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第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1．2 幂的乘方
学习目标：1．理解并掌握幂的乘方法则．
2．会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算．
重点：掌握幂的乘方法则．
难点：运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算．
自主学习
一、知识链接
1．口述同底数幂的乘法法则．
2. 计算：
（1）73×75 =________； （2）a6·a2 =________；
（3）x2·x3·x4 =________；（4）(－x)3·(－x)5=(－x) 8=________．
3．若am=5，an=2，则am+n= ．
二、新知预习
议一议：22，a3是一种什么运算？(23)2，(a3)2是表示一种什么运算？
填一填：
（1）(a2)3= · · = ；
（2）(am)3= · · = (m是正整数)．
三、自学自测
1．计算(a3)2的结果是( )
A．a9 B．a6 C．a5 D．a
2.计算：
（1）(22)5=________；（2）(xm)2=________；（3）(－a5)2=________．
四、我的疑惑
_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________课堂探究
一、要点探究
探究点1： 幂的乘方
问题1：请分别求出下列两个正方形的面积.
问题2：请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算的结果，你能发现什么规
律？证明你的猜想．
(32)3= 3 2 × 3 2 × 3 2
=32+2+2
=32×3
=36
猜想：(am)n= ．
证一证：
要点归纳：幂的乘方法则：
(am)n = ________ (m、n是正整数)．即幂的乘方，底数_________，指数________．
典例精析
例1：计算：
（1）(103)5； （2）(a2)4； （3）(am)2；
（4）-(x4)3； （5）[(x+y)2]3； （6）[(-x)4]3．
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，
在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．比一比：(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗？为什么？
要点归纳：
想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？
[(a2)3]4= = ．
要点归纳：
幂的乘方：[(am)n]p=amnp．
练一练：[(y5)2]2= = ． [(x5)m]n= = ．
典例精析
例2：计算：
（1）(x4)3·x6； （2）a2(－a)2(－a2)3＋a10．
方法总结：与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最
后算加减，即合并同类项．
探究点2：同底数幂的乘方公式的逆用
典例精析
例3：已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值．
（1）103m；（2）102n；（3）103m＋2n．
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求式子正确变形，
然后整体代换求值即可．
变式训练：
（1）已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
（2）已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
例4：比较3500，4400，5300的大小．方法总结：比较底数大于1的幂的大小的方法有两种：
（1）底数相同，指数越大，幂就越大；
（2）指数相同，底数越大，幂就越大．故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，
将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较．
二、课堂小结
当堂检测
1．(x4)2等于 ( )
A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4
2．在下列各式的括号内，应填入b4的是( )
A．b12＝( )8 B．b12＝( )6
C．b12＝( )3 D．b12＝( )2
3．下列计算中，错误的是( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
4．如果 (9n)2＝312，那么n的值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．计算：
（1）(102)8； （2）(xm)2； （3）[(－a)3]5； （4）－(x2)m．
6．计算：
（1）5(a3)4－13(a6)2； （2）7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
（3）[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9．7．已知3x+4y－5=0，求27x·81y的值．
拓展提升：
8．已知a=291，b=365，c=539，试比较a，b，c的大小．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．am·an =am+n
2．（1）78 （2）a8 （3）x9 （4）x8
3．10
二、新知预习
议一议 乘方 乘方
填一填 （1）a2 a2 a2 a6 （2）am am am a3m
三、自学自测
1．B
2．计算：（1）210 （2）x2m （3）a10
四、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1： 幂的乘方
问题1 S =边长×边长=边长2
正
S =10×10=102，S =103×103=(103)2=106．
小 大
问题2 amn
要点归纳 amn 不变 相乘
典例精析
例1 解：（1）(103)5= 103×5 = 1015；
（2）(a2)4 = a2×4 = a8；
（3）(am)2 =am·2=a2m；
（4）-(x4)3 =-x4×3=-x12；
（5）[(x+y)2]3= (x+y)2×3=(x+y)6；
（6）[(-x)4]3=(﹣x)4×3= (﹣x)12．
比一比 解：不相同．理由如下：
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号；(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号．
想一想 (a6)4 a24
练一练：(y10)2 y20 (x5m)n x5mn
典例精析
例2 解：（1）(x4)3·x6=x12·x6= x18.
（2）a2(－a)2(－a2)3＋a10=－a2·a2·a6＋a10 =－a10＋a10 = 0．
探究点2：同底数幂的乘方公式的逆用
典例精析
例3 解：（1）103m＝(10m)3＝33＝27.
（2）102n＝(10n)2＝22＝4.
（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108．
变式训练 解：（1） (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
（2）∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8．例4 解：3500=(35)100=243100，4400=(44)100=256100，5300=(53)100=125100．
∵256>243>125，∴ 256100 > 243100 > 125100，即4400>3500>5300．
当堂检测
1．B 2．C 3．B 4．B
5．解：（1）(102)8＝1016.
（2）(xm)2=x2m.
（3）[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
（4）－(x2)m＝－x2m．
6．解：（1）原式＝5a12－13a12＝－8a12.
（2）原式＝－7x16＋5x16－x16＝－3x16.
（3）原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0．
7．解：∵3x+4y－5=0，∴3x+4y=5. ∴27x·81y=(33)x·(34)y=33x·34y=33x+4y=35=243．
拓展提升：
8．解：a=291=(27)13=12813，b=365=(35)13=24313，c=539=(53)13=12513．
∵243>128>125，∴b>a>c．
