文档内容
专题 27 投影（4 个知识点 4 种题型 2 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.投影与平行投影（重点）
知识点2.中心投影（重难点）
知识点3.正投影（重难点）
知识点4.平行投影与中心投影的异同（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.中心投影与平行投影的识别
题型2.与平行投影有关的作图和计算问题
题型3.与中心投影有关的作图和计算问题
题型4.利用投影进行测量
【方法三】 仿真实战法
考点1.正投影
考点2.中心投影
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念，能够确定物体在太阳
光下的影子随时间变化的特征
2.能根据光线方向辦别物体的影子，能判断中心投影下物体影子的位置和
大小
3. 了解物体正投彤的形状、大小与它相对的投球面的大小关系，会西物体
的正投城。4.能根据物体的能子判断投影类别,会确定光源类型．
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.投影与平行投影（重点）
1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平
面称为投影面。
2.平行投影的定义
太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影
【例1】（2023·江西九江·九年级统考阶段练习）下列是平行投影的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2.中心投影（重难点）
中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投
影。
【例2】（2023·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
知识点3.正投影（重难点）当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影
【例3】木棒长为1.5m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.5m B．小于1.5m
C．等于1.5m D．小于或等于1.5m
知识点4.平行投影与中心投影的异同（重点）
区别 联系
平行投影 投影线互相平行，形成平行投影 都是物体在光线的照射下，在某
中心投影 投影线集中于一点，形成中心投 个平面内形成的影子（即都是投
影 影）
【例4】（2023下·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．皮影可看成平行投影
B．无影灯（手术用的）是平行投影
C．日食不是太阳光所形成的投影现象
D．月食是太阳光所形成的投影现象
【变式】（2023·全国·九年级专题练习）如图，下列判断正确的是（ ）
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
【方法二】 实例探索法
题型1.中心投影与平行投影的识别
1．（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）A． B．
C． D．
2．（2023·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚这段
时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短
题型2.与平行投影有关的作图和计算问题
3．（2023·江苏盐城·统考三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了
两个实验小组，在某天下午 时，同时进行了两项实验：
实验一：测量高为 竹竿的影长．通过测量发现影长为 ．
实验二：探究长方体的影子．如图 是该长方体在当天下午 时阳光下投影，图 是图 中长方体的俯视图．
(1)该长方体的高 ，宽为 ．
①此时 的影长 为______ ；
②此时测得 ，求 ；
(2)某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图
所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．4．已知：如图， 和 是直立在地面上的两根立柱， ，某一时刻，AB在阳光下的投影
．
(1)请你在图中画出此时 在阳光下的投影；
(2)在测量 的投影长时，同时测出 在阳光下的投影长为 ，请你计算 的长
题型3.与中心投影有关的作图和计算问题
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他
在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下
的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）
(1)说明：王琳站在P处在路灯B下的影子是图中的线段 ；
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；
(3)计算路灯A的高度．6．（2023·安徽宿州·统考一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．
如图1，身高 的小王晚上在路灯灯柱 下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体
做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿
刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线
上，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯 的高，并求影长 的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明
同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并
且边 与点B在同一直线上．测得 ， ， ，小明眼睛到地面的距离为 ，
则树高 为______m．
题型4.利用投影进行测量
7．（2023·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度．在一个阳
光明媚的周末，某一时刻亭子顶端 的影子位于点 处，亮亮站在点 处，测得他的影长 为 米，
同时他的同伴在点 处测得亭子顶端 的仰角为 ．已知亮亮的身高 米， 米，且点 、
、 、 在同一条水平直线上，求亭子的高 ．（结果保留整数）（参考数据：
）8．（2023·陕西渭南·统考一模）位于陕西省渭南市澄城县城以南6公里处的印象古徵民俗文化园将现代都
市生活与田园乡村气息完美结合，原汁原味的关中民俗风情诱惑着一批又一批的人前来游览．某个天气晴
好的周末，欢欢和乐乐两个人去印象古徵民俗文化园游玩，看见园中的一棵大树，于是他们想运用所学知
识测量这棵树的高度．如图，乐乐站在大树 的影子 的末端C处，同一时刻，欢欢在乐乐的影子
的末端E处做上标记，随后两人用尺子测得 米， 米．已知乐乐的身高 米，B、C、
E在一条直线上， ， ．请你运用所学知识，帮助欢欢和乐乐求出这棵大树的高度 ．
【方法三】 仿真实战法
考点1.正投影
1．（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，
点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在 处，点C落在 处， ，
， ．(1)BD的长为______．
(2)如图2，当 时．
①求 的度数；（参考数据： ， ， ， ）
②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．
2．如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P( , ) ，Q( ,
) 是图形 W 上的任意两点，若 的最大值为 m ，则
图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx m ；若 的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的
投影长度为 ly n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx 4 ；在 y 轴上的 投影长度
为 ly 3 ．
（1）已知点 A(1, 2) ， B(2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ，
则 lx ， ly ；
（2）已知点 C ( , 0) ，点 D 在直线 y x 1(x 0) 上，若图形 W 为 OCD ，当 lx ly
时，求点 D 的坐标；
（3 ）若图形 W 为函数 y x 2(a x b) 的图象，其中 (0 a b) ，当该图形满足
lx ly 1时，请直接写出 a 的取值范围．图 1 图 2
考点2.中心投影
3．为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，
发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得
照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前
来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关
联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？
4．（2021·甘肃陇南·统考一模）小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子
顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE＝1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方
向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH＝1.4米，
已知小亮的身高CD＝FG＝1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据
题中提供的相关信息，求出旗杆的高度．
5．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到
D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度
是多少米？
【方法四】 成果评定法一、单选题
1．（2022下·九年级单元测试）拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，正方形纸板在投影面上形成的
投影不可能是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．线段 D．三角形
2．（2022下·九年级单元测试）当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（ ）
A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定
3．（2022下·九年级单元测试）在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．甲的影子比乙的长 B．甲的影子比乙的影子短
C．甲的影子和乙的影子一样长 D．无法判断
4．（2022下·九年级单元测试）晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，
他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
5．（2022下·九年级单元测试）一个正方形的正投影不可能是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点
6．（2023·安徽淮北·统考三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022下·九年级单元测试）下列光源形成的投影不同于其他三种的是（ ）
A．太阳光 B．灯光 C．探照灯光 D．台灯
8．（2022下·九年级单元测试）如图是一天上午不同时刻的烟囱的影子，则它们按时间先后排列为（ ）
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
9．（2022下·九年级单元测试）如图，一块含 角的直角三角形木板 ，将它的直角顶点 放置于直
线上，点 ，点 在直线 上的正投影分别是点 ，点 ，若 ， ，则 在直线 上的正
投影的长是（ ）A． B． C． D．
10．（2023下·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，
若 ，则 （ ）
A．56° B．66° C．72° D．76°
二、填空题
11．（2022下·九年级单元测试）正午时我们在太阳下的影子长度比下午时我们在太阳底下的影子的长度
要 ．（长，短）
12．（2023下·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考阶段练习）如图，在数学实践活动课上，小明同
学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长 的竹竿落在地面上的影长为 ．在同一
时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在
地面上的影长 为 ，落在墙面上的影长 为 ，则这棵树的高度是 ．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一根
旗杆的影长为 ，那么这根旗杆的高度为 m．
14．（2023·湖南长沙·校联考二模）身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到 米， 米，则旗杆的
高度是
15．（2022下·九年级单元测试）如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的
影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为 ．
16．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，同一时刻小诚和大树的影子长分别为
和 ，已知小诚身高 ，则大树的高度为 m．
17．（2023上·福建厦门·九年级厦门市湖滨中学校考阶段练习）如图， 和 是直立在地面上的两根立
柱， ， 在阳光下的影长 ，在同时刻阳光下 的影长 ，则 的长为
米．
18．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组
成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”
的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光
照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显
示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即 ）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影
子所在的直线相交于点 ．此时 与 满足的关系式 ．
三、解答题
19．（2023·陕西咸阳·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度 ，如图，在阳光
下，某一时刻，古树 的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度 米，落在墙上的长度
米，在古树的附近有一棵小树 ，同一时刻，小树的影长 米，小树的高 米．已知点
N，P，B，D在一条水平线上， ， ， ，请求出该古树的高度 ．
20．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上
旗杆 的高度，如图，旗杆 立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端 到升旗台边沿 的距离为 ，
升旗台的台阶所在的斜坡 长为 ，坡角为 ，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面 上
的部分 的长为 ，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长 的标杆的影长为 ，请你帮他们
求出旗杆 的高度. （结果保留一位小数，参考数据： ）21．（2023·上海·九年级假期作业）如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡 上，楼房旁边不远处有一
棵笔直而垂直于水平地面 的大树 ．小智想要测量这棵大树 的高度．在下午的某个时刻，他观察
到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直
于水平地面 的木柱 ，它在水平地面 上的影子 也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：
米， 米， 米， 米，斜坡 的坡度 ， 米．试求大树
的高．
22．（2023上·广东茂名·九年级统考期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆 的高度，如图，他在
某一时刻在地面上竖直立一个2m长的标杆 ，测得其影长 m．(1)请在图中画出此时旗杆 在阳光下的投影 ；
(2)如果 m，求旗杆 的高．
23．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小
组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：
如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为 ．
乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影
长为156cm．
任务要求：
(1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；
(2)如图2，设太阳光线 与 相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长
等于线段 的影长．）（参考数据： ）
24．（2022上·甘肃兰州·九年级兰州十一中校考期末）如图，小亮想利用树影测量树高 ，他在某一时刻测得高为 的竹竿影长为 ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，
有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高 ，又测得地面部分的影长 ，请你帮
助小亮求树高 ．
25．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）操作与研究：如图， 被平行于 的光线照射，
于D， 在投影面上．
(1)指出图中线段 的投影是______，线段 的投影是______．
(2)问题情景：如图1， 中， ， ，我们可以利用 与 相似证明
，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)拓展运用如图2，正方形 的边长为15，点O是对角线 、 的交点，点E在 上，过点C作
，垂足为F，连接 ：
① 试利用射影定理证明 ；
② 若 ，求 的长．
26．（2022上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，身高 米的小明站在 处，路灯底部 到 的距离为米，此时小明的影长 米．
(1)请在图中画出表示路灯高的线段并求出路灯的高度；
