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2021年贵州省贵阳市中考数学试卷
一、选择题:以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔
在答题卡相应位置作答,每小题3分,共36分.
1．在﹣1，0，1， 四个实数中，大于1的实数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
2．下列几何体中，圆柱体是（ ）
A． B． C． D．
3．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交
水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活 80000000人．将80000000这个数
用科学记数法可表示为8×10n，则n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相
同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（
）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
6．今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁
毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是
85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）
A．小红的分数比小星的分数低
B．小红的分数比小星的分数高
C．小红的分数与小星的分数相同
D．小红的分数可能比小星的分数高
7．如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．则b的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b
9．如图， O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是
（ ）⊙
A．144° B．130° C．129° D．108°
10．已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B
两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1）
11．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，
若AB＝3，▱AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．312．小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线y＝
k x+b （n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k ＝k ，b ＝b ＝b ，则他探究这7条直线的
n n 1 2 3 4 5
交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
二、填空题:每小题4分,共16分
13．（4分）二次函数y＝x2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），
点B的坐标是（0，1），且BC＝ ，则点A的坐标是 ．
15．（4分）贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，
并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同
一组的概率是 ．
16．（4分）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶
点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大
的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是
．
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12分）（1）有三个不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，请在其中任选两
个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步
＝a+a2﹣a2﹣1……第二步
＝a﹣1……第三步
小红的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．18．（10分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变
化情况，根据贵州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表．请利用统计图表提供
的信息回答下列问题：
贵州省历次人口普查城镇人口统计表
年份 1953 1961 1982 1990 2000 2010 2020
城镇人口（万 110 204 540 635 845 1175 2050
人）
城镇化率 7% 12% 19% 20% 24% a 53%
（1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是 万人；
（2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的
一个指标．根据统计图表提供的信息，我省2010年的城镇化率a是 （结果
精确到1%）；假设未来几年我省城乡总人口数与2020年相同，城镇化率要达到60%，
则需从乡村迁入城镇的人口数量是 万人（结果保留整数）；
（3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势．
19．（10分）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为
N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．20．（10分）如图，一次函数 y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数 y＝ （m﹣
1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC ＝
3．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝2 ，求一次函数的表达式．
21．（10分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人
机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无
人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，
他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C
在同一平面内）． α
（1）求仰角 的正弦值；
（2）求B，Cα两点之间的距离（结果精确到1m）．
（ sin63°≈ 0.89 ， cos63°≈ 0.45 ， tan63°≈ 1.96 ， sin27°≈ 0.45 ， cos27°≈ 0.89 ，
tan27°≈0.51）22．（10分）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”
文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司
制作每件产品所需时间和利润如表：
产品 展板 宣传册 横幅
制作一件产品所需时间 1
（小时）
制作一件产品所获利润 20 3 10
（元）
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横
幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最
小值．
23．（12分）如图，在 O中，AC为 O的直径，AB为 O的弦，点E是 的中点，过
点E作AB的垂线，交⊙AB于点M，交⊙ O于点N，分别⊙连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 ⊙ ；
（2）求证： ＝ ；
（3）若AM＝ ，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
24．（12分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为
抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是
4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥
下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头
顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下
方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移
m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，
结合函数图象，求m的取值范围．
25．（12分）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心
O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以
AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别
向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长
为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝ ，当角 （0°＜ ＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出
该关系式及解答过程（αb与c的关α 系式用α含n的式子表示）．2021年贵州省贵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:以下每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔
在答题卡相应位置作答,每小题3分,共36分.
1．在﹣1，0，1， 四个实数中，大于1的实数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
【解答】解：∵﹣1是负数，
∴﹣1＜1，
∵0＜1， ≈1.414，
∴大于1的实数是 ．
故选：D．
2．下列几何体中，圆柱体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等
的特征解答即可．
【解答】解：A、这个几何体是圆锥，故本选项不符合题意；
B、这个几何体是圆台，故本选项不符合题意；
C、这个几何体是圆柱，故本选项符合题意；
D、这个几何体是棱台，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交
水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活 80000000人．将80000000这个数
用科学记数法可表示为8×10n，则n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵80000000＝8×107，
∴n＝7，
故选：B．
4．“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相
同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（
）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【解答】解：根据题意可得，x的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码
小于5”是必然事件相违背．
故选：A．
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【分析】根据同分母的分式加减的法则计算，分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式＝ ＝1，
故选：C．
6．今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁
毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是
85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）
A．小红的分数比小星的分数低
B．小红的分数比小星的分数高
C．小红的分数与小星的分数相同
D．小红的分数可能比小星的分数高
【分析】根据平均数的定义进行分析即可求解．
【解答】解：根据平均数的定义可知，已知小红所在班级学生的平均成绩是80分，小
星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，
小红的分数可能高于80分，或等于80分，也可能低于80分，小星的分数可能高于85
分，或等于85分，也可能低于85分，所以上列说法比较合理的是小红的分数可能比小星的分数高．
故选：D．
7．如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用基本作图得到b＞ AB，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得b＞ AB，
即b＞3，
故选：D．
8．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（ ）
A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b
【分析】根据各点在数轴上的位置，利用绝对值的性质，把|b|，|a|化简即可．
【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝b，
∴|b|﹣|a|＝b+a，
故选：C．
9．如图， O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是
（ ）⊙A．144° B．130° C．129° D．108°
【分析】先根据五边形的内角和求∠E＝∠D＝108°，由切线的性质得：∠OAE＝
∠OCD＝90°，最后利用五边形的内角和相减可得结论．
【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与 O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD⊙＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
10．已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B
两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1）
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原
点对称．
【解答】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是（1，2），
∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：C．
11．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，
若AB＝3，▱AD＝4，则EF的长是（ ）A．1 B．2 C．2.5 D．3
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然
后可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
12．小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线y＝
k x+b （n＝1，2，3，4，5，6，7），其中k ＝k ，b ＝b ＝b ，则他探究这7条直线的
n n 1 2 3 4 5
交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【分析】由k ＝k 得前两条直线无交点，b ＝b ＝b 得第三到五条有1个交点，然后第6
1 2 3 4 5
条线与前5条线最多有5个交点，第7条线与前6条线最多有6个交点求解．
【解答】解：∵k ＝k ，b ＝b ＝b ，
1 2 3 4 5
∴直线y＝k x+b （n＝1，2，3，4，5）中，
n n
直线y＝k x+b 与y＝k x+b 无交点，y＝k x+b 与y＝k x+b 与y＝k x+b 有1个交点，
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
∴直线y＝k x+b （n＝1，2，3，4，5）最多有交点2×3+1＝7个，
n n
第6条线与前5条线最多有5个交点，
第7条线与前6条线最多有6个交点，∴交点个数最多为7+5+6＝18．
故选：B．
二、填空题:每小题4分,共16分
13．（4分）二次函数y＝x2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下”）．
【分析】由二次函数图象开口方向和系数a之间的关系得出结论．
【解答】解：由y＝x2得：a＞0，
∴二次函数图象开口向上．
故答案为：向上．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），
点B的坐标是（0，1），且BC＝ ，则点A的坐标是 （ 2 ， 0 ） ．
【分析】根据菱形性质得OC的长，因而得点C的坐标，根据对称性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝ ，
∴OC＝ ＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵OA与OC关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
15．（4分）贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，
并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有 4
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
16．（4分）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶
点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大
的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 2 ﹣ 2
， 2 ．
【分析】设△DEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点必落
在正方形的三条边上，所以令 F、G两点在正方形的一组对边上，作 FG边上的高为
EK，垂足为K，连接KA，KD，可证E、K、D、G四点共圆，则∠KDE＝∠KGE＝
60°，同理∠KAE＝60°，可证△KAD也是一个正三角形，则K必为一个定点，再分别求
边长的最大值与最小值．
【解答】解：如图，设△DEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，
作正△DEF的高EK，连接KA，KD，
∵∠EKG＝∠EDG＝90°，
∴E、K、D、G四点共圆，
∴∠KDE＝∠KGE＝60°，
同理∠KAE＝60°，
∴△KAD是一个正三角形，
则K必为一个定点，
∵正三角形面积取决于它的边长，∴当FG⊥AB，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，
当FG过B点时，即F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，
此时作KH⊥BC于H，
由等边三角形的性质可知，
K为FG的中点，
∵KH∥CD，
∴KH为三角形F'CG'的中位线，
∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2 ，
∴F'G'＝ ＝ ＝ ＝2 ﹣2 ，
故答案为：2 ﹣2 ，2．
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12分）（1）有三个不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，请在其中任选两
个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；
（2）小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：
a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣1）……第一步
＝a+a2﹣a2﹣1……第二步
＝a﹣1……第三步
小红的解答从第 一 步开始出错，请写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据题意，挑选两个不等式，组成不等式组．然后解之即可．
（2）应用完全平方公式错误．
【解答】（1）解：第一种组合： ，解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＜﹣3
∴原不等式组的解集是x＜﹣3；
第二种组合： ，
解不等式①，得x＜﹣2，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
第三种组合： ，
解不等式①，得x＜﹣3，
解不等式②，得x＞3，
∴原不等式组无解；
（任选其中一种组合即可）；
（2）一，
解：a（1+a）﹣（a﹣1）2
＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）
＝a+a2﹣a2+2a﹣1
＝3a﹣1．
故答案为一．
18．（10分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变
化情况，根据贵州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表．请利用统计图表提供
的信息回答下列问题：贵州省历次人口普查城镇人口统计表
年份 1953 1961 1982 1990 2000 2010 2020
城镇人口（万 110 204 540 635 845 1175 2050
人）
城镇化率 7% 12% 19% 20% 24% a 53%
（1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是 230 0 万人；
（2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的
一个指标．根据统计图表提供的信息，我省2010年的城镇化率a是 34% （结果精
确到1%）；假设未来几年我省城乡总人口数与2020年相同，城镇化率要达到60%，则
需从乡村迁入城镇的人口数量是 27 1 万人（结果保留整数）；
（3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势．
【分析】（1）根据中位数的定义即可解答．
（2）用2010年的城镇人口数除以2010年的人口总数可得2010年的城镇化率a，用
2020我省城乡总人口数乘以60%减去现有城镇人口数即可解答．
（3）根据表格中的城镇化率即可解答．
【解答】解：（1）这七次人口普查乡村人口数从小到大排列为：1391，1511，1818，
2300，2315，2616，2680，
∴中位数是第四个数2300，
故答案为：2300；
（2）1175÷（2300+1175）×100%≈34%，
（2050+1818）×60%﹣2050≈271（万人），故答案为：34%，271；
（3）随着年份的增加，城镇化率越来越高．
19．（10分）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为
N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两队相等的角，利用
AAS证得两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求得AD＝BN＝2，AN＝4，从而利用勾股定理求得AB的长，
利用S四边形BCMN ＝S矩形ABCD ﹣S△ABN ﹣S△MAD 求得答案即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△MAD和△ABN中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝ ＝ ＝2 ，
∴S矩形ABCD ＝2×2 ＝4 ，S△ABN ＝S△MAD ＝ ×2×4＝4，∴S四边形BCMN ＝S矩形ABCD ﹣S△ABN ﹣S△MAD ＝4 ﹣8．
20．（10分）如图，一次函数 y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数 y＝ （m﹣
1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC ＝
3．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝2 ，求一次函数的表达式．
【分析】（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，所以x＝2，得到A（2，0），设C（a，b），因
为BC⊥y轴，所以B（0，b），BC＝﹣a，因为△ABC的面积为3，列出方程得到ab＝
﹣6，所以m﹣1＝﹣6，所以m＝﹣5；
（2）因为AB＝2 ，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出方程，得到b2+4＝8，
得到b＝2，从而C（﹣3，2），将C坐标代入到一次函数中即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
设C（a，b），
∵CB⊥y轴，
∴B（0，b），
∴BC＝﹣a，
∵S△ABC ＝3，
∴ ，
∴ab＝﹣6，
∴m﹣1＝ab＝﹣6，∴m＝﹣5，
即A（2，0），m＝﹣5；
（2）在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∵ ，
∴b2+4＝8，
∴b2＝4，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2，
∴a＝﹣3，
∴C（﹣3，2），
将C代入到直线解析式中得k＝ ，
∴一次函数的表达式为 ．
21．（10分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人
机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无
人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，
他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C
在同一平面内）． α
（1）求仰角 的正弦值；
（2）求B，Cα两点之间的距离（结果精确到1m）．
（ sin63°≈ 0.89 ， cos63°≈ 0.45 ， tan63°≈ 1.96 ， sin27°≈ 0.45 ， cos27°≈ 0.89 ，
tan27°≈0.51）
【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形
BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正切的定义求解；（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，
然后计算BD+CD即可．
【解答】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF＝ ＝ ＝ ，
即sin ＝ ．
α
答：仰角 的正弦值为 ；
α
（2）在Rt△AEF中，EF＝ ＝ ＝30（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，
∵tan∠ACD＝ ，
∴CD＝ ＝ ≈21.22（m），
∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．
答：B，C两点之间的距离约为51m．
22．（10分）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”
文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司
制作每件产品所需时间和利润如表：
产品 展板 宣传册 横幅
制作一件产品所需时间 1
（小时）制作一件产品所获利润 20 3 10
（元）
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横
幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最
小值．
【分析】（1）设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为5x件，根据
题意列出二元一次方程组即可；
（2）根据三种产品的利润之和等于700列出函数关系式，然后根据一次函数的性质求
出最小值．
【解答】解：（1）设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为5x件，
由题意得： ，
解得： ，
答：制作展板数量10件，宣传册数量50件，横幅数量10件；
（2）设制作种产品总量为w件，展板数量m件，则宣传册数量5m件，横幅数量（w﹣
6m）件，
由题意得：20m+3×5m+10（w﹣6m）＝700，
解得：w＝ m+70，
∴w是m的一次函数，
∵k＝ ，
∴w随m的增加而增加，
∵三种产品均有制作，且w，m均为正整数，
∴当m＝2时，w有最小值，则w ＝75，
min
答：制作三种产品总量的最小值为75件．
23．（12分）如图，在 O中，AC为 O的直径，AB为 O的弦，点E是 的中点，过
点E作AB的垂线，交⊙AB于点M，交⊙ O于点N，分别⊙连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 BE ＝ ⊙ EM ；（2）求证： ＝ ；
（3）若AM＝ ，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到 ＝ ，
根据题意得到 ＝ ，进一步得到 ＝ ；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角
形，则OE＝BE＝ ，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面
积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为 O的直径，点E是 的中点，
∴∠ABE＝45°， ⊙
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝ EM，
故答案为BE＝ EM；
（2）连接EO，AC是 O的直径，E是 的中点，
∴∠AOE＝90°， ⊙
∴∠ABE＝ ∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴ ＝ ，
∵点E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝ EM，
∴BE＝ ，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝ ，
∴tan∠EAB＝ ＝ ，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝ ∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝ ，
又∵ ＝ ，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN ＝ ＝ ，S△OCN ＝ CN• CN＝ × ＝
，
∴S阴影 ＝S扇形OCN ﹣S△OCN ＝ ﹣ ．24．（12分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为
抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是
4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥
下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头
顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下
方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移
m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，
结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点
式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比
较即可；
（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性
质求出m的取值范围．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是
4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣ ，
∴二次函数的表达式为y＝﹣ （x﹣4）2+4，
即y＝﹣ x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+ ×1.2＝1，
∴将＝1代入y＝﹣ x2+2x，
解得：y＝ ＝1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣ x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对
称．
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
25．（12分）（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．
根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心
O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以
AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
（3）拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别
向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长
为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．
已知∠1＝∠2＝∠3＝ ，当角 （0°＜ ＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出
该关系式及解答过程（αb与c的关α 系式用α含n的式子表示）．【分析】（1）由题意得4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，
即4× ab+（b﹣a）2＝c2，整理即可；
（2）设EF＝a，FD＝b，则a+b＝12①，再由题意得E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝
5，则a﹣b＝5②，由①②求出a＝ 即可；
（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，证△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，得
＝ ， ＝ ，则e2＝cn，f2＝bn，再由勾股定理得：e2+f2＝n2，则cn+bn＝n2，即可
得出结论．
【解答】解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证
明如下：
∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣
a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，
∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，
即4× ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2；
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
∴a+b＝12①，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5②，
由①②得： ，
解得：a＝ ，
∴EF＝ ；
（3）c+b＝n，理由如下：
如图③所示：
设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵∠1＝∠2＝∠3＝ ，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，
∴△PMQ∽△D'OE'α∽△B'C'A'，
∴ ＝ ， ＝ ，
即 ＝ ， ＝ ，
∴e2＝cn，f2＝bn，
在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，
∴cn+bn＝n2，
∴c+b＝n．
