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专题 24.17 隐形圆（4 大模型 6 类题型）（模型梳理与题型分类讲
解）
第一部分【模型梳理与题型目录】
隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但
实际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形
圆四大模型，供大家参考使用.
【模型1】 定点定长模型
【模型分析】（1）出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；（2）如图1，
若 OA=OB=OC，则 A、B、C 在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上.由圆周角定理可得：
, , .
图1
【模型2】 90°圆周角模型
【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的
⊙O(不包含A、B两点)．
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．
图2应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。
【模型3】 定弦定角模型
【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．
如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧
（AB）上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的 大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当
°时，点C在优弧上运动；当 °时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；
当 °时，点C在劣弧上运动．
【模型4】 四点共圆模型
【模型分析】在四边形ABCD中，若
，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D
四点共圆.
图3
应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.
【题型1】 定点定长模型......................................................3;【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;
【题型3】 定弦定角模型.....................................................10；
【题型4】 四点共圆模型.....................................................14；
【题型5】直通中考.........................................................19；
【题型6】拓展延伸.........................................................21.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】 定点定长模型
【例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形 中， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是根据题意得到 三点共圆．首先
根据 得到点B、C、D三点在以点A为圆心的圆上，然后根据 得到
，利用圆周角定理即可求解．
解： ，
点 三点在以点A为圆心的圆上，如图所示：
，
，
，
，
．故选：C．
【变式1】（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在等边 中， ，D，E 分别是边
上的动点（不与 的顶点重合），连接 相交于点F，连接 ，若 ，则
的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】根据等边三角形的性质，结合 ，得到 ，对顶角相等，得到
，进而得到点 在以 为圆心， 的长为半径，且 的圆弧上运动，连接
，则： ，证明 ，得到 为含30度角的直
角三角形，进行求解即可．
解：∵等边 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 的长为半径，且 的圆弧上运动，如图，连接 ，
则： ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即： 的最小值为： ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点 的运动轨迹．
【变式2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在 中， ， ， ，
点D是其内部一动点，且 ，则C，D两点的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点D位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点D在以 为直径的 上，连接 与 交于点D，
此时 最小，利用勾股定理求出 即可解决问题．
解：∵在 中， ， ， ，
∴由勾股定理，得 ，
如图，取 的中点O，连接 ， 交圆于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴E点在以O为圆心，半径为 的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时， 最短，
此时 ，
在 中，
由勾股定理，得 ，
故 的最小值为： ，
故选：C．
【题型2】 90°圆周角模型
【例2】（2024·湖南娄底·一模）如图，正方形 的边长为 ，点 分别在 、 上，且
， 与 相交于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握
的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明 ，可证 ，则
点 在以 为直径的一段弧上运动，当点 在 与弧的交点处时， 最短，然后根据勾股定理求出
的长即可求解．
解： 四边形 是正方形，
，
在 和 中
，
，
，
，
∴ ，
点 在以 为直径的一段弧上运动，
设 的中点为 ，则当点 在 与弧的交点处时， 最短，
，
，
∴ ，， 故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级下·山东日照）如图，已知正方形 的边长为2，点F是正方形内一点，连
接 ，且 ，点E是 边上一动点，连接 ，则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质得到 ，推出 ，得到点F在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为O，正方形 关于直线 对称的正方形 ，则点 的对应点是B，连接
交 于E，交半圆O于F，线段 的长即为 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为O，正方形 关于直线 对称的正方形 ，则点 的对应点是B，连接 交 于E，交半圆O于F，线段 的长即为 的长度最小值， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度最小值为 ，故选：A．
【点拨】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问
题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，E，F是正方形 的边 上两个动点，满
足 ．连接 交 于点G，连接 交 于点H．若正方形的边长为1，则线段 长度的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ，同理可证
，由角的和差得 ，取 的中点 ，连接 ， 的运动轨迹为以 为圆心，为半径的半圆，当 、 、 三点共线时， 最小，即可求解．
解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
（ ），
，
在 和 中，
，
（ ），
，
，
，
，
如下图，取 的中点 ，连接 ，
，
的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，如图，
当 、 、 三点共线时， 最小，
，
；
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一
点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是
解题的关键．
【题型3】 定弦定角模型
【例3】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的高，若 ， ，则
长的最大值为（ ）A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】在 上方作以 为斜边的等腰直角三角形 ，根据“定线段对定角度”确定点C在以
为圆心， 长为半径的圆上运动，当 经过圆心时 最长，再计算即可．
解：在 上方作以 为斜边的等腰直角三角形 ，
∵
∴点C在以 为圆心， 长为半径的圆上运动，
∵ ，
∴ ，
当 经过圆心时 最长
∵ 是 的高，
∴
此时 ，
故选：A．
【点拨】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以 为圆心， 长为半径的圆上运动．
【变式1】（20-21九年级上·浙江·期末）如图，点C是以 为直径的半圆上任意一点， ，D、E
分别是弧 ，弧 的中点， 交于点F，则 度， 的外接圆半径是
．【答案】 135°
【分析】连接 ， ，由 、 分别是 、 的中点，得到 ， ，求得
， ，根据三角形的外角的性质即可得到结论，设 的外接圆的圆心为 ，
取弦 所对的弧上的点 与点 在 的两侧，求得 ，根据等腰直角三角形的性质即可得
到结论．
解：连接 ， ，
、 分别是 、 的中点，
， ，
， ，
是 的直径，
，
，
，
；
，
设 的外接圆的圆心为 ，取弦 所对的弧上的点 与点 在 的两侧，
，
，
，
，
的外接圆半径是 ，
故答案为：45， ．【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，
正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2】（2021·安徽·二模）如图，直角 中， ， ，点 是
内部一动点，总满足∠APC=150°，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．想
办法求出OB，OP，可得结论．
解：如图，作△APC的外接圆⊙O，连接OA，OC，OB，OP，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．∵∠APC=150°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=OA=OP=8，∠ACO=60°
在Rt△COH中，∠OCH=90°-60°=30°，
∴OH= OC=4，CH= OH= ，
∵BC= ，
∴BH= ，
∴OB= ，
∵PB≥OB-OP，
∴BP≥ ，
∴BP的最小值为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，求出OP，OB，属于中考选择题中的压轴题．
【题型4】 四点共圆模型
【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， ， ，点C在内部，且
，则四边形 面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，取 的中点N，连接 ， ，证明 是等边三角形，求出，要使四边形 的面积最大，只需 的面积最大．证明A，B，C，D
四点共圆，得出当 时， 取得最大面积，此时 ， ，
，求出 ，最后求出结果即可．
解：如图，连接 ，取 的中点N，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴要使四边形 的面积最大，只需 的面积最大．
∵ ，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴当 时， 取得最大面积，此时 ， ， ，
∴ ，
∴ ，此时 ，
∴四边形 面积的最大值为
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆，等腰三角形的性质，解题
的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形 中， ，连接 ，点F为边 上一点，连接 交 于点E， ， ， ，
若 ， ，则 的长为 ．
【答案】8
【分析】延长 与 的延长线相交于点H，证明 ， ，由三角形内角和
定理得到 ， ，进一步得到 ，则 ，由勾股定理得到
，证明点C、G、E、F四点共圆，如图，连接 ，证明 ，设
，则 ， ， ，由勾股定理得 ，即
，解方程即可得到答案．
解：延长 与 的延长线相交于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点C、G、E、F四点共圆，如图，
连接 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）或 ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解一元二次方程等知识，关键在于等腰直角三角形的判定和性质与
证明四点共圆．
【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边三角形 中， 为 边上一动
点， ，垂足分别为 则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，取 的中点O，连接 ， ，过点O作 于H，首先证明
是顶角为 的等腰三角形，当 的值最小时， 的值最小，即可求出 的最小值．
解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ， ，过点O作 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C、D、P、E四点共圆，
∴ ，
∴当 的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可得，当 时， ，此时 最小， ，∵ ， ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值最小为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、等腰直角三角
形的判定与性质等知识；正确判断当 时 最小是解题的关键．
【变式2】（20-21九年级上·广东·阶段练习）一副直角三角板如图放置（ ），
， ， 交 于 ，则 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【分析】根据 得到A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理得到
，然后利用三角形的外角即可求解．
解：∵ ，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴A、B、C、D四点共圆，且AB为直径
∴根据圆周角定理得
∴ 故选D．【点拨】本题考查了圆的相关知识：四点共圆，圆周角定理，三角形外角的性质，题目综合性较强，熟
练掌握四点共圆是本题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型5】直通中考
【例1】（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．
连接点A、B，过O作 于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为 ，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，
C点在以OD的中点E为圆心，以 为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可
求解．
解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0，
∵OA⊥OB，
∴ ，
∴ ，
即 ，，
设AB的解析式为： ，代入A(a，a²)，
解得： ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴C点在以OD的中点E为圆心，以 为半径的圆上运动，
当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，
故CH的最大值为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终
为1，结合 ，由此确定点E的轨迹为圆进而求解．
【例2】（2023·江苏·中考真题）在四边形 中， 为 内部的任
一条射线（ 不等于 ），点 关于 的对称点为 ，直线 与 交于点 ，连接 ，
则 面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据轴对称的性质可得 ，进而可得 在半径为 的 上，
证明 是等边三角形，当 取得最大值时， 面积最大，根据圆的直径最大，进而得出
最大值为 ，即可求解．
解：如图所示，连接 ，∵点 关于 的对称点为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 在半径为 的 上，
在优弧 上任取一点 ，连接 ,
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
当 取得最大值时， 面积最大，
∵ 在 上运动，则 最大值为 ，
则 面积的最大值是 ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出
最大值为 是解题的关键．
【题型6】拓展延伸
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 在半径为 的 上， 为 上一动点，将射线 绕
逆时针旋转 交 于 ，取 的中点 ，求在 的运动过程中 的路径长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点 重合时，
，由 为 中点，则 ，当点 在运动过程中， 在以 为圆心， 为半径的
上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，取圆上一点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，当点 重合时，
∵ ，
∵ 为 中点，∴ ，
∴ ，
∴ 为直径，
当点 在运动过程中， 在以 为圆心， 长度为半径的 上运动，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴在 的运动过程中 的路径长为 ，故选： ．
【例2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，在正方形 中，点M，N分别为 上的动点，且
， 交于点E，点F为 的中点，点P为 上一个动点，连接 ，若 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】证明 ，则 ， ，如图，取 的中点 ，则 在
以 为圆心， 为直径的圆上运动，作 关于 对称的点 ，连接 ，连接OF′交 于 ，则
，由 ，可知当 四点共线时， 最小为 ，由勾股定
理得， ，根据 ，求解作答即可．
解：∵正方形 ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，取 的中点 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上运动，作 关于 对称的点 ，连接
，连接OF′交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 四点共线时， 最小为 ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，
勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称
的性质，勾股定理是解题的关键．
