文档内容
一、单选题
1．下列条件能说明OC是∠AOB平分线的是（ ）.
A．∠AOC＝ ∠AOB B．∠BOC＝ ∠AOB C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC
2．如图，在 中， ， 于点 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，OP平分∠AOB，点C，D分别在射线OA，OB上，添加下列条件，不能判定 POC≌△POD的是（
） △
A．OC＝OD B．∠CPO＝∠DPO
C．PC＝PD D．PC⊥OA，PD⊥OB
4．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAB=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
5．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是
∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确
6．如图， ABC 中，点 E，F，G 分别在 BC，AC，AB 上，AE 与 BF 交于点 O，且点 O 在 CG 上，根据尺
规作图的痕△迹，判断下列说法不正确的是（ ）
A．AE，BF 是 ABC 的角平分线 B．点 O 到 ABC 三边的距离相等
C．CG 也是 A△BC 的一条角平分线 D．AO＝BO＝△CO
7．如图，△A△BC的外角∠BCD，∠CBE的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是（ ）
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC D．以上结论都正确
8．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：①DE=DF；①AD平分∠BAC；
③AE=AD；④AB+AC=2AE．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图， 的外角 的平分线 相交于点 ， 于 ， 于 ，下列
结论：（1） ；（2）点 在 的平分线上；（3） ，其中正确的有 （ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，已知 ， ， ， ， 和 交于点 ，则下列结论：①
；② ：③ 平分 ；④ .其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
11．三角形内到三条边距离相等的点是三条_____线的交点．
12．如图,已知BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，连接AD，∠DAC=46°, ∠BDC _________
13．如图， ， 是 、 的角平分线交点， 是 、 外角平分线交点，则
______ ， _____ ，联结 ，则 ______ ，点 ____（选填“在”、“不在”或
“不一定在”）直线 上．
14．如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝_______cm时点P在∠AOB的平分线上．
15．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝_________
三、解答题
16．如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD，试说明:∠BAP+∠BCP=180°.
17．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系，并说明理由．
18．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：
（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）19．如图，在 中， 的平分线与 的外角的平分线相交于点 ，连接
（1）求证： 平分 的外角 ；
（2）过点 作 ， 是垂足，并延长 交 于点 ．求证： .
20．如图，BD=CD，∠ABD=∠ACD=90°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分∠BEF．
（1）求证：FD平分∠EFC．
（2）若EF=4，AF=6，AE=5，求 BE和CF的和的长．
21．如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请说明为何四边形
AECF的面积为四边形ABCD的一半.参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由OC是∠AOB平分线得∠AOC＝∠BOC= ∠AOB即可判断.
【详解】
∵OC是∠AOB平分线得∠AOC＝∠BOC= ∠AOB，
∴A. ∠AOC＝ ∠AOB 、B. ∠BOC＝ ∠AOB、C. ∠AOB＝2∠BOC不足以说明OC是∠AOB平分线，故选D.
【点睛】
此题主要考察角平分线的判定.
2．D
【解析】
【分析】
根据角平分线的判定可知，BD平分∠ABC，根据已知条件可求出∠A的度数．
【详解】
解：∵ ， ，且
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查角平分线的判定及三角形角度计算问题，理解角平分线的判定条件是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【详解】∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，而OP是公共边，
A、添加OC＝OD可以利用“SAS”判定 POC≌△POD，
B、添加∠OPC＝∠OPD可以利用“AS△A”判定 POC≌△POD，
C、添加PC＝PD符合“边边角”，不能判定 P△OC≌△POD，
D、添加PC⊥OA，PD⊥OB可以利用“AAS”△判定 POC≌△POD，
故选：C． △
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”可判断AD平分∠BAC，即可求解．
【详解】
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC，
∵∠BAD=25°，
∴∠CAB=2∠BAD=50°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理的运用．解题的关键是证得AD是∠BAC的角平分线．
5．B
【解析】
【分析】
过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在
这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.
【详解】
如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选B.
【点睛】
本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题
关键.
6．D
【解析】
【分析】
根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．
【详解】
A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF是△ABC的内角平分线，正确；
B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点O到△ABC三边的距离相等，正确；
C、根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，所以CG也是△ABC的一条内角平分线，正确
D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项D不正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了基本作图−角的平分线、角平分线的性质，明确三角形的角平分线交于同一点，且交点到三边的距离相
等．
7．B
【解析】
【分析】
过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，利用角平分线性质得EF=GF，GF=DF，故
EF=DF，由逆定理可得AF平分∠BAC．
【详解】
过F点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、D，
∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，
∴EF=GF，GF=DF，
∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．
故选B
【点睛】
本题考核知识点：角平分线性质. 解题关键点：熟记角平分线性质.
8．C
【解析】
【分析】
根据HL定理证明Rt△BDE≌Rt△CDF得出对应边DE=DF，进一步得出AD平分∠BAC，①②正确；再根据直角
三角形斜边大于直角边得出AE>AD，③错误；最后利用全等三角形性质进一步证明④即可.
【详解】
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∵BD=CD，BE=CF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，即①正确，
又∵∠E=∠DFC=90°，
∴AD平分∠BAC，即②正确，
在Rt△AED中，
∵AE为直角边，AD为斜边，
∴AE>AD，即③错误，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∵BE=CF，∴AB+AC=AB+AF+CF= AB+AF+BE=AE+AF=2AE，即④正确，
综上所述，共有三个正确，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直角三角形全等的判定与角平分线的证明，熟练掌握相关概念是解题关键.
9．C
【解析】
【分析】
过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到 ，可判断（1）（2）正确；由
， ，得到 ，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P作PG⊥AB，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
∵ ，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
10．C【解析】
【分析】
如图先证明 ABE≌△AFC，得到BE=CF，S =S ，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分
ABE AFC
△ △
∠EOF，再利△用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题．
【详解】
解：∵△ABF和 ACE是等边三角形，
∴AB=AF，AC=△AE，∠FAB=∠EAC=60°，
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠FAC=∠BAE，
在 ABE与 AFC中，
△ △
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE=FC，故①正确，∠AEB=∠ACF，
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO
∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB，
∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故④正确，
连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，
∵△ABE≌△AFC，
∴S =S ，
ABE AFC
△ △
∴ .∴ ，故 平分 ，故③对.
∵∠AMO=∠MOB+∠ABE=60°+∠ABE，∠ANO=∠CON+∠ACF=60°+∠ACF，
显然∠ABE与∠ACF不一定相等，
∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误，
综上所述正确的有：①③④．
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相
等证明高相等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
11．角平分
【解析】
【分析】
根据题意画一个三角形，在三角形内找一点O，过点O作到三边的距离，根据到角两边的距离相等点在角平分线上
得出答案
【详解】
如图:
OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF，所以O在∠A的平分线上，同理O在∠B的平分线上，O在
∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点
【点睛】
本题的关键是利用角平分线的判定定理解答
12．44°
【解析】
如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，过点D作DH⊥AC于点H，过点D作DG⊥BA，交BC的延长线
于点G，
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，
∴DF=DG=DH，
∵DH⊥AC，DF⊥BA，
∴AD平分∠CAF，
∴∠DAC=∠FAD=46°,
∴∠BAC=180°-46°-46°=88°；
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠DCE= ，∠DBC= ，
∵∠DCE=∠BDC+∠DBC，∠ACE=
∴∠BDC+∠DBC= （∠BAC+∠ABC），
∴∠BDC= ∠BAC= .
13．116 64 26 在
【解析】
【分析】
∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），据此可
求∠BOC的度数；
∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；
作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP平分
∠BAC，据此可求∠PAB的度数；
同理可证OA平分∠BAC，故点 在直线 上．
【详解】
解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）
= （180°-∠A）
=90°- ∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+ ∠A
=90°+ ∠A
=90°+26°
=116°；
如图，
∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP= ∠BCE= （∠A+∠ABC），
∠PBC= ∠CBF= （∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- （∠A+180°）
=90°- ∠A
=90°-26°
=64°．
如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，
∴PG=PK，PK=PH，
∴PG=PH，
∴AP平分∠BAC，
∴ 26°
同理可证OA平分∠BAC，
点 在直线 上．
故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．
14．3
【解析】
试题分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知PD=PC=3cm．
15．90°
【解析】
试题分析：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，根据平行线的性质可得：
∠ABC+∠BCD=180°，则∠PBC+∠PCB=90°，则∠P=90°．
16．见解析
【解析】
作PE垂直于AB于E，根据角平分线的性质可知PD=PE，HL定理可知 PBD≌△PBE，可得BD=BE，根据题中线
段和差的关系，可得 PAE≌△PCD，所以可知∠PAE=∠PCD，根据∠P△AE+∠PAB=180°，即可证明题中关系.
证明：如图，过点P△作PE⊥BA于E.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，∴PD=PE.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，
∴△BPD≌△BPE.
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，
∴AE=CD.
∵PD=PE，AE=CD，PD⊥BC，PE⊥BM，
∴△PCD≌△PAE，
∴∠PCB=∠PAE.
∵∠BAP+∠PAE=180°，
∴∠BAP+∠PCB=180°.
点睛：本题考查了角平分线的性质和线段和差，三角形全等的判定及性质.解题的关键在于要利用角平分线的性质
及线段的和差来证明全等
17．（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故
AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【详解】
证明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵在Rt△BDE与Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．
18．（1）是，详见解析；（2）是，详见解析；（3）90°；（4）是，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由四边形 与 是正方形，可得 ， ， ，进而得出
，然后由边角边即可判定 ；
（2）根据全等三角形的性质则可证得 ；
（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是 ；
（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．
【详解】
解：（1）结论：成立
证明：∵ 和 是正方形
∴ ， ，且
∴
在 与 中
∴ ；（2）结论：
证明：∵
∴ ；
（3） 与 交点为 ，如图：
∵
∴
∵
∴
∴
∴ 和 的夹角为 ；
（4）结论： 平分
证明：过点 作 ， ，如图：
∵
∴
∴∵
∴
∵ ，
∴ 平分 ．
由勾股定理可得：AC2+GE2=AE2+CG2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、角的和差、三角形的面积、角平分线的判定、
三角形的内角和等知识点，体现了逻辑推理的核心素养，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，再根据角平分线的
判定即可得出结论；
（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．
【详解】
证明：（1）过 作 于 ， 于 ， 于 ，
∵在 中， 的平分线与 的外角的平分线相交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
即 平分 的外角 ；
（2）∵ 平分 的外角 ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
在 和 中，
，
∴ （ASA），
∴ ．
【点睛】
本题考查了角平分线性质与判定和全等三角形的性质和判定，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出
PQ=PS和△AED≌△AEC．
20．（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）过D作DM⊥EF，已知ED平分∠BEF，根据角平分线的性质定理可得BD=DM，又因BD=CD，
可得DC=DM，根据角平分线的判定定理即可得FD平分∠EFC；（2）因为ED平分∠BEF，即可得
∠BDE=∠MDE，利用SAS即可判定△BDE≌△MDE，根据全等三角形的性质即可得EB=EM，同理即可证得
CF=MF，根据EF=BE+CF即可求得EF的长．
试题解析：
证明：（1）过D作DM⊥EF，
∵ED平分∠BEF，
∴BD=DM，
∵BD=CD，
∴DC=DM，
∴FD平分∠EFC；
（2）∵ED平分∠BEF，
∴∠BDE=∠MDE，在 BDE和 MDE中， ，
△ △
∴△BDE≌△MDE（SAS），
∴EB=EM，
同理CF=MF，
∴EF=BE+CF=4．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
本题的关键．
21．见解析
【解析】
先作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,利用角平分线的性质得出CG=CH，再利用面积间的等量代换即可推出结论.
证明：如图,作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,
因为AC为∠BAD的平分线,
所以CG=CH.
因为AB=AD,
所以S =S .
ABC ACD
△ △
又因为AE=DF,
所以S =S .
AEC CDF
△ △
因为S =S -S ,S =S -S ,
BCE ABC AEC ACF ACD CDF
△ △ △ △ △ △
所以S =S .
BCE ACF
△ △
因为S =S +S ,
四边形AECF AEC ACF
△ △
所以S =S +S .
四边形AECF AEC BCE
△ △
所以S =S .
四边形AECF ABC
△
所以四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
