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专题 9.7 一元一次不等式组（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知有理数 ，且 ，则使 始终成立的有理数 的取值
范围是（ ）
A．小于或等于 的有理数 B．小于 的有理数
C．小于或等于 的有理数 D．小于 的有理数
2．（2024·广东中山·一模）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·福建泉州·期中） 的整数解的和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如果不等式 的解集为 ， 则a必须满足（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·河北保定·期中）关于 的不等式组 无解，那么 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在方程组 中，若未知数x、y满足 ，则m的
取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
7．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩
个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列
正确的是（ ）A． B．
C． D．
8．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否 ”
为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东广州·一模）若关于 的一个一元一次不等式组的解集为 ( 为常数且 )，
则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于 的不等式组 的解集中点大于方程
的解且小于方程 的解， 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23七年级下·重庆江津·期中）已知关于x、y的方程组 ，下列结论中正确的个数有
（ ）
① 当 时， 是方程组的解；
② 不存在一个实数 ，使得x、y的值互为相反数；
③ 当方程组的解是 时，方程组 的解为 ；
④ x、y都为自然数的解有3对．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题11．（17-18七年级上·甘肃武威·阶段练习）若 是关于 的一元一次方程，则 的值是
．
12．（17-18七年级下·全国·单元测试）写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组： ．
13．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知不等式组 的解集为 ，则 的值为
14．（2024·四川南充·模拟预测）定义一种新运算： ，例如： ．根据上
述定义，不等式组 的整数解为 ．
15．（23-24七年级下·河南周口·期中）关于x的一元一次不等式组 至少有3个整数解，
求 的取值范围是 ．
16．（23-24七年级下·重庆万州·期中）若关于x，y的二元一次方程组 的解为正数，则满足
条件的所有整数a的和为 ．
17．（2021·山东潍坊·一模）对于实数 ，用 表示不大于 的最大整数，例如 ， ，
，若 ，则 的取值范围 ．
18．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）六一儿童节到了，要把一些苹果分给几个小朋友，如果每人分3
个，那么剩8个；如果每人分5个，那么最后一个小朋友就分不到3个，则共有 个小朋友．
三、解答题
19．（23-24七年级下·福建泉州·期中）解下列不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来：
(1)(2)
20．（23-24八年级下·河北保定·期中） 为平面直角坐标系内的一点．
(1)若点M的横坐标不小于纵坐标，求m的取值范围．
(2)若点M在第三象限，求m的取值范围．
21．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于 、 的方程组满足 ，且它的解 为负数，
为正数．
(1)试用含 的式子表示方程组的解，并求出实数 的取值范围．
(2)在（1）的条件下，化简 ．
22．（23-24八年级下·广东茂名·期中）感知：解不等式 ．根据两数相除，同号得正，异号得负，
得不等式组① 或不等式组 不等式组①，得 ；解不等式组②，得 ，所以原不
等式的解集为 或 ．
(1)探究：解不等式 ．
(2)应用：解不等式 ．
23．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）百果园李老板在德昌旅游时发现这里的水果极其丰富，尤其是春
节期间的草莓更是物美价廉．他在一家水果店前驻足观察到，一位客人买了 斤中果草莓和 斤大果草莓
共花费 元，另一位客人买了 斤中果草莓和5斤大果草莓花费 元．
(1)请问在德昌中果草莓和大果草莓每斤各多少元？
(2)在重庆，中果草莓每斤 元，大果草莓每斤 元，如果在德昌这个店购买然后运回重庆销售，有一定
利润．经了解：重庆到德昌 公里，一辆载重 斤的卡车满载的时候运输费用为每公里 元，现计划
购买中果和大果草莓共 斤，在运输以及销售过程中大果和中果草莓损耗各 ．如果大果购买重量
与中果购买重量之差不超过 斤，那么当总利润不低于 元且水果重量均为整数时，请问有哪几种
购买方案？24．（22-23七年级下·河南南阳·期中）阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题．
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问
题：
已知实数x、y满足 ， ，求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思
路运算量比较大．
其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由
可得 ，由 可得 ． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
请运用上述“整体思想”解决下列问题：
迁移应用：
已知关于x，y的方程组： (m是常数)．
（1）若 ，求m的值；
（2）若 ，求m的取值范围．
拓展探究：
七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡
皮、3本日记本共需 58元，则购买1支铅笔、 1块橡皮、1本日记本共需多少元?并说明理由．参考答案：
1．C
【分析】根据绝对值的定义先求出 的取值范围，再根据 始终成立，求出 的取值范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 始终成立，
∴ 的取值范围是小于或等于 的有理数．
故选： ．
【点拨】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查不等式组的解法、不等式组解集在数轴上的表示．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
该解集在数轴上表示为：
．
故选：A
3．B
【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而确定整数解，再求和即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 ，即： 时， ，解得： ，
当 ，即： 时， ，解得： ，
∴ 的整数解为： ， ；故选B．
4．B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
首先确定 ，那么系数化1时得到 或 ，由不等号方向发生改变确定 ，即可求解．
【详解】解：∵不等式 的解集为
∴ ，
解得 ．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的解集，由不等式组无解可得 与 的大小关系，即可
求解．
【详解】解：∵ 的不等式组 无解，
∴ ，
故选：D．
6．C
【分析】将方程组中的两个方程相加可得： 进而得到 ，然后再结合 即可
解答；掌握整体思想是解题的关键．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得： ，
则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故选：C．
7．C
【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩 个苹果，且小朋友的人数为 ”，可得出这箱苹果共
个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于 的
一元一次不等式组，此题得解．【详解】解： 每位小朋友分5个苹果，则还剩 个苹果，且小朋友的人数为 ，
这箱苹果共 个，
每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组
是解题关键．
8．C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．
根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可求出 的取值范围．
【详解】解：依题意得： ，
解得： ，
的取值范围是 ．
故选：C．
9．A
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组 的解集、方程
的解和方程 的解，再根据关于 的不等式组 的解集中点大于方程
的解且小于方程 的解，即可得到 的取值范围，解题的关键是熟练掌握解一元
一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法．
【详解】由 可得： ，方程 的解为 ，
方程 的解为 ，
∵关于 的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程 的解，
∴ ，
解得 ，
故选： ．
10．B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，
①把 代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到 ，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③ 的各项和原方程成比例，故可得方程 ，即可解答；
④用 表示 ，可得一元一次不等式组，再根据 的取值范围，即可解答，
熟知方程的各项成比例时，两个方程的解相同，是解题的关键．
【详解】解：当 时，原方程为 ，解得 ，故①错误；
x、y的值互为相反数时，可得 ，可得方程 ，方程无解，故②正确；
的各项和原方程成比例，故可得 ，解得
，故③正确；
解 ，可得 ，当 为自然数时，可得 ，解得 且 为奇数，故，即x、y都为自然数的解有4对，故④错误；
故选：B．
11．-2
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m的方程组求解即可．
【详解】解：∵
∴ ，解得m=-2．
故答案为-2．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程的定义列出关于m的
方程组成为解答本题的关键．
12． （答案不唯一）
【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知
只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可．
【详解】根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ．注意答案不唯一．
故答案为 此题答案不唯一．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的简便求法就是用
口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大
小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
13．1
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得
， ，即可求出a，b的值，最后再代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解： ，解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为： ，
该不等式组的解集为 ，
， ，
， ，
，
故答案为：1．
14． ，0，1
【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解以及有理数的混合运算，根据 ，可以将不等
式组 转化为 ，然后求解即可．
【详解】由题意可得，
不等式组 转化为 ，
解得 ．
所以不等式组 的整数解为 ，0，1．
故答案为： ，0，1．
15．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组至少有3个整数解，
即可求解 的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得：解不等式②得：
∵不等式组至少有3个整数解，
∴
∴
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到 ，再根据方程组的
解为正数，得到 ，据此求出 ，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可．
【详解】解：
得： ，
把 代入①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ，
∵方程组的解为正数，
∴ ，
解得 ，
∴满足条件的所有整数a有4、5、6，
∴满足条件的所有整数a的和为 ，
故答案为： ．
17．
【分析】根据 表示不大于 的最大整数可列不等式 ，解不等式即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查新定义最大整数问题，掌握 表示不大于 的最大整数的定义，抓住 是
解题关键．
18．6
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解题关键．设有 个
小朋友，根据题意列出一元一次不等式组并求解，即可获得答案．
【详解】解：设有 个小朋友，
根据题意，可得 ，
解得 ，
因为 为整数，
所以 ，
所以，共有6个小朋友．
故答案为：6．
19．(1) ，表示解集见解析；
(2) ，表示解集见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集，能求出不等式或
不等式组的解集，是解此题的关键．
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，从而表示解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可，从而表示解集即可．
【详解】（1）解：
去分母得，
去括号得， ，
移项得， ，合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
在数轴上表示为：
（2）解： ，
由①得， ，
由②得， ，
故此不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标及一元一次不等
式的解法是解决本题的关键．
（1）根据题意列出不等式求解即可；
（2）点M在第三象限，说明该点的横坐标和纵坐标均为负数，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得
解得 ．
（2）由题意，得
解得 ．
21．(1) ，
(2)3【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组、化简绝对值；
（1）利用加减消元法求解，进而根据“ 为负数， 为正数”列不等式组并求解即可；
（2）根据（1）的结果可得 ， ，然后结合绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解：
解得：
∵ 为负数， 为正数．
∴
解得：
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴
．
22．(1) 或
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是读懂题目中举的例子，根据举例即可解答本
题．
（1）先把不等式转化为两个不等式组 或 ，然后通过解不等式组求解即可；
（2）根据题意先把不等式转化为两个不等式组 或 ，然后通过解不等式组求解即可．
【详解】（1）根据题意原不等式可化为不等式组① 或②{
解不等式组①， ．
解不等式组②，得： ．
所以原不等式的解集为 或 ．
（2）应用：原不等式可化为不等式组：
① 或② ，
解不等式组①得：不等式组无解，
解不等式组②得： ．
故答案为 ．
23．(1)在德昌中果草莓每斤 元，大果草莓每斤 元；
(2)第一种：购买 斤中果草莓， 斤大果草莓；第二种：购买 斤中果草莓， 斤大果草莓；
第三种：购买 斤中果草莓， 斤大果草莓．
【分析】（ ）设在德昌中果草莓每斤 元，大果草莓每斤 元，根据题意，列出方程组即可求解；
（ ）设购买了 斤中果草莓，则购买了 斤大果草莓，根据题意，列出不等式组求出 的取值范
围，再根据 为整数即可求解；
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次
不等式组是解题的关键．
【详解】（1）解：设在德昌中果草莓每斤 元，大果草莓每斤 元，
由题意可得， ，
解得 ，
答：在德昌中果草莓每斤 元，大果草莓每斤 元；
（2）解：设购买了 斤中果草莓，则购买了 斤大果草莓，由题意可得， ，
解得 ，
∵ 为整数，
∴ 或 或 ，
∴有三种购买方案：
第一种：购买 斤中果草莓， 斤大果草莓；
第二种：购买 斤中果草莓， 斤大果草莓；
第三种：购买 斤中果草莓， 斤大果草莓．
24．迁移应用：（1） ；（2） ；拓展探究： 元，理由见解析
【分析】迁移应用：（1）根据 ,得： ，求出 ，根据 ，得出
，求出m的值即可；
（2）根据 ,得： ，得出 ，从而得出 ，解m的不等式组
即可；
拓展探究：设购买 1支铅笔需a元，1块橡皮需 b元，1本日记本需c元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2
本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58元，列出方程组，解方程组即可．
【详解】迁移应用：
解: ，
,得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；,得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
拓展探究：
解： 购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元
理由如下：
设购买 1支铅笔需a元，1块橡皮需 b元，1本日记本需c元，
由题意得：
得： ，
所以购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元
【点拨】本题主要考查了整体思想解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是熟练掌握整体思想，根
据等量关系列出方程组．
