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22.1 函数的概念（第 3 课时）
知识点1：自变量的取值范围
2026
1．函数y= 的自变量x的取值范围为（ ）
x−1
A．x≠1 B．x≠−1 C．x≥1 D．x≤1
【答案】A
【详解】解：∵分式的分母不能为0，
∴x−1≠0，
∴x≠1，
2026
∴函数y= 的自变量x的取值范围为x≠1．
x−1
故选：A．
2．函数y=2x2中，自变量的取值范围选取正确的是（ ）
A．x取全体实数 B．x取x≠−1的实数 C．x取x≥2的实数 D．x取x≥−3的实数
【答案】A
【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义，
∴x取全体实数．
故选：A．
3．函数y=
√x−1
中自变量x的取值范围是（ ）
x−1
A．x≥1 B．x≥1且x≠0 C．x≤1且x≠0 D．x＞1
【答案】D
√x−1
【详解】解：y= ，
x−1
∵被开方数x−1≥0，
∴x≥1．
∵分母x−1≠0，
∴x≠1．
综上，x>1．
故选：D．4．下列函数中，自变量x的取值范围为x≥1的是（ ）
1 1
A．y=√x−1 B．y=√x−2 C．y= D．y=
x−1 x−2
【答案】A
【详解】解： A．∵y=√x−1， ∴x−1≥0， ∴x≥1，故符合题意．
B．∵y=√x−2，∴x−2≥0，∴x≥2，故不符合题意．
1
C．∵y= ，∴x−1≠0，∴x≠1，故不符合题意．
x−1
1
D．∵y= ，∴x−2≠0，∴x≠2，故不符合题意．
x−2
故选A．
1
5．函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
√2−3x
2
【答案】x<
3
1
【详解】解：∵函数y= 有意义，
√2−3x
∴分母√2−3x≠0，且被开方数2−3x≥0，但分母不为零，故2−3x>0，
即2−3x>0，
2
解得x< ．
3
2
故答案为：x< ．
3
6．求下列函数中自变量x的取值范围．
1 (x−1) 0
(1)y=3x−1； (2)y=√x−2+ ； (3)y= ．
x−3 2
【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数；
（2）解：根据题意得：¿，
解得：x≥2且x≠3；
（3）解：根据题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
知识点2：函数的解析式
7．已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为 ，自变量x的取值范
围是 ．【答案】 y=16−2 x/y=−2x+16 4<x<8
【详解】解：∵2x+y=16，
∴y=16−2 x，
∵y>0，
∴16−2x>0，
∴x<8，
∵两边之和大于第三边，
∴x+x>y，即2x>16−2 x，
∴x>4，
∴4<x<8．
故答案为：y=16−2 x，4<x<8．
8．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为x米，长为y米．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)求当x=4时所对应的函数值；
【详解】（1）解：根据题意得：2(x+y)=20，
整理得，y=− x+10，
即y关于x的函数表达式为y=− x+10；
（2）解：因为宽为x米，长为y米，
所以0<x<y，
所以x<− x+10，
解得x<5，
所以自变量x的取值范围为0<x<5；
（3）解：当x=4时，y=−4+10=6．
9．为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1min测量一次香可燃烧部分的长度，
数据如下：
燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
(1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量，因变量．
(2)写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t的函数关系式．
(3)求这根香可燃烧的时间．【详解】（1）解：由题意得：自变量是燃烧时间t，因变量是香可燃烧部分的长度l；
（2）解：由表格数据可知：燃烧时间每增加1min，这根香可燃烧部分的长度减少0.5cm，
∴当t=0时，这根香的长度为：22.4+0.5=22.9cm；
∴这根香燃尽所需的时间为：22.9÷0.5=45.8min；
∴l=−0.5 t+22.9(0≤t≤45.8)；
（3）解：由（2）可得：这根香可燃烧的时间为45.8min.
10．下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）
1
A．y=√x−2中，x取x≥2 B．y= 中，x取x≠−1
x+1
1
C．y=2x2中，x取全体实数 D．y= 中，x取x≥−3
√x+3
【答案】D
【详解】解：A、y=√x−2，被开方数x−2≥0，所以x≥2，正确；
1
B、y= ，分母x+1≠0，所以x≠−1，正确；
x+1
C、y=2x2，x可取全体实数，正确；
1
D、y= ，被开方数x+3≥0且分母 √x+3≠0，所以x+3>0，即x>−3，但选项说x≥−3，错误；
√x+3
故选：D．
11．如图，在长方形ABCD中，AB=4,BC=8．点P在AB上运动，设PB=x，图中阴影部分的面积为y．
(1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________；
(2)写出阴影部分的面积y与x之间的关系式；
(3)点P在什么位置时，阴影部分的面积为20？
【详解】（1）解：自变量是PB的长x，因变量是阴影部分的面积y；
（2）解：因为AB=4,BC=8,PB=x，1
所以图中阴影部分的面积为：y= ×8(4− x+4)=32−4 x，
2
所以阴影部分的面积y与x之间的关系式为y=32−4 x；
（3）解：由题意得y=20，则32−4 x=20，
解得：x=3，
所以PB=3，
即点P到点B的距离为3时，阴影部分的面积为20．
12．如图所示，两个相同的等腰直角三角板，将一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的斜边AB的中点
P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D，E两点．
(1)求证：CD=BE；
(2)若D，E两点分别在线段AC和CB上移动，若BE的长为a，△APD的面积为y，且AC=x时，求y与x之间
的函数关系式．
【详解】（1）证明：连接PC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∵P是AB中点，
1
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°，
2
∴∠ACP=∠B=45°，∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE(ASA)，
∴CD=BE；
（2）解：由（1）知，△PCD≌△PBE，
∴CD=BE=a，
由题意可知，△ACP是等腰直角三角形，AC=x，
1 1 1
∴S = AC⋅ AC= x2，
△ACP 2 2 4
1 1 1
S = CD⋅ AC= ax，
△CDP 2 2 4
1 1
∴S =S −S = x2 − ax，
△APD △ACP △CDP 4 4
1 1
即y= x2 − ax，
4 4
1 1
所以y与x之间的函数关系式为：y= x2 − ax．
4 4
