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专题24.1 圆及其基本概念（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】圆的定义
(1) 动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋
转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作
“⊙O”，读作“圆O”．
特别提醒：
①圆心确定位置，半径确定大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2) 静态定义：平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.定长为半径，定点叫圆心。
特别提醒：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
面，一个闭合的曲面.
【知识点2】与圆有关的基本概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫作弦；
直径：经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径；
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或
“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；半圆是弧，而弧不一
定是半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
特别提示：
①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【知识点3】点和圆的位置关系点和圆的三种位置关系：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆上 d=r； 点在圆内 dr.
即：“数” “形”
【考点一】与圆相关的概念
【例1】下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相
等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．①、②、③、④
【答案】C
【分析】根据所学定理和推论可知．
解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确．
②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误．
③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误．
④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，
弦也不等；故④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了与圆有关的定理和推论，对于圆中的一些易混易错定理和推论应重点记忆和掌握．
【变式1】下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相
等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等．
解：正确的是①②必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因而③是错误的．
故选A．
【考点二】圆的概念的理解与认识
【例2】如图， ，在射线 上顺次截取 ， ，以 为直径作
交射线 于 、 两点．求：（1）圆心O到 的距离．
（2）求 的长．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）过 点作 于 ，如图，根据含 度的直角三角形三边的关系求出 即可；
（2）连接 ，如图，利用勾股定理计算出 和 即可得答案．
（1）解：过 点作 于 ，如图，
，
，
，
在 中， ，
，
即圆心 到 的距离为 ；
（2）解：连接 ，如图，，
∴在 中， ，
在 中， ，
．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圆的概念，解本题的关键在熟练掌握 度
角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
【变式】如图， 为 的直径，C是 延长线上一点，点D在 上，且 ， 的延长
线交 于点E，若 ，试求 的度数．
【答案】 ．
【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得 ，从而利用三角形的外角的性质
即可得答案．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角性质，属于基础题，熟练掌握相关性
质是解题关键．【考点三】最值➼➻直径是圆中最长的弦
【例3】如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与
⊙M的交点分别为A，B，则 AOB的面积的最大值为 ，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等
于 °． △
【答案】 6 90
【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使 AOB的面积的最值，则O点到AB的距离最大，
△
而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到 AOB的面积的最大值= ×4×3=6，
△
同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
解：∵AB为⊙M的直径，
∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时， AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM△的长，
∴△AOB的面积的最大值＝ ×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为：6，90．
【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分
别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．【答案】
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以
求得最大值．
解： 点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用
中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．
【变式2】如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且 ，点 ， 分别是
， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，求 的最大值.
【答案】 的最大值为 .【分析】由 和 组成 的弦 ，在 中，弦 最长为直径14，而 可求，所以
的最大值可求.
解：连结 ， ，
∵
∴
∴ 为等边三角形，
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ ，∵ 为 的一条弦
∴ 最大值为直径14 ∴ 的最大值为 .
【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
【考点四】最值➼➻一点到圆上距离的最值
【例4】若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离．
【答案】4cm，20cm
【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定．
解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r，
∴点P在圆内，
点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)；
最长距离为：12+8=20(cm)．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键．
【变式1】已知 的半径是 ．
（1）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（2）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，则最长距离为___．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） 或 ．
【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；（2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；
（3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解．
解：（1） ，则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是 ，最长距离
是 ．
故答案是： ， ；
（2） ，则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离是
．
故答案是： ， ；
（3）当P在圆内部时，最长距离是 ，
当P在圆外时，最长距离是 ．
故答案是 或 ．
【点拨】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键．
【变式2】如图， A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点P是 A上的运动点，则点P到点
O的最大距离 ．⊙ ⊙
【答案】7
【分析】连接OA，并延长交 A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离，利用勾股定理求出OA
的值，进而即可求解． ⊙
解：连接OA，并延长交 A于点P’，则OP’即使点P到点O的最大距离，
⊙
∵A的坐标为（﹣3，4），∴OA= ，
∴OP’=5+2=7．
故答案为：7
【点拨】本题主要考查圆的基本性质和勾股定理，找到使点P到点O的最大距离的位置，是解题的关
键．
【考点五】点与圆的位置关系
【例5】如图，在 ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半
径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ．过点 作 于点 ，显然 ，解直角
三角形求出 ， 即可判断．
解：连接 ，过点 作 于点 ．过点 作 于点 ，
∴ ，
， ，
，
，点 是 中点，即 是中位线
， ，
，
，
又∵ ，
∴ 的取值范围是 ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式1】已知 的半径是 ，若 ，则点 （ ）
A．在 上 B．在 内 C．在 外 D．无法判定
【答案】C
【分析】点在圆上，则 ；点在圆外， ；点在圆内， 即点到圆心的距离， 即圆的半
径 ．
解： ，
点 在 外，
故选：C．
【点拨】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的
距离和半径的大小关系．
【变式2】在矩形 中， ， ．
(1) 若以 为圆心，8长为半径作 ，则 、 、 与圆的位置关系是什么？
(2) 若作 ，使 、 、 三点至少有一个点在 内，至少有一点在 外，则 的半径 的取值
范围是 ．
【答案】(1)点 在 内，点 在 外，点 在 上；(2)
【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较 与圆的半径之间的大小关系，即可得解；（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．
（1）解：连接 ，
， ，
，
的半径为8，
点 在 内，点 在 外，点 在 上；
（2）解： ， ， ，
又 以点 为圆心作 ，使 ， ， 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离 与圆的半径 之间的关系，判断点
与圆的位置关系，是解题的关键．
