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专题 24.1 圆与三角形的综合
【典例1】已知等边△ABC内接于⊙O点P为弧AB上的一个动点，连结PA、PB、PC．
（1）如图1，当线段PC经过点O时，写出线段PA，PB，PC满足的等量关系，并说明理由．
（2）如图2，点P为弧AB的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足
的等量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，在△ABC中，AB=6，AC=11，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，
PE⊥AC于E，求AE的长．
【思路点拨】
（1）由圆周角定理得出∠PAC=∠PBC=90°，由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°，求出
1 1
∠ACP=∠BCP=30°，由直角三角形的性质得出PA= PC，PB= PC，即可得出结论；
2 2
（2）在PC上截取PD=PA，连接AD，证明△APD是等边三角形，得出AD=AP=PD，
∠PAD=60°=∠BAC，证出∠DAC=∠PAB，证明△ACD≌△ABP(SAS)，得出DC=PB，即可得出
结论；
（3）在AC上截取ED=AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，由线段垂直平分线的性质得出
PA=PD，由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠PAD=∠PDA=∠CDG．∠PAD=∠G．得出
∠CDG=∠G，证出CG=CD，证出∠BAC=180°−2∠PAD=180°−(∠PAD+∠PDA)=∠APG．
得出BG´C=AB´G，得出A´B=C´G，证出AB=CG．即可得出答案．【解题过程】
（1）解：PA+PB=PC，理由如下：
∵线段PC经过点O，
∴PC是⊙O的直径，
∴∠PAC=∠PBC=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACP=∠BCP=30°，
1 1
∴PA= PC，PB= PC，
2 2
∴PA+PB=PC；
（2）PA+PB=PC，理由如下：
在PC上截取PD=PA，连接AD，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠APD=∠ABC=60°，
∵PD=PA，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠PAD=60°=∠BAC，
∴∠DAC=∠PAB，
在△ACD和△ABP中，
{
AC=AB
)
∠DAC=∠PAB ，
AD=AP∴△ACD≌△ABP(SAS)，
∴DC=PB，
∴PA+PB=PD+DC=PC；
（3）在AC上截取ED=AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：
∵PE⊥AC，DE=AE，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA=∠CDG．
∵∠PAD=∠G．
∴∠CDG=∠G，
∴CG=CD，
又∵PA平分∠FAC，
∴∠BAC=180°−2∠PAD=180°−(∠PAD+∠PDA)=∠APG．
∴ BG´C=AB´G
∴ A´B=C´G，
∴AB=CG．
∴AC−AB=AC−CD=AD=2AE，即2AE=AC−AB=11−6=5，
5
∴AE= ．
21．（2023春·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，等腰直角△ABC与⊙O交于点B，C，∠ACB=90°
，延长AB，AC与⊙O分别交于点D，E，连接CD，ED，并延长ED至点F，使得∠FBD=∠BCD．
（1）求∠CED的度数；
（2）求证：BF与⊙O相切；
（3）若⊙O的半径为2，求CD的长．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CAB=30∘，点D在AB上由
点B开始向点A运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线．3．（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）如图，点A是⊙O（半径为r）上的一点．
（1）尺规作图：请你用两种不同方法作⊙O的内接等边△ABC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在劣弧BC上任意取一点D，连接AD、BD、CD，请你直接写出AD、BD、CD之间的数量关系
______；
（3）等边△ABC的三个顶点将⊙O分成三段弧，将这三段弧沿等边△ABC的三边向圆内折叠，则这三段
弧折叠后重合部分的面积为______．（用含r的代数式表示）
4．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O
上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）若∠AOD=50°，求A´C的度数；
（2）若DF=8，AC=24，求⊙O的直径；
（3）若⊙O的半径为6，∠AOD=80°，P是线段AB上任意一点，请直接写出PC+PD的最小值．5．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，D是A´C上一点．过点A作
AE∥BC，交CD的延长线于点E．连接AD、BD，∠BDA=∠ADE．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）若BD⊥AC，AB=8，CD=4，则⊙O的半径为______．
6．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）已知，点A、B、C、D是圆O上的四个点，
（1）如图1，如果∠ADB=∠BDC=60°，判断△ABC的形状，并证明．
（2）如果△ABC是等边三角形，点D在圆O上运动，连接DA、DB、DC，请直接写出这三条线段的数
量关系．
（3）如图2，如果△ABC是等边三角形，圆半径为2，当点D在弧AC上运动时，四边形ABCD周长最大
值为______．7．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）已知⊙O的直径AB为10，D为⊙O上一动
点（不与A、B重合），连接AD、BD．
（1）如图1，若AD=8，求BD的值；
（2）如图2，弦DC平分∠ADB，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE．
①当∠DBE=90°时，求BE的值；
②在点D的运动过程中，BE的值是否存在最小值？若存在，求BE的最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）MN是⊙O上的一条不经过圆心的弦，MN=4，在劣弧MN和
优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且A´N=B´N，连接AM，BM．
（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，∠ABM=30°，求∠CMO的度数；
（2）如图2，OM，AB，过点O作OD∥AB交MN于点D，求证：∠MOD+2∠DMO=90°；
（3）如图3，连接AN，BN，若∠AMN=30°，求AM+MB的值．
9．（2023秋·福建厦门·九年级统考期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC=67.5°，B´C的❑√2
长为 π，点P是射线BC上的动点BP=m(m≥2)．射线OP绕点O逆时针旋转45°得到射线OD，点Q
2
是射线OD上的点，点Q与点O不重合，连接PQ，PQ=n．
（1）求⊙O的半径；
（2）当n2=m2−2m+2时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记Q ，Q 是其中任意两个位
1 2
置，探究直线Q Q 与⊙O的位置关系．
1 2
10．（2023秋·广东广州·九年级广州市八一实验学校校考期末）已知，在半圆O中，直径AB=6，点C、
D在半圆AB上运动，（点C、D可以与A、B两点重合），弦CD=3．
（1）如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA；
（2）如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积；
（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①求点M到AB的最小值距离；
②直接写出点M的运动路径长______．
11．（2023春·北京·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，∠BAD的平分线交⊙O于点C，
CE⊥AD于点E，EM⊥AB于点H与AC交于点G，与⊙O交于M点，且AG=CG.（1）求证：∠CAB=∠AEG
（2）求证：AG=2GH
（3）若⊙O半径为4，求FM的长.
12．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知⊙O为△ABC的外接圆，AB=BC．
（1）如图1，连接OB交AC于点E，过A作CO的垂线交CO延长线于点D．
①求证：BO平分∠ABC；
②设∠ACB=α,∠DAC=β，请用含α的代数式表示β；
（2）如图2，若∠ABC=90°，F为⊙O上的一点，且点B,F位于AC两侧，作△ABF关于AB对称的图
形△ABG，连接GC，试猜想AG,CG,BG三者之间的数量关系并给予证明．
13．（2023春·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1，BE是⊙O的直径，点C在BE的延长线上，
△ABD是⊙O的内接三角形，∠A=120°，BD=CD．（1）求∠C的度数．
（2）求证：DC是⊙O的切线．
（3）如图2，若 ， 是 的平分线且交 ⏜ 于点 ，交 于点 ，连接 ，求线段 的
BE=2 BF ∠DBC P DC F PE CF
DE
长．
14．（2023·广东广州·统考一模）已知⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为6．
（1）如图，AB是⊙O的直径，点C是A´B的中点．
①尺规作图：作∠ACB的角平分线CD，交⊙O于点D，连接BD（保留作图痕迹，不写作法）：
②求BD的长度．
（2）如图，AB是⊙O的非直径弦，点C在A´B上运动，∠ACD=∠BCD=60°，点C在运动的过程中，
四边形ADBC的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
15．（2023·浙江·一模）如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分
别是AC，BC上的点，且BE=CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）探索FN与MD的数量关系，并加以证明；
（3）点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H运动的路径长是多
少？
16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4，AD⊥BC于D，E为AB
边上的点，过A、D、E三点的⊙O交AC于F，连接DE，DF．（1）求证：AE=CF；
（2）如图2，点P为弧DE上一动点，连接PD，PE，PF．在点P运动过程中，试探索PD，PE，PF之
间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在扇形ABC中，M为弧BC上任意一点，过点M作MN⊥AC于点N，设Q为△AMN的内
心，当点M从点B运动到点C时，请直接写出内心Q所经过的路径长．
17．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图1，点A、B是⊙O上的两点，AD为⊙O的直径，
AD=10．过点O作OC∥AB，连接CD延长至点E，连接EA，EB，使得AE=BE．（1）当AB=6时，求CD的长；
（2）如图2，线段BE交⊙O于点F，连接OF，求证：∠AEB=∠FOD；
（3）如图3，连接BC，当点B是A´C的中点时，请直接写出线段BE的长为_______．
18．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知：⊙O是△ABC的外接圆，且A´B=B´C，
∠ABC=60°，D为⊙O上一动点．（1）如图1，若点D是A´B的中点，∠DBA等于多少？
（2）过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在A´B上，求证：CD=DE+AE．
②若点D在A´C上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求∠ABD的最大值．
19．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交
BC于D，过点D作DE⊥AC于E．（1）如图1，求证：∠DAB=∠CDE；
（2）如图1，若CD=OA,AB=6，求DE的长；
（3）如图2，当∠DAC=2∠DAB时，BD=5,DC=6，求r的值；
（4）如图3，若AE=AB=BD=1，直接写出AD+DE的值（用含r的代数式表示）
20．（2022·全国·九年级专题练习）已知：△ABC内接于⊙O，连接OA，点D在⊙O上，连接AD，交
BC于点E，∠CAD=∠BAO．（1）如图1，求证：AD⊥BC；
（2）如图2，过点D作DF⊥AB于点F，交BC于点G，求证：CD=DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，若2∠BAD−∠ADB=3∠CAD，2AE=3DE，AC=1，求线段OA的
长．
