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专题 22.5 二次函数 y=a(x−h) 2+k 的图象与性质
1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。
教学目标
2. 掌握 与 之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题
目。
1. 重点
（1） 型二次函数的性质；
（2） 型二次函数的图象；
教学重难点 （3） 与 之间的平移规律；
2. 难点
（1）函数图象的共存问题；
（2）函数图象上的点的特征；
（3） 与 之间的平移。知识点01 y=ax2与y=a(x−ℎ) 2+k的之间的平移
1. 函数平移规律：
函数分为 平移和 平移；
左右平移在 上进行加减，规律为 ；上下平移在 上进
行加减，规律为 。
2. 与 之间的平移：
由函数的平移可知：
可将 进行 平移 个单位同时再 平移 个单位得到函数
。
【即学即练1】
1．把抛物线y＝6x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝6（x﹣2）2+3 B．y＝6（x+2）2﹣3
C．y＝6（x+2）2+3 D．y＝6（x﹣2）2﹣3
知识点02 y=a(x−ℎ) 2+k的图象与性质
1. 的图象与性质：
由函数的平移可知，可将 先向 平移 个单位，再向 平移 个单
位得到函数 。由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：开口方向
的绝对值越大，开口越
开口大小
的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而
对称轴右边y随x的增大而 。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而
。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
2．二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
3．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致
图象是（ ）
A． B．C． D．
【即学即练3】
4．指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
1
（1）y＝2（x+3）2− ； （2）y＝﹣（x+1）2﹣5．
2
【即学即练4】
5．关于抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝2
C．顶点坐标为（2，﹣1）
D．当x＞2时，y随x的增大而减小
【即学即练5】
6．已知点（﹣2，y ），（3，y ），（7，y ）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y ，y ，y 的
1 2 3 1 2 3
大小关系是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
【即学即练6】
7．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函
数值y的最大值为﹣5，则h的值为（ ）
A．3−❑√6或1+❑√6 B．3−❑√6或3+❑√6
C．3+❑√6或1−❑√6 D．1−❑√6或1+❑√6
题型01 y=a(x−h) 2+k的性质
【典例1】抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【变式1】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【变式2】关于抛物线y＝（x﹣3）2﹣2，下列说法不正确的是（ ）A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标为（3，﹣2）
C．图象与y轴交点为（0，7）
D．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
【变式3】关于抛物线y＝﹣（x+3）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标（﹣3，1） D．与y轴交点坐标（0，1）
题型02 y=a(x−h) 2+k的图象
【典例1】二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（
）1 1
A．y=− x2 B．y=− (x+1) 2
2 2
1 1
C．y=− (x−1) 2−1 D．y=− (x+1) 2−1
2 2
【变式3】二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．
题型03 y=a(x−h) 2+k图象上的点的坐标特征
【典例1】设点A（﹣2，y ）、B（1，y ）、C（2，y ）是抛物线y＝（x+1）2﹣1的图象上三点，则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
2 5
【变式1】抛物线y= (x−1) 2+c经过(−2，y )，(0，y )，( ，y )三点，则y ，y ，y 的大小关
3 1 2 2 3 1 2 3
系正确的是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【变式2】已知a＜﹣1，点A（a﹣1，y ）、B（a，y ）、C（1﹣a，y ）都在函数y＝（x﹣1）2+6的图象
1 2 3
上，那么（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【变式3】已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2（a＞0）经过点A（1，y ），B（m，y ），C（n，y ），且|m﹣3|
1 2 3
＜|n﹣3|＜2，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
题型04 y=ax2与y=a(x−h) 2+k之间的平移
【典例1】将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（
）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2
C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
【变式1】将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后所得抛物线
表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4 B．y＝﹣x2+4
C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x+1）2+4
【变式 2】将抛物线 y＝2x2+3向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位后得到的抛物线的解析式为
（ ）A．y＝2x2+5 B．y＝2（x+1）2+5
C．y＝2（x+1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2+1
【变式3】将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x+3）2+4（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
【变式 4】通过平移 y＝﹣2（x﹣1）2+3 的图象，可得到 y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是
（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
2．抛物线y＝2（x﹣9）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
3．已知抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论中错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
C．当x＝﹣1时，y取最大值3
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
4．对于二次函数 y＝3（x﹣1）2+2，甲、乙各说了一条性质，关于两人的说法，下列判断正确的是
（ ）
甲：图象的开口向下；乙：当x≥1时，y随x的增大而增大．
A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对
C．只有甲的对 D．只有乙的对
5．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
6．二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
7．将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函
数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1
C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3
8．二次函数y＝a（x﹣3）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物
线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．已知二次函数y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y ），B（a+1，y ），如
1 2
果y ＞y ，那么a的取值范围是（ ）
1 2
A．a＞0或a＜﹣2 B．﹣1＜a＜3 C．a＜3 D．1＜a＜3
11．将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线关系式为
．
12．已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．
13．已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 ．14．若A（﹣4，y ）、B（﹣2，y ）、C（1，y ）为二次函数y＝3（x+1）2+a的图象上的三点，则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系是 （用“＜”表示）．
2 3
{(x−1) 2−1(x≤3))
15．已知函数y= ，则y＝k成立的x值恰好有两个，则k的取值范围是 ．
(x−5) 2−1(x＞3)
16．已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）．
（1）求m的值．
（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上．
17．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．
1
18．如图，抛物线y＝﹣3x2+m与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线y= (x+1) 2 相交
2
于点B、C（点B在点C的左面），若BC＝4，求m的值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a（x﹣m）2﹣3（a＞0）上有A（x ，y ）、B（x ，y ）两
1 1 2 2
点．
（1）对于x ＝﹣1，x ＝3，有y ＝y ，求该抛物线的顶点坐标；
1 2 1 2
（2）对于任意实数m，若m﹣2＜x ＜m﹣1，x ＞m+2，都有y •y ＜0，求a的值．
1 2 1 2
20．已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+1经过点A（1，a），将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k
个单位长度（k＞0），再次经过点A．
（1）若a＝0时，求m的值．
（2）求m与k的关系式．
（3）当2≤x≤m+2时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．
