类讨
论．
19．（8分）（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的角平分线交AC
于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
(1)若∠BAC=40°，求∠E的度数．(2)若F是DE上的一点，且AD=AF，求证：BD=EF．
【答案】(1)35°；
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线及角平分线的性质和图形的全等，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之
间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
1
（1）由AB=AC可求∠ABC的大小，因BE是其角平分线，即∠CBE= ∠ABC，由AE∥BC，可得
2
1
∠E=∠CBE= ∠ABC
2
（2）AD=AF可得∠ADF=∠AFD，进而得出∠ADB=∠AFE，又有∠E=∠CBE=∠ABE可推出
△ABD≌△AEF(AAS)，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=40°，
1
∴∠ABC= (180°−∠BAC)=70°，
2
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠CBD= ∠ABC=35°，
2
∵AE∥BC，
∴∠E=∠CBD=35°．
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠CBD，
∴∠ABD=∠AEF，
∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∵∠ADB=180°−∠ADF，∠AFE=180°−∠AFE，
∴∠ADB=∠AFE，
在△ABD和△AEF中，{∠ADB=∠AFE
)
∠ABD=∠E
AD=AF
∴△ABD≌△AEF(AAS)，
∴BD=ED．
20．（8分）（23-24八年级·云南昆明·期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC．
(1)画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
(3)在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小．
【答案】(1)见解析
(2)8.5
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
（1）先找出点A、点B、点C关于直线MN的对称点，再依次连接对称点即可．
（2）先求出△ABC所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积
减去三个直角三角形的面积即可．
（3）先找出点A关于直线MN的对称点A′，连接BA′与直线MN相交于点P，即PA+PB的最小值就是线
段BA′的长度．
【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求；1 1 1
（2）解：△ABC的面积=4×5− ×1×4− ×1×4− ×3×5=20−2−2−7.5=8.5．
2 2 2
（3）解：如图，点P即为所求．
PA+PB=PA′+PB≥A′B，故PA+PB最小为A′B．
21．（8分）（23-24八年级·全国·期中）如图，△ABC和△ACD都是边长为4厘米的等边三角形，两个动
点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿
A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t
秒．
(1)点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒；
(2)当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由；
(3)当0AD+AE．
【答案】(1)1AK，
∴AC+CQ>AK+QK，
∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，
∴AK+QK>AE+QE，
∴AC+CQ>AK+QK>AE+QE，
∵AB=CQ,AD=EQ，
∴．
