专题24.4弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积之十大考点（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 24.4 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积之十大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】........................................................................................................1 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】........................................................................................................3 【考点三 求某点的弧形运动路径长度】........................................................................................................4 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】................................................................................7 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】............................................................................................................8 【考点六 求弓形的面积】..............................................................................................................................10 【考点七 求其他不规则图形的面积】..........................................................................................................13 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】......................................................................................................16 【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】......................................................................................................17 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】..........................................................................................................19 【过关检测】...........................................................................................................................................23 【典型例题】 【考点一 已知圆心角的度数，求弧长】 例题：（2023春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）扇形的圆心角为 ，半径为 ，它的弧长为 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式 求解． 【详解】解： ，故答案为： ． 【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式 ． 【变式训练】 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知，如图， 的半径为6，正六边形 与 相切于点 C、F，则 的长度是 ． 【答案】 【分析】 连接 、 ，根据 与正六边形 相切于点C，F，得到 ，求出 的度数，根据弧长公式计算可得答案． 【详解】 解：连接 、 ， ∵ 与正六边形 相切于点C，F， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ．【点睛】 此题考查了切线的性质定理，正六边形的性质，弧长计算公式，熟练掌握切线的性质定理得到 ，是解题的关键． 2．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在 中，半径 ，C是 上一点，连接 ， ， ，若 ， ，则 的长度为 ． 【答案】 / 【分析】根据圆周角定理求出 ，进而求出 ，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 的长为： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，根据圆周角定理求出 是解题的关键． 【考点二 已知弧长，求圆心角的度数】 例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为 ，弧长为 ，则该扇形的圆心角的度数为 ．【答案】 /100度 【分析】根据弧长和扇形面积关系可得 ，求出R，再根据扇形面积公式求解. 【详解】∵一个扇形的弧长是 ，面积是 ， ∴ ，即 ，解得： ， ∴ ，解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键. 【变式训练】 1．（2023·江苏镇江·统考二模）扇形的弧长为 ，半径是12，该扇形的圆心角为 度． 【答案】90 【分析】设此扇形的圆心角为 ，代入弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设此扇形的圆心角为 ， 由题意得， ， 解得， ， 故答案为：90． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式 是解题的关键． 2．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为 ，则该扇形的圆心角为 ． 【答案】 /90度 【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据弧长公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为n， ∵扇形的弧长为2π， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．【考点三 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，以原点O为旋转中 心，将 顺时针旋转 得到 ，其中点 与点A对应，点 与点B对应．如果 ， ．则点A经过的路径长度为 （含 的式子表示） 【答案】 【分析】A点坐标为已知，求出 长度，再利用弧长公式 求解即可． 【详解】解： 如图，由题意A点以原点O旋转中心旋转了 点A经过的路径 的长度 故答案为： ． 【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式． 【变式训练】 1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ．将绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的对应点 恰好落在线段 上，则点 的运动路径长是 cm（结果用含 的式子表示）． 【答案】 【分析】由于 旋转到 ，故C的运动路径长是 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可． 【详解】以A为圆心作圆弧 ，如图所示． 在直角 中， ，则 ， 则 ． ∴ ． 由旋转性质可知， ，又 ， ∴ 是等边三角形． ∴ ． 由旋转性质知， ． 故弧 的长度为： ； 故答案为： 【点睛】本题考查了含 角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关 键是明确C点的运动轨迹． 2．（2023·广东东莞·校考一模）如图， 和 是两个完全重合的直角三角板， ，斜边长为 ．三角板 绕直角顶点C顺时针旋转，当点 落在 边上时，则点 所转过的路径长为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到 ，再根据旋 转的性质得 ，于是可判断 为等边三角形，所以 ，然后根据弧长公式计算弧 的长度即可． 【详解】∵ ， ∴ ， ∵三角板 绕直角顶点C顺时针旋转，当点 落在 边上， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴弧 的长度 ， 即点 所转过的路径长为 ． 答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中 心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式． 【考点四 已知圆心角的度数或弧长，求扇形的面积】 例题：（2023·江苏·九年级假期作业）已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【详解】根据扇形的面积公式即可求解．【分析】解：扇形的面积 ． 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是 ，圆心角是 144°，则此扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】设该扇形的半径为 ，然后根据弧长公式计算半径，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设该扇形的半径为 ，由题意得： ，解得： ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查弧长计算公式及扇形面积计算公式，熟练掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式是 解题的关键． 2．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形 的边长为4，以顶点A为圆心， 长为 半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解： 正五边形的外角和为 ， 每一个外角的度数为 ， 正五边形的每个内角为 ， 正五边形的边长为4，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数 并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 【考点五 求图形旋转后扫过的面积】 例题：（2023·河南安阳·统考一模）如图，将半径为 ，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ， 得到扇形 ，则 扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得 ，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】∵ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 由旋转性质可得， ， ， 则 ， ， ，， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关 键． 【变式训练】 1．（2022春·四川德阳·九年级校考阶段练习）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，已知 ，则线段 扫过的图形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 / 【分析】由于将 绕点C旋转 得到 可见，阴影部分面积为扇形 减扇形 ，分别计 算两扇形面积，在计算其差即可． 【详解】解：从图中可以看出，线段 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是 ，小圆半 径是 ，圆心角是 ，所以阴影面积 大扇形面积 小扇形面积 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的 关键． 2．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，在Rt 中， ， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转到 的位置，使 三点在同一条直线上，则直角边 扫过的 图形面积为 ． 【答案】【分析】根据题意可得： ， ， ，因此直角边 扫过的图形面积为 ，因为 ，因此 ， 代入数值即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ， 所以直角边 扫过的图形面积为 ， 由于 ， 所以 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出 扫过的面积构成，利用扇形的面积公式 计算即可． 【考点六 求弓形的面积】 例题：（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，在扇形 中， ， ，则阴影部 分的面积是 ． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵ ， ， ∴ ． 故答案为： ．【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·山东泰安·统考二模）如图C、D在直径 的半圆上，D为半圆弧的中点， ，则 阴影部分的面积是 【答案】 【分析】设 的中点为 ，连接 ，用扇形 的面积减去 的面积即可得出结果． 【详解】解：设 的中点为 ，连接 ， ∵C、D在直径 的半圆上，D为半圆弧的中点， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 过点 作 ，则： ， ∴ ， ∴阴影部分的面积 ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积 转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键． 2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在 中， ， ，以 中点D为圆心、 长为半径作半圆交线段 于点E，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】 【分析】连接 ， ，然后根据已知条件求出 ， ，从而得到 ，最后结 合扇形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ． ∵ 为直径， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴阴影部分的面积= ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的 圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．【考点七 求其他不规则图形的面积】 例题：（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）图1是以 为直径的半圆形纸片， ，沿着垂直于 的半径 剪开，将扇形 沿 向右平移至扇形 ，如图2，其中 是 的中点， 交 于点F，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得 的长，再根据图形，可知阴影部分的面积 扇形 的面积 的面积 扇形 的面积，计算即可． 【详解】解：连接 ， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式训练】 1．（2023·河南信阳·统考一模）如图，正五边形 的边长为1，分别以点C，D为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ） 【答案】 【分析】连接 ， ，由 ，得 ，求出 ，根 据公式求出 ，即可得到阴影面积． 【详解】如图，连接 ， ， 由题意，得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ．【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方 法连接辅助线是解题的关键． 2．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，以D为圆心，以 长 为半径画弧，以C为圆心，以 长为半径画弧，两弧恰好交于 上的点E处，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接 ，根据勾股定理，得 ，根据阴影部分的面积 为：扇形 的面积减去 ，根据 的等于扇形 的面积减去 ，即可求解． 【详解】解：连接 ，如图： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ，扇形 的面积为： ， ∵ ， 阴影部分的面积为： ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性 质． 【考点八 求圆锥的侧面积与底面半径】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ． （结果保留 ） 【答案】 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：根据圆锥的侧面积公式： ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·云南昭通·九年级统考期中）若圆雉的侧面积为 ，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ． 【答案】4 【分析】根据圆锥的侧面积 ，列出方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面积为 ，底面半径为3， ． 解得： ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解． 2．（2023·广东梅州·统考一模）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm， ∴圆锥的侧面积为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，属于简单题，熟练掌握扇形面积公式是解题关键． 3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面 圆的半径是 ． 【答案】1 【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后解关于r的方程即可． 【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得 ， 解得 ． 故答案为1． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥 底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．（2023·浙江衢州·统考二模）某个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则这个 圆锥的底面半径为 cm． 【答案】2 【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为 ， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， ， 故答案为 ． 【点睛】此题考查了圆的周长和圆弧长的计算，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键．【考点九 求圆锥侧面展开图的圆心角】 例题：（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面圆半径是 ，母线长是 ，则圆锥侧面展 开的扇形圆心角是 ． 【答案】 / 度 【分析】根据圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度， 把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥底面半径是 ， ∴圆锥的底面周长为 ， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为 ， ∴ ， 解得： ， ∴圆锥侧面展开的扇形圆心角是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角．掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题 的关键． 【变式训练】 1．（2023·江苏·九年级假期作业）已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为 ， 圆锥侧面展开图形的圆心角是 度． 【答案】 216 【分析】根据圆锥的侧面积公式 即可求解该圆锥的侧面积；结合弧长公式求出圆锥侧面展开图形 的圆心角即可． 【详解】解：圆锥的侧面积 ， 圆锥的底面周长 ， 扇形圆心角 ． 故答案为： ，216． 【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周 长等于圆锥的侧面扇形的弧长．2．（2023·江苏·九年级假期作业）若要制作一个母线长为 ，底面圆的半径为 的圆锥，则这个圆锥 的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】 /160度 【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n， 根据题意得： ， 解得 ， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长 ＝扇形的弧长是解答本题的关键． 【考点十 圆锥侧面上最短路径问题】 例题：（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，已知圆锥底面半径为 ， 母线长为 ，一只蚂蚁从 处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置 ）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长 即为最短路径． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过 作 , ∴设∠ASB＝n°， 即： ， 得： ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图 中是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）如图， 是圆锥底面的直径， ，母线 ．点 为 的中点，若一只蚂蚁从 点处出发，沿圆锥的侧面爬行到 点处，则蚂蚁爬行的最 短路程为 ． 【答案】 / 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角 的度数，然后利用等边三 角形的判定与性质、勾股定理可得 ，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接 、 ， 设圆锥侧面展开图的圆心角 的度数为 ， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以 ， 解得 ， 则 ， 又 ， 是等边三角形， 点 为 的中点， ， ， 在 中， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面 展开图是解题关键． 2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面 爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若 =120°，OA= ，则蚂 蚁爬行的最短距离是 ．【答案】3 【分析】连接 ，作 于点 ，根据题意，结合两点之间线段最短，得出 即为蚂蚁爬行的最 短距离，再根据三角形的内角和定理得出 ，再根据直角三角形中 所对的直角边等于斜边的 一半，得出 ，再根据勾股定理，得出 ，再根据三线合一的性质，得出 ，再根据 线段之间的数量关系，得出 即可解答． 【详解】解：如图，连接 ，作 于点 ， ∴ 即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ． ∴蚂蚁爬行的最短距离为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三 线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ， ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 所对的圆周角 ，可求得 所对的圆心角 ，再根据弧长公式 计算即可得出答案． 【详解】解： ， 又 ， 由弧长公式得 的长 ，故选：A． 【点睛】本题考查了求弧的长度，熟练掌握弧长的计算公式是解题关键． 2．（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面直径为4cm，侧面展开图的面积为 ，则圆锥的母线 长为（ ） A． cm B． cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【分析】根据圆锥侧面积公式 代入数据求出圆锥的母线长即可． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式： ，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为 ，故 ， 解得： ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，熟练圆锥侧面积公式是解题关键． 3．（2023秋·九年级课时练习）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，那么圆锥侧面展开图所成扇形的 圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所给圆锥侧面展开图的圆心角是 ，根据圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长，构建方程求解 即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角是 ， 根据题意，得： ， 解得： ， ∴圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长． 4．（2023·江苏盐城·校联考二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径 十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么， 这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（ ） A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步【答案】C 【分析】根据扇形面积公式，即 进行计算即可． 【详解】由题意可知，扇形的弧长为30步，扇形所在的圆直径为16步， 所以扇形的面积为 （平方步）， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 5．（2023秋·全国·九年级专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有 前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意 图如图②所示，它是以O为圆心， ， 长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据 即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式 ． 二、填空题6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一个扇形的圆心角是 ，弧长是 ，则扇形的半径是 cm． 【答案】3 【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解． 【详解】解：设扇形的半径是 ，则 解得： ． 故答案为 ． 【点睛】题主要考查了扇形的弧长，正确理解公式是解题的关键． 7．（2023秋·九年级课时练习）（1）在半径为 的圆中，圆心角为 的扇形的面积是 ； （2）已知扇形的半径为 ，面积为 ，则扇形的圆心角是 ． 【答案】 【分析】（1）利用扇形的面积公式 即可求出面积； （2）利用扇形的面积公式 即可求出面积． 【详解】解：（1）根据题意，得 ； （2）根据题意，得 ， 解得 ． 故答案为： ； ． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是本题的关键． 8．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）圆锥的高为 ，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展 开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含 的式子表示）． 【答案】 120 【分析】根据勾股定理，先求出圆锥底面半径，进而得出底面周长，即圆锥展开图的弧长，根据圆锥母线 为圆锥的侧面展开图的半径，结合扇形弧长公式和面积公式，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径 ， ∴该圆锥底面周长 ，∵圆锥母线长为3， ∴该圆锥的侧面展开图的半径为3， ∴ ，解得： ， 即展开图（扇形）的圆心角是120度， 圆锥的侧面积 ， 故答案为：120， ． 【点睛】本题主要考查了求圆锥地面半径，扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握弧长 ，扇 形面积 ． 9．（2023春·山东东营·九年级统考开学考试）如图是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的 点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位置B）所爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式求得展开侧面弧长所对应的圆心角，进而通过勾股定理即可求解； 【详解】解：将原圆锥体侧面展开如下，则蚂蚁从这个几何体的点B出发，绕其侧面一周（回到原来的位 置B）所爬行的最短路程为 ； ∵ ， ∴ ，过点A作 ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 10．（2023·重庆·九年级统考学业考试）把量角器和含 角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角 边重合，移动量角器使圆弧与斜边相切（即 的斜边 与 相切于点 ）时，发现量角器的中心 恰好在三角板的刻度3处（即 ），短直角边过量角器的外沿刻度120处（即 ），则 阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】先求出 ，进而求出 ，再求出 ，进而求出 ，最后用三角形的面积减去扇 形的面积，即可求出答案． 【详解】解：在 中， ， ， ， ， 连接 ，则 ，在 中， ， ， ， 根据勾股定理得， ， ， 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，含 角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公 式，求出圆的半径是解本题的关键． 三、解答题 11．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）已知圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 ，弧长为 ． (1)求该圆锥的母线长和底面圆半径； (2)求该圆锥的全面积． 【答案】(1)3，1 (2) 【分析】（1）设底面半径为r，母线长为R，则底面周长为 ，由圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆 锥底面圆的周长，可得 ，即 ，再由圆锥的侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长，可得 ，即可求解； （2）根据圆锥的全面积等于侧面展开图的扇形的面积加上底面圆的面积，利用扇形的面积公式和圆的面 积公式计算即可． 【详解】（1）解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长为 ， ∵圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ ， ∴ ，∵圆锥的侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长， ∴ ， ∴ ； （2）解：由（1）可得， ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形的面积公式及弧长公式，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是 解题的关键． 12．（2023春·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的切线，A为切点， 与 交于点 ，点 是 的中点，连接 . (1)求证： 是 的切线. (2)若 ， ，则劣弧 的长为______.（结果保留 ） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 、 ，由直径得， ，由切线得 ，可证 ， ，所以 ，所以 是 的切线； （2）解 ， ，得 ，根据弧长公式求解． 【详解】（1）解：证明：连接 、 ，如图， ∵ 是 的直径， 是 的切线，∴ ， . ∵点 是 的中点， ∴ ， ∴ . 又∵ ， ∴ ∴ 即 ， ∴ 是 的切线. （2）解： 中， ， ， ∴ ． ∴ ． ∴劣弧 的长为 ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，弧长的计算；掌握切线的判定和性质是解题的关键． 13．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，点D在 的直径 上， 弦 于点 ，点 为 延 长线上一点， ． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，垂直的定义以及三角形内角和定理得出 是直角即可； （2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及切线的性质可得出 ，进而求出扇形所对应的圆心角的度数以及半径，再由 进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 即 ， 是半径， 是 的切线； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，OC 3，OF OBBF 6， FC OF2OC2 3 3 ， S S S 阴影部分 OCF 扇形OBC1 6032  33 3 2 360 9 3 3   2 2 9 33  ． 2 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，等腰三角 形的性质以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提． 14．（2023秋·全国·九年级专题练习）“抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之 一．小颖玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，AC，BD分别与O相切 于点C，D，延长AC，BD交于点P，连接OP，CD，O的半径为2，DPC 90． (1)连接OC，OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由； (2)求劣弧CD的长； (3)若某时刻BPM 30，PM 与CD交于点N ，求PN 的长． 【答案】(1)四边形CODP为正方形，理由见解析 (2)劣弧CD的长为 PN 2 32 (3) 【分析】（1）根据切线的性质得到OCPODP90，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）求得圆心角COD90，利用弧长公式即可求解； N NQPD Q Rt△PNQ PN 2NQ PQ 3NQ NQDQm （3）过点 作 于点 ，在 中，得到 ， ，再设 ， 据此求解即可． 【详解】（1）解：四边形CODP为正方形． 理由：∵AC，BD分别与O相切，∴OC PC，ODPD， ∴OCPODP90， 又∵DPC 90， ∴四边形CODP为矩形， ∵OC OD， ∴四边形CODP为正方形； （2）解：由（1）可知，四边形CODP为正方形， ∴COD90， 902   ∴劣弧 的长 ； CD 180 N NQPD Q （3）解：如图，过点 作 于点 ， 由（1）可知，四边形CODP为正方形， ∴PDOC2，CDP45， ∴NQDQ， Rt△PNQ BPM 30 在 中， ， PN 2NQ PQ 3NQ ∴ ， ， NQDQm PQ 3m PN 2m 设 ，则 ， ． ∵PQDQPD， m 3m2 ∴ ， m 31 解得 ， PN 2m2 32 ∴ ．【点睛】本题是圆的综合题，考查了正方形的判定，切线的性质，直角三角形的性质，弧长公式，正确的 作出辅助线是解题的关键． 15．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）如图，AB是O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分 DAB，ADCD，垂足为D，AD交O于E，连接CE． (1)求出：DC是O的切线； (2)若AB10，DC 4，求AC的长； (3)若E是弧AC的中点，O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 4 5 (2) 25 3 (3) 8 【分析】（1）由AC平分DAB得12，加上13，则23，于是可判断OC∥AD，由于 ADCD，所以OC CD，则可根据切线的判定定理得到CD是O的切线； （2）如图，过点O作OH  AD与H ，根据垂径定理得AH HE，再证明四边形OCDH 为矩形，得到 OH DC 4，HDOC 5，在Rt△AOH 中利用勾股定理计算出AH 3，则AD AH HD8，然后 在RtADC中根据勾股定理可计算出AC的长； OE E AC AECE OAEC （3）如图，连接 ，点 是弧 的中点得到 ，先证明四边形 为菱形，得到 CE AEOC OEOA5 ， S OCE S OAE， △OCE 和 △AOE 为等边三角形，从而得到 S 扇形OCE S 扇形OAE， S S 弓形AE 弓形CE， DCE30 ， 5 5 3 25 3 在 中，可计算出DE ，CD ，所以S  ，然后利用 即可得出结 RtVDCE 2 2 △CDE 8 S 阴影部分 S △CDE论． 【详解】（1）证明：∵AC平分DAB，OAOC， ∴12，13， ∴23， ∴OC∥AD， ∴ADCOCD180， ∵ADCD， ∴ADC 90， ∴OCD180ADC1809090， ∴OC CD， ∴CD为O的切线． （2）解：如图，过点O作OH  AD与H ， ∴AH HE， ∵OC CD，HDCD，OH HD， ∴OHDADCOCD90 ∴四边形OCDH 为矩形， ∵AB10，DC 4， ∴OH DC 4，HDOC 5， 在Rt△AOH 中， ∵OA5，OH 4， AH  OA2OH2  5242 3 ∴ ， ∴AD AH HD358， 在RtADC中， ∵CD4，AD8， AC  CD2AD2  4282 4 5 ∴ ．AC 4 5 ∴ 的长为 ． （3）如图，连接OE， ∵E是弧AC的中点，O的半径为5， AECE ∴ ， ∴2ECA， ∵21， ∴1ECA， ∴EC∥OA， 又∵OC∥ AE， ∴四边形OAEC为平行四边形， ∵OAOC， ∴四边形OAEC为菱形， CE AEOC OEOA5 S S ∴ ， OCE OAE， ∴△OCE和△AOE为等边三角形， ∴AOECOEOCE60， S S ∴ 扇形OCE 扇形OAE， S S ∴ 弓形AE 弓形CE， ∵DCO90， ∴DCE30， 在RtVDCE中，CE5， ∴ DE 1 2 CE 5 2 ， CD CE2DE2  52    5 2    2  5 2 3 ，1 1 5 5 3 25 3 ∴S  DECD    ， △CDE 2 2 2 2 8 25 S S  3 ∴ 阴影部分 △CDE 8 ． 【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的 判定，勾股定理，直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形的 面积，扇形的面积，弓形的面积等知识点，运用了等积变换的思想．根据题意作适当的辅助线是解题的关 键． 16．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，AB是O的切线，B为切点，直线AO交O于 C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、O及BD于点E，F，G． F BD (1)求证： 是 的中点； (2)求证：DE； (3)若F 是OE的中点，O的半径为6，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 9 3 6π (3) 2 【分析】（1）根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理即可得到结论； （2）连接OB，由切线的性质得出EBOE90，由圆周角定理得出DDCB90，证出 BOEOCBBOEOCB，即可得出结论； （3）求出BOG60，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：∵CD为O的直径， CBD90， ∵OEBC， CBDOGD90，即DBOF ， F BD 是 的中点； （2）证明：连接OB， ∵ AB是O的切线， OBE90， EBOE90， ∵CD为O的直径， CBD90， DDCB90， ∵OEBC， BOEOBC， ∵OBOC， OBC OCB， BOEOCB， DE； （3）解：∵F为OE的中点，OBOF ， OF EF 3， OE6， 1 BO OE ， 2 ∵OBE90，E30， BOG60， ∵OGB90， OG3，BG3 3 ， 1 1 9 3 60π62 S  OGBG 33 3 ，S  6π，  BOG 2 2 2 扇形BOF 360 9 3 S S S 6π ．  阴影部分 扇形BOF BOG 2 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、 扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角 定理，是解题的关键．