第21讲利用导数研究函数的极值和最值（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 21 讲 利用导数研究函数的极值和最值
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a
附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b
附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]
上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
b
1、【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值−2，则f' (2)=（ ）
x
1 1
A．−1 B．− C． D．1
2 2
2、【2022年新高考1卷】（多选）已知函数f(x)=x3−x+1，则（ ）
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
3、【2022年全国乙卷】已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大
1 2
值点．若x <x ，则a的取值范围是____________．
1 2
ex
4、【2022年全国甲卷】已知函数f (x)= −lnx+x−a．
x
(1)若f (x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f (x)有两个零点x ,x ，则环x x <1．
1 2 1 2
1
5、【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax− −(a+1)lnx．
x
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
1. (2022·湖南长郡中学高三月考)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
3、.函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( )
A. B.e2 C. D.2e
4、 若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5、已知函数f(x)＝x－sin x，则f(x)在区间[0，π]上的值域为____________.
考向一 利用导数研究函数的极值
例1、已知函数 ，求函数 的极大值与极小值．变式1、已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
变式2、已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，且x＝3是f(x)的极值点，求函数f(x)的极值．
变式3、（2022·重庆八中模拟预测）（多选题）设函数 的定义域为 ， 是 的极小值点，
以下结论一定正确的是（ ）
A． 是 的最小值点
B． 是 的极大值点
C． 是 的极大值点
D． 是 的极大值点
方法总结：(1)求函数 极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数 ；
③解方程 ，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 在 处取极大值，如果左负
右正，那么 在 处取极小值．
(2)若函数 在区间内有极值，那么 在 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
考向二 利用导数研究函数的最值
1
f x x3 x2 ax1
例2、已知函数 2 ．
y  f x  0, f 0
a2
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
 3
2,
（2）若函数 f x在x1处有极小值，求函数 f x 在区间   2  上的最大值．
变式1、已知函数f(x)＝.
(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.
变式2、已知函数f(x)＝excos x－x.
(1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
变式3、设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R).当k∈时，求函数f(x)在区间[0，k]上的最大值M.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
1、若 是函数 的极值点，则 的极小值为
A． B．
C． D．1
2、（2022·重庆·模拟预测）已知 是函数 的极值点，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
3、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）设 是函数 的一个极值点，则 与
的关系为________．
4、（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数 在 处取得极值10，则
___________.
5、（2022·江苏徐州·模拟预测）函数 的最小值为_____________．
6、（2022·江苏·南京市第一中学三模）已知函数 ，则 的最小值为____________．