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专题22.8 二次函数y=a(x−h) 2(a≠0)与y=a(x−h) 2+k(a≠0)图象与性质（直
通中考）
【知识回顾】二次函数y=ax2图象向右平移h个单位得到二次函数y=a(x−h) 2(a≠0)，再向
上平移k个，得到y=a(x−h) 2+k(a≠0)，其对称轴为x=h, 顶点坐标为（h, k）.
一、单选题
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数 ，当 时， 的最小
值为 ，则 的值为（ ）
A． 或4 B． 或 C． 或4 D． 或4
3．（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是5 D．当 时，y随x的增大而增大
4．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·新疆·统考中考真题）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当 时，y随x的增大而增大
6．（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y），B（m，y）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象
1 2
上．若y＜y，则m的取值范围为（ ）
1 2A． B． C． D．
7．（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于A， 两
点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当 时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
8．（2021·贵州铜仁·统考中考真题）已知抛物线 与 轴有两个交点 ，
，抛物线 与 轴的一个交点是 ，则 的值是（ ）
A．5 B． C．5或1 D． 或
9．（2021·福建·统考中考真题）二次函数 的图象过
四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确
的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
二、填空题
11．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平
移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．12．（2021·四川德阳·统考中考真题）已知函数y 的图象如图所示，若直线y＝
kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 ．
13．（2021·江苏泰州·统考中考真题）在函数 中,当x＞1时,y随x的增大而 ．（填“增
大”或“减小”）
14．（2020·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位
长度后顶点的坐标是 ．
15．（2020·江苏南京·统考中考真题）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，
①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y
随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是
．
16．（2020·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）抛物线 的顶点坐标为 ．
17．（2012·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线 与y轴的
交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为18．（2013·北京·中考真题）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式
.
三、解答题
19．（2019·浙江杭州·统考一模）把 的图象向上平移2个单位.
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
（2）画出平移后的函数图象；
（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.
20．（2021·北京海淀·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知平面直角坐标系 中，抛物线
与直线 ，其中 ．
若抛物线的对称轴为 ，
①m的值为_ ﹔
②当 时，有 （填“ ”，“ ”或“ ”） ．
当 时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出 的取值范围．21．（2022·浙江宁波·校考一模）已知二次函数 （ 是实数）．
(1) 小明说：当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？
为什么？
(2) 已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．
22．（2021·浙江·统考中考真题）如图，已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点A(2，
0)．
（1）求 的值和抛物线顶点 的坐标；
（2）求直线 的解析式．23．（2022·江苏徐州·校考二模）如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 抛物线与 轴交点为 ，求 ．
24．（2021·吉林·统考一模）（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于
A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线
y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．
①直接写出图像M所对应的函数解析式；
②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．解：二次函数 的对称轴为 ，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
2．D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
解：二次函数 的对称轴为：直线 ，
（1）当 时，当 时， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，
，
；
（2）当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
，
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
3．D
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1 0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐>标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，最小值是5，故C错误；
当 时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．B
【分析】根据二次函数的顶点式 可得顶点坐标为 即可得到结果．
解：∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为 ；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
解：抛物线 中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线 ，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当 时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为 ，因此C选项正
确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线 ，因此当 时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，
符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
中，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
6．B
【分析】根据y＜y 列出关于m的不等式即可解得答案．
1 2
解：∵点A（m-1，y），B（m，y）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
1 2
∴y=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
1
y=（m-1）2+n，
2
∵y＜y，
1 2
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，∴m＞ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
7．D
【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
解：由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为 ，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当 时，y随x的增大而减小，故C错误；
故选D．
【点拨】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
8．C
【分析】将 往右平移m个单位后得到 ，由此即可求解．
解：比较抛物线 与抛物线 ，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵ 与 轴的一个交点是 ， 与 轴有两个交点 ，
，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=5，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．
9．C
【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．
解： 二次函数 的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若 ，所以 ，则 一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口
方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．
10．D
【分析】根据二次函数 的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根
据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
解：∵在二次函数 中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶
点坐标求出最值．
11． 或 （答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式
为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
12．17
【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物
线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，
整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．
故答案为：17．
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值
和最小值是解题的关键．
13．增大
【分析】根据其顶点式函数 可知，抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴右侧y随x
的增大而增大，可得到答案．
解：由题意可知: 函数 ,开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为
，
∴当 时，y随的增大而增大，
故答案为：增大．
【点拨】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧
y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键．
14．(2，－5)
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．
解：抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5），
∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），
故答案为：(2，－5) ．【点拨】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
15．①②④
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当
时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶点坐
标，再代入函数 进行验证即可得．
解： 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位长
度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平移
个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象
该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．16．(1，8)
【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
解：由二次函数性质可知， 的顶点坐标为( ， )
∴ 的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
【点拨】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
17．18．
解：根据二次函数的性质，抛物线 的对称轴为x=3．
∵A是抛物线 与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且AB∥x轴．
∴A，B关于x=3对称．∴AB=6．
又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18．
18．y＝x2＋1．
解：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
19．（1）y= x2+2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴；（2）画图见分析；（3）x=0时，y有最大
值，为2.
试题分析：（1）根据平移规律“上加下减”写出平移后的抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式列函数对应值表，并作函数图象；
（3）结合函数图象回答问题.
解：（1）把y=- x2的图象向上平移2个单位后得到抛物线的解析式为：y=- x2+2，
所以它的顶点坐标是（0，2），对称轴是x=0，即y轴；
（2）由y=- x2+2，得
其函数图象如图所示：；
（3）如图所示：当x=0时，y =2．
最大
20．（1）1；②=；（2）
【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得 ，由对称轴公式 ，得 ；
②把 分别代入 和 ，即可比较 与 大小；
（2）联立 、 的解析式得方程 ，△ ，题中 ，即抛物线与直线
相交，有2个交点，当 时和 时代入方程，即得 的值，可求出 的范围．
解：（1）①由 ，
则对称轴 ，
，
②把 分别代入 与 得，
， ，
；
（2）联立 、 的解析式可得， ，
整理得， ，
则△ ，
，
，即就是没有直线与抛物线相切的情况．
当 时，代入方程，
得 ，
（负值舍去），
，
当 时，代入方程，
得 ，
，
又 ，
的取值为： ．
【点拨】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，代入法求
值、一元二次方程的判别式等．
21．(1)对的，理由见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运
动；
（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a
的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次
函数的性质即可证得结论．
（1）解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数 （ 是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
（2）证明：点 ， 都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入 ，得
∴c≤15．
【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（1） ，M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
解： （1）∵抛物线 过点A(2，0)，
，解得 ，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为 ，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得 ，
∴直线AM的解析式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
23．(1)y=-x2+2x+8；(2)S BCD=6．
△
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，把点(4，0)代入可求得a=-1，据此即可求解；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，利用S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD计算即可求解．
梯形
△ △ △
（1）解：∵抛物线的顶点为C(1，9)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，∵抛物线与x轴交于点B(4，0)，
∴a(4-1)2+9=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+9=-x2+2x+8；
（2）解：过点C作CE⊥y轴于点E，
∵抛物线与y轴交点为D，
∴D(0，8)，
∵B(4，0)，C(1，9)，
∴CE=1，OE=9，OD=8，OB=4，
∴S BCD= S OBCE-S ECD-S OBD
梯形
△ △ △
= (1+4)×9- ×1×1- ×4×8
=6．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，掌握待定系数法求函数解
析式是解题的关键．
24．（1）① ；②8；（2）① ；② 或
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；
②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x＝−1，x＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解；
1 2
（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解；
②观察函数图象即可求解．
解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k，
解得 k＝4．
∴y＝−（x−1）2＋4；②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）．
当−（x−1）2＋4＝0时，
解得 x＝−1，x＝3．
1 2
∴A（−1，0），B（3，0）．
∴AB＝3−（−1）＝4．
∴S＝ ×4×4＝8；
（2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，
∴ ；
②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉
函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
